И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 71
Текст из файла (страница 71)
д, Весь процесс описывается одной целочисленной случайной функцией т(!), равной числу частиц, существующих в момеат времени 1, при этом т(0) = 1. Множеством возможных состояний процесса является последовательность натуральных чисел О, 1, 2, ..., причем 0 является поглощающим состоянием: если т ((а) = 0 в момент врсмени (м то и во все последую|цие моменты времени т(1) = 0 (! ~ 1а). Если с вероятностью 1 в некоторый момент времени 1 окажется, что ъ (1) = О, то процесс называется вьюросадаюи!ихюя. В других случаях величина ч(!) обращается за конечный промежуток времени в 0 только с определенной вероятностью. Эту вероятность называют вероягностыа аьсрожденил процесса.
Возможно, что со временем величина т (1) неограниченно возрастает. В случае ядерной реакции эту ситуацию можно интерпретировать как взрыв. Таким образом, в теории ветвящихся процессов нас могут интересовать следующие вопросы: какова вероятность вырождения ветвящегося процесса, каково асимптотическое поведение величины т(1)? Пусть р|,(1) обозначает условную вероятность того, что в момент времени ! + т система состоит из 1 частиц, если в момент времени т имелось ! частиц. Для решения задач, возникающих в теории ветвящихся процессов, удобно пользоваться методом производящих функций. Введем производящие функции 1;(г, 1) распределеш:н (рп(!) ), 1 = О, 1, 434 СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 1тл.
Уп Ю Предположим, что Ь, =ЬР+ Х Ь) ( ОО, Тогда имеет место пер- / 2 вая система уравнений Колмогорова: дян Рй — = — Ьрн(1)+ ~К Ььр,)(1). (3) 4 0 А;ь! (3) на г2 и просуммировав по 1 Умножив обе части равенства от О до Оо, получим д 2)2( ' )+ дй (а, 1) д) Ю ЬА1А (г, 1) А-О А,а~ () г)(~1) или, в силу (2), — Ь,)(г, т) + ~ ЬА1~(г, 1), А-О А,А1 где положено )(г,)) = )2(г,1). Окончательно получаем следующее нелинейное дифференциальное уравнение: — =и(1), (4) где и(г) =ь, — ь,г+ г, ьхгА (!г1~1).
(5) А 2 К уравнению (4) нужно присоединить еще начальное условие 1(г, 0) = г. (б) Решение уравнення (4) при условии (б) может быть записано в виде ф(1) — 2р(г) Ф, ~р(г) = 1 ~ ~~ . (7) Вероятности р;;(1) (1 фиксировано) соответствуют распределению суммы 1 независимых случайных величин. каждая из которых имеет одно и то же распределение с производящей функцией ~1(г,)). Поэтому ) 2 (г, 1) = [(, (г, 1))'. (2) Для определения функции 11(г,1) можно воспользоваться любой нз систем уравнений Колмогорова 5 3) В соответствии с общей теорией существуют производные Ри (1) 1 — Р, (Е) Ит — '=Ь), ).Р1, Иш '' =Ьо 2 0 2+2 Ветвящиеся пРоцессы 435 Предположим, что выполнены условия, при которых имеет место вторая система дифференциальных уравнений Колмого- рова.
Заметим, что из определения ветвящихся процессов выте- кают следующие формулы: ргь(1) = (1 — ЬД" + о (1) = 1 — ИЬ|1+ о (1), Ра а | (1) = й (1 — ЬДг | Ьа1 + о (1) = ЙЬЕ! + о (1), рьг )(1) о(1), 1»2, рьь+)(1) = Ь(1 — Ь!1)Ь>„|1+ о(1) = ИЬ>+|1+ о(1), 1»1, откуда следует (принимая обозначения $3) ໠— — )Ь~, а)),— — )Ь,Я а)) а —— О, а„+ь = 1Ь,+и й»1.
А 2; Умножая (8) на г| и суммируя по 1 от О до ео, получим новое уравнение для производящей функции ) (г, 1): (9) где и(г) имеет значение (5). К этому уравнению добавляется начальное условие (6). Решение уравнений (9) н (6) имеет вид |(*, 4=г(~' ) — „(т) а г где гр(1) — обратная функция для 1=ф(г) = ~ —. Это решеЫг и (г) о ние совпадает с (7). Пример. Положим и (г) = р — (р + д) г + дг'. В этом случае одна частица за промежуток времени ! исчезает с вероятностью р1+ о(1), или превращается в две частицы с вероятностью |)!+ о(1), или с вероятностью 1 — (р+ д)1+ о(1) сохраняется. Вероятность превращения более чем в две частицы Таким образом, для функций ры(1) система уравнений (15) $ 3 принимает вид дРП (|) — — (1+1)ЬгР|)+ (1) — )Ь~Р|)(1)+ + (1 — 1) Ьар| |- | (1) + ° ° + Ь|рп(1) (8) СКАс(КООВРАЗ!П(Р МАРКОВСКНР ПРО!(ГССЫ [ГЛ.
Ч(! 436 равна о((). Ил(ееы 2 р(г)— с(2 1 е (2),) Р— (Р + Ч) 2 + 42 Ч вЂ” Р 2 — 1 !ив Р 2 —— с) (р чь )) О О Лля обратной функции г = ф(1) получаем выражение Рее( Н-Й откуда — Р— ( — 1) еес (с-В! 1(г, Ф) =ф(1+(р(г)) =,,! ю Разлагая )(г, 1) в ряд по степеням г; 1 — е (О Р! с~ (1 — Р) (1 — ес (" Р!) ес (е с (е-р! 2~ !й — е (" Р!) р придем к следующим формулам: 1 — е (О (1) = 1 — — е (е Р! Р (11) откуда 1 — 2 РС ~'! (РС) е 1+я!(1 — 2) 1+Рс '-! (1+я!)Оы ((2, !) =2(с+Чс(г)) — 1 "ледовательно р! О (1) (13) '4з формул (1! ) — (14) непосредственно вытекают следующие юимптотические соотношения при ! — «Оо: если с) =' р, то р(О(1)-«1, р(„(1) — «О при п-'в1, 1-«Оо! (! с (е-р!) -! с ы-р! Р(п(1)=(1 — р) „,, п=1, 2, ...
(12) (Р— ес (О-Рс]"+! В предыдущем исключалась возможность р = (), Остановимся на ней. В этом случае е Ч(г) = ~ с(2 1 2 1 Р(1 — 2)! Р 1 — 2 ' 1+ РС ' — — =ф(1) =1 —— О вгтвящпвся пгопессы 437 если же д>р, то Р~о(г) — 'й (Р< 1), р1„(1)- 0 при п>1, 1-+со, В первом случае (д -- р) ветвящийся процесс с вероятностью, равной 1, вырождается, т.
е, со временем все частицы исчезают. Во втором случае (д > р) вероятность вырождения процесса равна й= — < 1; если же частицы не исчезают, то их число неограниченно увеличивается во времени. Деиствнтельно, Р (ч (1) > У ~ т (1) > 0) = 1 — — ~~~ ~р ы (() -+ 1, А-1 каково бы ни было Ф. Рассмотрим вопрос об асимптотическом поведении при 1-э. со ветвящегося процесса в общем случае. В дальнейшем понадобятся моменты величины т(1).
Поскольку мы используем производящие функции, вместо моментов удобней вводить факториальиые моменты. Положим ть (1) = М (ч (1) (т (1) — 1) ... (ч (1) — А + 1)) . Нетрудно установить линейные дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют факториальные моменты т„(1). Предположим, что Ю ййь < оо, ь-1 Тогда прн (г~ < 1 дифференциальное уравнение (4) можно про- дифференцировать по г, в результате чего получим '-,', "=иат,(г, ), (15) где положено т~ (г, 1) — — 1 (г, 1) — Мт Я г" Ю д и'(г) = — Ь1+ ~ йй,г'-'. Из (15) и равенства т1 (г, 0) = 1 следует 1 гк н1Ф т,(г, 1) =е' (1 г! Вп1 т, (г, 1) = е"', 2 4! < 1).
При г- 1 имеем и'(г)- — й1+ Х ййь — — т, < со и 1(г, 1)- 1, монотонно возрастая, а поэтому и равномерно относительно 1. Следовательно, 438 СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ шл. чи С другой стороны, в силу теоремы Лебега при г ! 1 !Ппт,(г, 1) =1ип Мт(1)г'!'> = Мч(!) = ~ варь(У). сь! оо! А ! Таким образом, т, (!) =е""'. (16) Этот результат немедленно обобщается на факториальные моменты высших порядков. Л е м м а 1.
Предположим, что ОО т,= ~, п(л — 1) ... (и — т+ 1)Ь„( оо, т=!, ..., й. (!7) Тогда факториальньсе моменты т„(1), г = 1, 2, ..., й, величины т(!) конечны и удовлетворяют линейным дифференциальньсм уравнениям первого порядка с постоянными коэффициентами, Для доказательства последовательно дифференцируем по г (!г~ ~ 1) уравнение (4). Полагая ,(., )="" " =М( (1)( (!)-1) ". ( (!)-й+ 1)" к-).
получим = и' (! ) то (г, 1) + и" (с) то! (г, !), (18) дпсь (г, с) = и'(сс) ть(г, 1)+ ро (г, 1), где РА(г,1) — многочлен от т,(г,1), ..., тд,(г,!) с коэффициентами, линейно зависящими от ич(1), ..., ись>(7). К этим уравнениям добавляются начальные условия ть (г, 0) = О, й = 2, 3, ... Решение уравнения (18) имеет вид ! ч' и! б! -!ч сйбо тд(г !) ео $ Р„(г т) е о с(т о По индукции, используя те же соображения, что и в случае й = 1, получаем с то(1)=!Пить(г, !)=е'"' РА(1, т)е "аст, о-ы причем, очевидно, ть(!) удовлетворяет уравнению (!8), в кото- ром положено г = 1. !8$ внтвящився пгоцвссы 439 В частности, и, (!) = — ' (е"" — 1) е""' пс, ссс,(!) = и,! (иск О), (19) и (0) = Ьь ) О, и (1) = Ь, — Ь, + ~ Ьь = О, ь с и" (г) > 0 при г > 0; при этом будем считать, что не все Ьь (й > 2) равны нулю.
Таким образом, и" (х) выпукла вниз при е ) 0 и, следовательно, на интервале (О, 1) имеет не более одного нуля. Перейдем к определению вероятности а вырождения ветвящегося процесса т(!). Так как события (т(!) = 0) образуют монотонно возрастающий класс событий, то а = Р (! 1гп т (!) = 0) = ! ! ш Р (ч (!) = О) = 1пп р, ь (с). с.ью с-э о с-ь о Т е о р е м а 1. Вероятность вырождения ветвяи4егося процесса совпадает с наименьшим неотрицательным корнем уравнения и(х) *О.
Если и'(1) = ~ = — Ь, + Х ЬЬ, ~ ~, то при и'(1) = 0 вероятность вырождения сх = 1; если же и'(1 > О, то и «' 1. оказательство. Так как рс ь(!) = с'(О, !), то из (4) следует, что = и (рс ь (!)), рс ь (0) = О. Если Ьь О, то решением уравнения (21) является рс ь(!) = О, и теорема 1 тривиальна. Пусть Ьь ) О. Заметим, что если хь— наименьший положительный корень уравнения и(х) = О, то Рсо(со)(хь для всех 1= О.
Действительно, если бы рсь(С,)= = хь, (ь > О, то в силу единственности решения уравнения (2!) было бы р,,(!) = хсь что невозможно. Далее, так как существует предел а= 1пп р,ь(!)(1, то из (21) следует существование !!гп р', (с)=и(а). Но отсюда вытес ь~о кает,чтои(и) О,впротивном случае р, (1)=~ р,,(г)Ж+ р, ®) и (21) (и, =0). (20) При изучении асимптотического поведения ветвящегося процесса важную роль играет функция и(г) (см. (5)), которую мы будем сейчас рассматривать для действительных значений х. Заметим, что склчкооБРАзньсс млековскнв пгог!яссы сгл тп возрастало бы неограниченно, Таким образом, доказано, что а = х,. Если хо < 1, то в точке х = 1 функция и(х) возрастает и производная и'(1) ) О, если толгмсо она существует. Если же хо =- 1, то и'(1) =.
О. щ Исследуем теперь асимптотическое поведение вероятности рсо(С) прп С- ьо для вырождающихся процессов (а = 1). Теорем а 2. Если пг, = и'(1) ='О, тг = и" (1) < осц то 1 — р, о(С) Кег"' при т, < 0 и некотором К ) 0 2 1 — Рг о (С) — лРи щ, = О. ргсгг Доказательство, Положим сс"(с) = 1 рг о (С). Фуцкцц я д (С) удовлетворяет уравнению рсе — „' = — и(1 — д(р)), д(0) =1. Пользуясь формулой конечных приращений, получим — „', = — и(1)+й(С)и'Я= с(С)~Я, где с лежит между рг о(С) и 1. Так как и'(х) — монотонно возраста ощзя функция, е — «1 при с-«оо, то и'($) =сс'(1) — а(С), где в(С) ) 0 и 1пп е(С) =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
