И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Доказательство этих свойств очевидно для ступенчатых функций и тривиальным предельным переходом переносится на общий случай. Используя предельный переход в (3) от ступенчатых функ. цнй к произвольным функциям из Из[а, Ь), убеждаемся, что свойство П1 справедливо для всех [(1) ен И, [а, Ь). С помощью этого свойства легко установить, что имеет место 17. Если 1(1) ~ Ит [а, Ь), )„(1) ~ Иь [а, Ь) и ~ [ [„ (1) — [ (1) [' (1 О а по вероятности, то ь б сгл ъгп дссефузпонньсе пгоцпссьс цессом, с Отметим основные свойства функции ь(1) = ~ 1(з) с1в(з). а ь Ъ'.
Если ~ М(~7(з) ~ ~$,)с(з < оо, го о ь Р1 зпр а )(з)с(ис(з) ) с~5',~( —,, ~ М(!)(з)!'~5 )с(з (7) а<с<о а о с ь Р( зцр $ )(з) с(в(з) ) с: —, ~ М~~(з) Рс(з. (8) 1а<с<ь а а Достаточно доказать (7). Выберем разбиение отрезка (а, Ь]: 'а а = 1о < 1, « ... 1„= Ь. Положим ь» = ~ 1(з) с(ы(з). а Так как прп й < 1 с, иСс,— с ~о,,>=м((с(,>ш оно„) — о са и ~а измеримо относительно Дса, то последовательность (са) является мартингалом, а значит, (ь») — субмартингалом.
Поэтому в силу теоремы 5 $1 гл. 1П Р ( з ар ~ ~а ~ > с ~ 5,) < —,. М (~'„~ Я,). о<а<о Таким образом, установлено неравенство ь > 1ь$< —,'.,сч(!сс)с~о)с, а Р1 зпр »ма<~ ~ 1(з) с(нс (з) а Из определения стохастического интеграла вытекает, что он определен с точностью до событий вероятности О. Поэтому интеграл как функция верхнего предела определен с точностью до стохастической эквивалентности (см. 5 1 гл. с»с). В дальнейцсем мы всюду будем предполагать, что значения интеграла как функции верхнего предела при различных 1 согласованы таким образом, что Ь(1) = ~ 1(з) йг(з) является сепарабельным про- а ГТОХХСТИЧЕСКИП 1П!ТГГРХ Ч ИТО 457 из которого легко получить доказательство свойства 17, восполь- зовавшись сепарабельностью процесса ~1(з) сснс(з).
а '171. Сепарабельный процесс Ь(1) = ~ ! (з) с(ю(в) непрерывен. Доказательство. Если 1(1) — ступенчатая функция, то непре- рывность ~(1) вытекает нз непрерывности цс(1) и формулы, оп- ределяющей Ь(() в этом случае. Пусть функция 1(1) пз се(, [и, Ь) такова, что ~ М!1(з) 1ссЬ < со, а 1„(1) — последовательность ступенчатых функций, для которой Ь 1(т ~ М 1 ~ (з) — ~„(з) 1а с(з == О, а-+ а Ввиду свойства тг с 1 а(!.с$(!С!а !1-!!.1!а !! >.(а с а а = —,~ М1!'(з) — 1„(в) 1'сЬ, а Выбирая последовательности еь — >О и пь так, чтобы ь ~~' — ', ~ М~~(1) — 1„,(Ц'й( < й ! ь а убеждаемся, что с.а( 1 1!1!а 1! — 1ч!„,сса !! >.,)а-.
!,а .С Ь ь-! а а и, значит, на основании леммы Бореля — Кантелли с вероят- ностью 1, начиная с некоторого номера й, зпр ~1(з) псю(з) — ~ )„ь(з) ссснс(з) ~ еь. а~с<ь а а Таким образом, ~ с'(з) с(цс(з) с вероятностью 1 является равномерным пределом непрерывных функций, поэтому этот предел также будет непрерывным. Пусть, наконец, )(1)— ДИФФУЗИОННЪ|Б ПРО!1ГССЫ (гл. уп! произвольная функция из з)с,(а, Ь).
Положим )и(з) =1(ь), если ~ ~1(и) ~ с)и~(У, и )'ьс(з) = О, если ~()(сс) (ьо(и > Лс. Тогда а а РР((()ш() — 1(„()ш())01( 1 а~)<Ь а а г ь аг(1((()( г.>а~. Так как ~сы(з)с(и(з) непрерывен и вероятность, стоящая в правой части последнего соотношения, мо!кет быть сделана сколь угодно малой, то процесс ~1(з)сси)(з) непрерывен в оба щем случае. Нам будет нужна следующая оценка четвертого момента от стохастического интеграла: ь Ч1!. Если С'(1) из 9Яз(а, Ь) такова, что ~ М(1(1)!")11 а. Фо, то а ;ь 4 ь М ( ~ ! (!) с(и) (!)) ( 36 (Ь вЂ” а) ~ М ~ 1" (с) !( с((. (9) а а Доказательство, Пусть сначала 1(1) является ступенчатой функцией, для которой С (() = 1(сс) прв ), ( ( < Гс+ь где о = сь ( ~ с, = Ь вЂ” некоторое разбиение отрезка (а, Ь). Тогда ~ 4 г-1 ', ! М ~ ~ 1Яс(ш(с)) =М~Д 1((ь) (и)((ь+) — ш(гь))) = а ь-ь г-! = М ~ ~ )ь(~ь) ~ (ш(~ь+ ) — ьа((ь)) + г ! гЬ вЂ” ! + 6 ~~', М~ ~~',)((!) (и(( ) — Р )))! (1(1ь) ~ (и)(~ь+1) — вйь)Г= ь-! с-о г †! =6~'М~1«,) РР„,-~„)'+ ь-о г-! с ь-! .(.6с')((с )(()( (м ) — (и!)()(()г() ь! (о стохлсп(ческпп 1ппГГРс4л пто 459 так как математическое ожидание тех слагаемых, у которых приращение ш(1ьы) — н)(1(,) с наибольшим номером входит в нечетной степени, равно нулю, а при т = 1, 2, ...
имеем М ((и) (14+() — ю (Гь)) $6(ь) = (2пт — 1)!! (4441 — 14) ° Для любой ступенчатой функции 1(1) мы можем считать, что отрезки 1(ь„(441) выбраны таким образом, что гпах [144.1 — 1 ] сколь угодно мал. Поэтому из предыдущего соотношения получаем, переходя к пределу при шах(1ь ю — 14) -й О, хь ь м(11())4 ())) — 6(м(1)( )4 ( )) ( ())й. ((0) й а а Применяя неравенство Коши — Буняковского, можем записать ь;с (м'(1)(*)4 ()) г())4)а а а ь ь с 4 )М а[(м()())( а (м(11()4 ()) й1 .
й а а Из формулы (10) вытекает, что 46 44 с и м()1()6 ()) =6(м(1)()4 ()) 1()( и а а возрастает с 1 и, значит, Ь 4С 4 с ь ~ М ~ ~ с (з) асю (з)~ с(1 ~ ((Ь вЂ” а) М ~ ~ 1 (з) йе (з)) . а а а Таким образом ;ь 641 Г ь 6 Ь 6 411(З М ~ ~ 1" (1) с(ю (1) ) ~ (б ~(() — а) ~ М 1 с (з) Г с(з М ~ ~ 1" (з) с(нс (з)~ ~ а а й Отсюда вытекает формула (9) для ступенчатых функций 1'(1). Доказательство этой формулы в общем случае можно получить, построив для 1(1) последовательность ступенчатых функции 1М(4) таК, ЧтОбЫ 1'ш ~ М~)(1) ~а(1)~4й=О.
а диеьтзионныг пгоцгссы (гл лп Введем понятие стохастического дифференциала. Если для процесса Ь(1) измеримого при каждом 1 относптельпо (Уь существуют тгхне 6(1) нз йз(а, 6] и а(1), измеримое прн каждом 1 отп, сительно бч и имеющее с вероятностью ! конечный ннтегь рал ] ] а (1)!дй что для всех а ( 1, ( 1т ( Ь а ь (1е) — ь (11) = ~ а (!) с(! + ~ 6 (1) Нв (1), то будем говорить, что а(г)д1+ Ь(()дго(1) является стохастическим дифференциалом процесса С(1), и записывать дт(1) = а(1) д1+ 6(1) ь(щ(1). Уствсовим важнейшее свойство стохастнческого дифференциала — формулу Ято дифференцирования сложной функции.
ЧП1. Предположим, что процесс Ь(1) имеет стохастический дифференциал д~(1) = а(Г)И+ 6(1)дв(1), а функция и(йх) (неслучайная) опоеделеца при 1~(а, 6], хе:=зс', непрерывна и имеет непрерывнгяе производные и', (П х), и'„(П х), и," (1, х), Тогда процесс т!(1) = и(1, Ь(()) также имеет стохастический дифференциал и справедлива следующая 4юрмула, носящая название формулы Иго: дт) (1) = (и,' (П Ь (1)) + и'„(1, ~ (Г)) а (1) + + ~ ~'„'„(г, 1(1)) ь" (гЦдг+К(1, 1(1)) 6(1) д~(1). (и) ')1Я д~ Я = ))) ЮХ„,одгв(1). Ясли м(т]топ ~ь)< а (12) Доказательство этой формулы будет получено сразу в многомерном случае (см. ХП1), Далее будут рассматриваться стохастические интегралы со случайнымп пределами. Пусть т — марковский момент относительно о-алгебр 5, (т.
е. (т ) 1)ен 5~). Предположим, далее что с вероятпостькз ! т ен (а, 6]. Тогда для любой 1(1) ~ й,(а, 6] функция 1(1)Х,>вен И,(а, Ь], так как хн>, измерима относительно Вь Положим сток <гти~!Гскип интвггхл ито то м [1 ! ! ~! а !д! ~ з.) = м [ 1 ! 1а т„ „, а а! ! з .) =- о, а а мф!а!а 1~!) з)=м[1!'!ах„,яай)= - и[1 !'!~!ад).
дз! а и и ~ 1(1) 1(ш(1) = ~ 1(1) 11 (1) — ~ 1(1) с(го Я. Обозначим через 5,, о-алгебру событий А из [ [11„для которых 1 А П (т! ~~1) ~ 5м 1Х. Если м1(1!1<а Ю)< то м[1!ю!а !а~ь)-~. м1([(!ма 1~!] з.,)-и[1 !'1~!ю~ь). (14) (15) Для доказательства рассмотрим 5,;измеримую величину З, принимающую лишь значения 0 или 1. Функция 1. (1) = ВХ(„,4(1) Х(„..„! принадлежит ййз[а, Ь) при любом Ь > а, так как она измерима относительно 31 (по определению от,-измеримой величины Таким образом, свойство П* справедливо н в том случае, когда верхний предел стохастического интеграла является марковским моментом. Легко видеть, что вместо выполнения (12) можно требовать лишь конечности правой части (13). Рассмотрим теперь интеграл с двумя случайными пределами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
