И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Функции дс(Л) удовлетворяют системе уравнений р !м-м,-р! — «! !м(*р( — «йс,Ц !сь !, с)= л-з -Км...рг-«с!««.„. „м(.,р(-«. К«.~*/си./=г)). Поскольку м р( — «й ! ~ !«, г=-гг/=р,!«г. ОДИОРОДЦЫГ ПРОЦЕССЫ 421 (это установлено в промежуточных выкладках прн выводе (19)). Из (20) вытекает, что Р.. „, (Л) = М„,„>е-"» ре, > (Л); таким ооразом, д,(Л) =-М ехр( — Л (ь, + Ц) а„,,(Л) Используя соогпошеш.'е д„„„>(Л) === М„е„ехр( — Лсе,,) д, аа(Л), точно так же убеждаемся, что справедливо равенство д,(Л) = М.ехр( — Л(~!+ ... + !.„)) д„, >(Л). Переходя к пределу при и -+ ОО в неравенстве !д,(Л)!- М;ехр! — Л(сл+ ...
+!",„))энр(дх(Л) и учитывая, ч>о для регулярного процесса 1'пп М; ехр( — Л(ггы+ ... + С„)) =О, убеждаемся, что д; (Л) = О. )Й( Рассмотрим необрывающиеся процессы с конечным множеством состояний. Будем считать, что фазовое пространство совпадает с множеством (1, 2, ..., г), Очевидно, что для таких процессов справедливы все результаты, которые получены выше для процессов со счетным множеством состояний. (Можно добавить к фазовому пространству бесконечное множество поглощающих состояний (г+1, г+ 2, ...) таких, что рп(!) = 0 при 1 =' г, /) г.) Если для вероятностей перехода выполнены условия 1) — 4), то все состояния процесса регулярны, так как ! — р; (а>, х-~ рп (л! х-~ — ап — — !!ш " = Бгп > =Р ам ЕФо ~ аэч г .ф* > (пер еход к пределу .
д знаком суммы возможен, та к к а к число слагаемых конечно) . Поэтому вероятности перехода удовл етворяют первой системе уравнений Колмогорова: нр„п! а„ры(1), !', 1=1,, г. (21) Поскольку — ~ ре,(1)а, ( — ~„а. ( ОО, то в силу теоремы 3 1=' ! .=- ' выполнена и вторая система уравнений Колмогорова. 422 СКАЧКООВРЛЗНЫЕ АААРКОВСКИЕ ПРО![СССЪ| [Гл. уп Пусть П(!) = !) р„(!) [[ — матрица вероятностей перехода. Если А = 1! а„[[, то (21) может быть переписано в виде — П(!) = АП(!). Так как П(0)=1, то П(!) = е'".
Процесс регулярен в силу теоремы 4. Действительно, ограничен- ное решение уравнения Лс>! = 2 а[[д! удовлетворяет неравенству (Л вЂ” ап) ~ д! ) ( ~ а|! ~ д! ) = |пах ~ д! ) )ап ). [||! ! Значит, если ! таково, что ) д|) =шах) а!), ! (Л вЂ” ап)|пах) д!)() ап)|пах(д!), ! ! что возможно лишь при условии шах)д!)=О. 5 4.
Процесс рождения и гибели Так называется однородный марковский процесс с состояниями (О, 1, 2, ...), в котором из состояния и возможен лишь непосредственный переход в состояния и — 1 и п+1, а из состояния 0 — в состояние!. Состояние процесса интерпретируется как число особей некоторой популяции, переход из состояния п в и + 1 — рождение новой особи, переход из п в п — 1 — гибель некоторой особи; в общем случае ие исключается самозарождения (переход 0-ь1). Пусть такой процесс стохастически непрерывен и все его состояния регулярны. Тогда конечны величины р! (6) — 1 1пп =ам АЯЕ длявсех|=0,1,2, ..., несли рп (ь) и[! =1||и —, у Ф |', А4О то вероятность перейти из состояния ! непосредственно в 1 будет аи — —.
Из определения процесса рождении и гибели вытекает, кп что лишь ас;+| и ас | | могут быть отличны от нуля. Обозначим а[,|ы = Ли ас! ! = [А[, Тогда р|,[+[(!)=Л|!+О(!), р|,! [(!)=[А[!+о(!) Пгоцесс вождения и гивсли и, следовательно, ЦМ с точностью до о(Л») есть вероятность рождения новой особи в популяции из» особей, а 1»,И+ о(Л»)-— вероятность гибели особи в этой популяции. В силу регулярности ап — )о» вЂ” 1»». Первая система уравнений Колмогорова имеет вид д л рп(1)= — (Д +»«») р»»(1)+ "»р»-, »(1)+»»»Р»-.
»(1), ро=О, (1) (при 1 = 0 считаем Х» = 0), Чтобы вторая система уравнений имела место, будем считать, что процесс обрывается после первого накопления скачков. Из (2) получаем уравнение для безусловных вероятностей: — »Р»(1) = — (х»+ р») Р» (() + "»-»Р»-» (1) + и»+»Р»«» (1) (3) ог (р,(0) — вероятность того, что система в начальный момент находится в состоянии 1', — считаем известной). Исследуем важный вопрос о существовании стационарного распределения процесса, т. е. такого начального распределения вероятностей, при котором р,(1) постоянны. Пусть р;(1) = р,.
Тогда из (Э) находим — (го» + 1«») Р» + А»-»Р»-» + 1»»+»Р»»» = 0 (4) Предположим, что»«, > 0 при 1' > О. Тогда, полагая в (4) 1 = О, находим «оо Ро и~ гооро+ 1»»р = 0 далее, при 1 = 1 ~~о~.~ Рг Ро С помощью индукции легко убедиться, что решением системы (4) будет х,х, ... х,, (5) »«1 г ' ' ' »«г Для того чтобы (ро) было распределением вероятностей, необходимо и достаточно, чтобы ~ р» = 1, так как рг пеотрицательпы.
Поэтому для существования стационарного распределения необходимо и достаточно, чтобы Аог ~ »»»г ''' нм ', " " -' < (6) а вторая система уравнений— тг Р»» (1) = — 0»+ р») р» (1) + Д»- Р, »- (1) + р»+ Рь»+ (1) (2) 424 СК'Р1КГОГРИ311ЫГ МИРКОВСКПГ ПРОЦЕССЫ ЩЛ РП при выполнении этого условия стационарные вероятности задаются формулами '-( .~'. '.) -1 Рл= -' — (1 1 и' хс ° ° ° хй-~ ' "а Нл 1, И1 йи Й1 (7) ри и41(Л() = (лт — Й) Х Л1+ о (Л1), рви 1(Л() =- й(иЛ(+ о(Л1) ри и 1(Л.') =з11 Л1+ о(Л() ри „„,(Л1) = о(Л1). Й=О, ..., гп — 1; при 1 =й(з; при з(Ф(пг; г)2, Процесс рождения н гибели может служить и для описания 1,оведепня чисто технических систем.
Приведем некоторые поимеры. 1. Обслрпгчвание станков. Пусть гп станков обслуживаются бригадой, сос1оящей пз з рабочих. Когда станок выходит из строя, он немедленно обслуживается одним рабочим, если не все рабочие заняты обслугкиваннем ранее вышедших из строя станков, или ожидает обслуживания, если все рабочие заняты. Станки обслуживаются в порядке, в котором опп выходят из строя. Примем следующие предположения.
Для отдельного работающего станка вероятность выхода нз строя за промежуток времени (1, 1+ Л() не зависит от 1 и равна Х(Л1) = ХЛ1+ о(Л1) незавнсимо от «истории» его работь1 (т, е. от продолжительности работы, числа выходов из строя и продолжительности обслуживания) до момента времени й Аналогично, если станок обслуживается рабочим, то вероятность окончания обслуживания за промежуток времени (1,1+Л() равна (и(Л1) = рЛ1 + о(Л1) и не зависит от характера его рабогы н продолжительности обслуживания до момента времени й Станки работают, выходят из строя и обслуживаются независимо друг от друга.
Условимся говорить, что производственный процесс находится в состоянии Жи, если в данный момент времени число обслуживаемых пли ожидающих обслуживания станков (т. а. общее число неработающих станков) равно й. Дополнительный выход из строя одного станка означает переход в состояние д'и+1, а окончание обслуживания одного из станков означает переход в состояние К, 1. Таким образом, мы имеем однородную марконскую систему с конечным числом состояний М'а,Ю1...,, д' . При этом из наших предположений вытекает„что ПРОЦЕСС РОЖЛЕ!П1Я П ГПБЕЛП 422 т. е. мы имеем процесс рождения н гибели с конечным числом возможных состоянии. В предыдущих обозначениях ).Е=(!!! — )Г)Х, /Г=О, 1, ..., т; 15„=А)! при 0~(й(з; р,=зр при з(й(т, Стационарное распределение всегда существует и в силу уравнений (7) задается следующими формулами: р„=с ( — ')'р„, ь Го (Ь вЂ” 1) ...
(о+ 1) Г о Хь р,=с:— ) ро з < йс.,п1, Я 'х П) о 1Л ч — ! о=о Е-..ь! Эти формулы могут быть кспользованы прн расчете наибо- лее выгодцого соотношения ме !'ду числом станков н количест- вом обслужпааюп)шо персонала в конкретных производствен- ных условиях. 2. 1'елефоннал1 сеть. В ряде случаев мы имеем ту же схему, что и в предыдущем примере, но с т =- со. Такое положение имеет место, например, в случае междугородной телефонной станции, облада1ощей з линиями сьязп и обслужигающей прак- тически неограниченное число абонентов. 1зоо5ь единиц, требую- щих Обслуживания, н настоящем приме)5Е и.рают абоненты, а роль обслуживающих единиц — л !нпп с язи.
Номер состоян!ш системы показывает число абонентое, требую!цпх в данный мо- мент обслужпва!щя. Еслп нх Гн!ело )з, 5о онп становятся в оче- редь и ожидают свободной лиш1н. В огл51чпе от предположений ПРЕДЫДУПЬЕГО ПР1!МЕРЯ ПРИМЕ!!1, ЧТО ВЕПОЯТПОСТЬ ТОГО, ЧТО В ТЕ'1Е- нне промежутка времени (й 1+ Л1) потребует обслуживания один абонент, рзвна Х(ЛТ) = г, М+ о(М), а вероятность того, что потребует обслуживания более чем один абонент, равна о(М), причем зти вероятности не зависят от числа абонентов, потребовавших обслуживания до данного момента времени, Что касается режима обслуживания абонентов, то мы сохраним пол- ностью предположения предыдущего примера.
Тогда имеем Хь — — )о, рь = )Г)! при Й(з; р, = ар прн )г)з. Для существования стационарного распределения необхо- дима н достаточна сходимость ряда 5 '=х — '„+ х,; — 9 <- Ь-О " О-оо5 т. е. условие )5 ( р. СКЛЧКООВРЛЗПЫВ МЛРКОВГКПБ ПРОПВССЫ ]гл чн 426 В этом случае стационарное распределение дается формулами О~й~а, /г>г. 3. Текстильная нить. Текстильная нить представляет собой пучок волокон, причем число волокон в данной точке меняется вдоль ее длины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
