И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Если предположить, что длина волокна имеет фиксированное отрицательно показательное распределение, не зависящее ни от числа волокон в какой-либо точке нити, нв от их длин, и что вероятность появления нового волокна на участке (1,1+Л1) нити равна лп1+ о(М) и не зависит от числа волокон н их длин, то число волокон т(г) в точке 1 нити представляет собой процесс рождения и гибели с параметрами л„=л, р„=пи, где р есть величина, обратная средней длине одного волокна.
Рассмотрим для процесса рождения н гибели задачу об определении распределения времени тп, первого попадания из состояния г в состояние з при г < а. Положим Е„(1) Р (т„< 1), Используя строгую марковость процесса н то, что момент тп„+, является марковским, х(тп.+ь оо) = г+ 1 (х(1, оо) — выборочная функция процесса), а также равенство (20) й 2, находим Р„( „,>1)=М„Р(...>11К„„~= = Ыо, 1пп Р ( х ( 2л + тг г41 оо) < з, 1 < 12 ~ бг Гг =М, 1пп Р.
4Р.(, о, „1 (х~~~я+ т„+иоог1 <з, „,— а+т„41<1~= = Мо. (Рог+1(тг+1 о>1 — и) ~и-т„+ ) = Мог(1 — гг+1 о(1 — тгг+1)1 (8) Поэтому Р„(1) ~ Р,+1, (1 — и) 1(Р„+1(и). о пооцвсс вождения и тигели 427 Следовательно, р.о()= р.+ .() р„Н() рго(г) =р„,ю (г) ргн „о(г) ... р,—,(г). (9) Для нахождения функции ор,,еы(г) воспользуемся следующим уравнением; при г О, если ь„— время первого выхода из состояния г, имеем Р„(т„.а, < 1) = Р„(Д, < 1, х Я„оо) = г + 1) + + ~ Р„(~, я гЬ, х (~„оа) = г — 1) Р„, (т,, о ю < 1 — з), (10) о Это уравнение может быть получено с использованием строгой марковости процесса точно так же как и соотношение (8).
Пе- реходя в (10) к преобразованиям Лапласа, находим л, л,( в, —, рх,.рр +,рх„рв„Ч -ю(г) рг.+~(г). Поэтому Аг фгг.ю (г) = + + (11) Формула (11) позволяет последовательно определять ~р,„.ы(г), если только известно оро|(г). Но в силу определения процесса то1 = ьо и, значит, <ра|(г) = — о л.+' (12) Из уравнений (13) последовательно можем выразить все до через до Если йо = О, то и все до = 0; если до ~ О, то отношения дд/до определяются из (13) однозначно. Обозначим Формулы (12), (11), (9) позволяют определить <р„,(з) при г <3, Исследуем теперь условия регулярности процесса рождения и гибели. Воспользуемся для этого теоремой 4 $ 3, Система уравнений (19) $ 3 принимает вид ~4'о = — ходко+ кой~ (13) 2,йо = — Р.о+ ро) но+ кой„, + роя, ь й > О. (гл.
чм 428 ск!ч((оогР !зиь(е м»Рховскиг пРО!тяге! ! й»+! — у! = 1». '1огда из второго соотношения (13) находим Л и Ь»= —,, У. + Л, ~» — = Л и„ Л н» н„, Ы» + ь'»-! + ° в»-» + ° ° ° Л» "'» Л» Л» , ' Л» Л» -! Л»-! !» ''' г2 и» н! " + Л» ... Л ! Л, у + Л,, ... Л, ~ ('4) Пусть уз — — 1, В этом случас все д» ) О и 1» ) О. Поэтому д» Л возрастает с (т. Поскольку 1»= — д(н то, заменяя в (14) все "0 д» на дз = 1, будем иметь !» - )Л»+Л»Л», +ЛЛ»,Л»,+ ° ° ° +Л» Л!Л,( ° » Поскольку ~ Г» = у„+! — д, то условие ',)',~++, '„'" + ... +,""",",' ~ (и) необходимо для сушествования ограниченного решения систе- мы (13). Заменим теперь в (14) все д! на дм Получим 1 Л р ...
р(Л 'Ь» + ''' + Л» ... Л,Л, ) "»' р ... и,л 1 у-4 + —.,+ + „.,'„~ < (у скрал[в Следовательно, при дз = 1 Г ! '"!! <'"»~1'Х( — ! " ! ',')1 Таким образохц соогпошеппс (15) и достаточно для ограниченности решения (!3). Теор с м а 1. Для регулярности процесса рождения и гибели необходимо и достаточно вьитолнения условия Ю вЂ” + " + ... + ш''"„~' 1=+ . (16) » ! пгоцасс еождГнпя и Гпгглп 429 Рассмотрим специальный случай процесса рожд нпя и гибели, у которого рл = — О, й =- 1, 2, ... Такой процесс называется процессом чисгого,оазьчноасенан (или роста). У этого процесса из состояния 1 возможен лишь переход в состояние 1+ 1. Выборочные функции такого процесса являются неубывающими целочисленными функциями, все скачки которых равны 1.
Подобного рода процесс может служить математической моделью процессов регистрации некоторого явления, происходящего в случайные момен гы времени. Например, при последовательном радиоактивном распаде из исходно~о радиоактивного вещества (материнского) образуется другое радиоактивное вещество (1-е дочернее), из 1-го дочернего — 2-е и т. д, Фиксируем некоторый атом исходного вещества. В течение случайного промежутка времени он находится в исходном состояшш и затем распадается, превращаясь в атом 1-го дочернего вещества, и т.
д. При этом вероятность распада атома в промежуток ((,з) не зависит от «продолжительности жизни» атома до момента времени 1 и каждое состояние атома имеет определенную среднюю продолжительность жизни = 1я)ч,. Примерами таких цепей последовательного радиоактивного распада являются превращения естественных изотопов урана и торна, заканчивающиеся образованием устойчивых изотопов санина.
Из сказанного выше вытекает, что случайный процесс, описывающий превращения атома, является марковским. Уравнения Колмогорова имеют следующий вид: р»(1) = — Яр» (1)+ Х,р,+„(г), (первая система уравнений), и р',. (1)=- — р»(1)Я. + р,,(1)Я. и я)1+1, р'и (1) = — р»(1)Я., (17) (вторая система уравнений). К этим уравнениям нужно присосднппть ешс начальныс условия р»(О) = б». 1дсшиы систему уравнений (17). Если 1 ~ 1, то в соответствии с определением процесса чистого роста полагаем Р» (1) = О (Я' ( 1), что, конечно, также является решением системы (17) и удовлет- воряет начальным условиям.
После этого система уравнений (17) (при фиксированном 1) приобретает рекуррентный характер. Сначала определяем р»(1) из уравнения р,ч(1) =Л,.р»(1), р»(О) =1, 430 СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ (ГЛ. РП а затем последовательно функции р! >+>(!), р! о+о(!), для каждой из которых (!7) является обыкновенным линейным дифференциальным уравнением. На первом шаге имеем р>о(!) = е-"!' и затем рц(() =Л,— $ ехр( — Л!(! — )) р;)- (з) (' о Решение системы (17) в явном виде может быть легко получено обычными методами операционного исчисления.
С этой целью рассмотрим преобразования Лапласа функций рц(!): фц(е)= ~ е-*!рц(!)Ж. о Тогда » е-*!рц (!) г(! = Ефц (г) — бц о и при переходе к изображениям функций уравнения (17) принимают вид яооц(2)= — Л)фц(е)+Л)-я!)-!(е)> ! )г, а!Ец (г) — 1 = — Люфц (е)> откуда >)>ц (е)= ~. ~„, > ч!ц = !. Л !(>! )-!> 1) г, где ! ф(.) = П(г+ ЛА). Если среди чисел Л„нет равных, то ! ! т;> ! Ф ~~) А'. (о+ ЛО) >(>' ( — ЛО) о-! С помощью этой формулы выражение для фц(а) записывается следующим образом: ВетВяшиеся пРОцессы Так как Чги(г)= +л есть преобразование Лапласа функ! ции е г, то р,! — — О, если 1(1, р!)(!)=~ П ) ~„'( „„).
!>1, р (!)= г! й! где ! ф'(- Л,) = П (Л, — Л,). г ! Полученные выражения и представляют собою решение уравнений (17) в явном виде. В простейшем случае Лх = )гЛ соответствующий процесс называется процессом линейного роста. В этом случае р,)(!)=((Е+ 1) ... (! — 1)Л 'Х ! х Х— е -хг! Л! (! — )г) (г+ ! — Ч ... ( — !) ° ! ° .. (! — Ь) жт -юы )-! г, -иу-! Соответствующее распределение носит название расаределеления Юла — Фарри. Заметим, что Д(0) = !) Мй(!) = !е"', 0~(!) = !еы(ех' — 1). Поскольку вложенная цепь для процесса чистого роста удовлетворяет условию Р„(х.(м) =и+ г) =1. то в силу теоремы 4 $2 условие Ю Ел =+ ! Ль ь-о является необходимым н достаточным для регулярности процесса.
В частности, процесс линейного роста является регулярным. й 5. Ветвящиеся процессы Важным классом марковских процессов со счетным числом состояний являются ветвящиеся процессы. Предположим, что наблюдается некоторая физическая система, состоящая из конечного числа частиц одного и того же нли нескольких различных типов. С течением времени каждая 432 СКАЧКООБРЛЗПЫГ МХРКСЧСКИГ. ПРОЦГГСЫ ~гл, ни частига 1.езависпмо ог других частиц может исчезнуть или превратиться в группу ноаык част1пь Явления, описываемые такой схемой, довольно часто встречаются в природе и технике. К нпм относятся ливни космических лучей, прохождение элементарных частиц через вещество, развитие биологических популяций, распространение эпидемии и др.
Точное определение процессов подобного типа в рамках теории процессов Маркова приводит к понятию ветвящегося процесса. Пусть и — число различных возможных типов частиц, Состояние системы Х в момент времени 1 характеризуется пело- численным вектором т(1) = (т1(1), т1(1), ..., Р„(1)), где т1(1)— число частиц 1-го типа, сушествуюгцих в момент времеви В дальнейшем мы будем отождествлять состояние системы Х в момент времени 1 с вектором т(1). Относительно характера эволюции системы Х во времени предположим следующее: какова бы пи была частица, существующа>т в момент времени й ее последующая эволюция не зависит от того, когда и каким образом эта частица появилась, и от характера эволюции всех остальных частиц, входящих в Х в момент времени й Пусть и, р, ...
обозначают и-мерные векторы с целочисленнылгн неотрицательных1и координатами: а=(аь а„..., ал), ~=(Ь„Ь, ..., Ь„), Введем вероятности перехода Р а(11, 11) системы х из состояния и, их;есшего место в момент времени 11, в состояние б в момент вРемеип 1з1 Р„а (11, 14) = Р (т (14) = б ~ т (11) = и), Обозначим через (1) (1= 1, ..., и) состояние системы Х, состоящей из одной частицы 1-го тина. Сформулированное выше предположение о характере эволюции системы Х во времени может быть записано следующей формулой: л а, Р,( ) Х ППР, и( ), () К Ка11и-а 1 1 / 1 где суммирование в правой части равенства пронзводится по всевозможйым векторам р11в с неотрицательными целочисленрыми компонентами (1= 1, ..., аь 1= 1, ..., п), в сумме составляющими вектор ~.
При этом, если а1 = О, то считаем и Р„„, ЬА(1„(а) =О. ввтвяшився пгоцесс|я 43з И|ак, ветвящийся процесс есть марковский процесс, пространство возможных состояний Л' которого является совокуп|юстью всех целочисленных а-мерных векторов с неотрицательными координатами и переходные вероятности которого удовлетворяют соотношению (1). В дальнейшем рассматриваются только однородные ветвящиеся процессы, т.
е. процессы, для которых Р«а (~| ~з) Раа (~» ~|) Рассмотрим процессы с одним типом частиц (и =!). Так как в ветвящемся процессе каждая частица эволюционирует независимо от друп|х, можно счнтат|ь что в начальный момент времени существовала одна частица. С течением времени она плн исчезает, или превращается в й однотипных частиц — первую генерацию. Каждая частица первой генерации «живет» независимо от других част|пц, н для нее имеют место тс же теоретико-вероятностные законы, что и для исходной. В некоторый момент времени она или исчезает, или превращается в частицы второй генерации и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
