И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 73

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 73)

Ь< ~, в м,в~а Тогда вероятности перехода ро1з(() удовлетворяют первой си- стеме уравнений Колмогорова (см. 5 3, (1) ) арщз(0 Ьарщг(г)+ ~ Ь, р з(г). м,а,(П Умножая это уравнение на з,', ..., з„, суммируя по всем и замечая, что из равенства (1) следует » р (()з ~з ~ зь» — Пгр (Г о)]~1 зсм аа 1 ! '(последнее выражает собою взаимную независимость эволюции имеющихся в данный момент времени частиц), получим ',(,с 1= — Ь р (г. )+ ~ч, Ь,.п[р,((, ))", а~м, а»а Ья или вР (йо) „(„(, „) „(, „)) где ( 1,...,п, (34) ию(зь ., з„)=-Ьнз,.+ ~~' Ь„з" ,... з„'», (35) алм, ал ья (= 1,...,п.

Функции и;(зь ..., з„) представляют собою производящие функции систем величин ( — Ьа, Ь,„, а ен М, а Ф(()). Ф((+ г, о) = Ф(г, Ф(т, о)). (33) Т е о р е м а 6. Система производящих функций ветвящегося процесса удовлетворяет системе функциональных уравнений (33) и начальному условию (32) Выведем для производящих функций дифференциальные уравнения, соответствующие первой и второй системе уравнений Колмогорова для переходных вероятностей. Пусть Вщ ', Ь~ (3 ~ (()), (цп, Ьи, р(п з ('1 ' рпнп (') ю+о 448 Ш(АЧКООБРАЗНЫГ МАРКОВСКИЕ ПРО!\ЕССЪ| |ГЛ. Ч11 Чтобы получ|пь второе уравнение, предположим,что (зг(( 1 (1= 1, ..., и).

Тогда ((гг(1, о) ! = 1 (1' = 1, ..., п) и мы можс|л дифференцировать равенство (33) по т. Положив после дифференцирования т = О, получим и дФ (|, в) К~, дФ (д а) = ~ иь(о) А | Уравнение (36) представляет собою систему одинаковых уравнений для производящих функций Ег(1, о): л дрг(б о) С (, дяг (1, о) д! й | 1 де,. А, которые нужно решать при начальных условиях (31). Таким образом, получена следующая Теорема 7.

Система производящих функг4ий Р|((,о) при )зг! ( 1, 1' = 1, ..., и удовлетворяет системе обыкновенных дифференйиа гьньсх уравнений (34), уравнению в частных производных (36) и начальным условиях (31). Г Л А В А У1! 1 ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В этой главе рассматриваются непрерывные марковские про- цессы со значениями в щ-мерном евклидовом пространстве Я"'. Полностью такие процессы до сих пор не описаны. Мы будем изучать важнейший класс таких процессов, носящий название диффузионных.

Это название указывает, что процессы подобного типа могут служить вероятностной моделью физического явле- ния диффузии. В ~ 3 гл. И уже рассматривался процесс броу- новского движения в качестве вероятностной модели диффузии в однородной среде. Используя подобное построение в случае неоднородной среды, можем прийти к понятию общего диффу- зионного процесса, Поясним основные идеи на примере одномер- ного процесса, Пусть х~ обозначает координату взвешенной в жидкости до- статочно малой частицы в момент времени й Пренебрегая инерцией частицы, можно считать, что переме- щение частицы состоит из двух компонент: «усредненного» сме- щения, вызываемого макроскопической скоростью движения жидкости, и флуктуации смещения, вызываемого хаотическим характером теплового движения молекул жидкости, Пусть скорость макроскопического движения жидкости в точ- ке х в момент времени 1 равна а(1, х).

Относительно флуктуа- циопной составляющей перемешения будем предполагать, что она является случайной ьеличиной, распределение которой за- висит от положения х частицы, момента времени 1, в который рассматривается перемешение, и величины Л1 †дли проме- жутка времени, на котором рассматривается перемешение, при- чем среднее значение этого перемещения будем считать равным нулю независимо от того, какие значения принимают 1, хь М.

Тогда псремешение частицы может быть приближенно записано следуюшим образом; х~+м х~ = а(1~ хг) х(+ Ь~ „ам 450 ДПФФязионныв пгоцассы !Гл чн! причем !т!яЬ,, з, = О.Если а(1, х) равно нулю, а распределение $!,,! д! не зависит от х, как предполагалось при рассмотрении броуновского движения (3 3 гл. И), то тогда Мл!! д, — ХЛ1. Так как при небольших изменениях !, х свойства среды естественно предполагать мало меняюшимнся, то в малом процесс является однородным; поэтому можно считать, что$!,, д! = о(!, х) $!, мь где о(й х) характеризует свойства среды в точке х в момент времени й а '.!, ю — величина прирашения, которая получилась бы в однородном случае при условии, что а(!, х) = 1.

Таким образом, $г, ю должно равняться приращению процесса броуновского движения: и!(1+ Л() — и!(Г). Следовательно, для приращения х!Фю — ю можно записать такую приближенную формулу: х!+д! — х!жа(г, х!)Лг+ о(г, х ) [!а(!+ Л() — га(1)). (2) Чтобы эта формула стала точной, нужно, как это всегда делается в математическом анализе, прирашения заменить дифференциалами. После такой замены для х! получится дифференциальное уравнение г(х! = а (г, х!) й + о (1, х,) Йп (!), (3) вг,,! ю = х', Ьь (г, х!) (и!„ (! + Л!) — газ (!)1, ь-! где Ьь(й х!) — некоторые функции со значениями из Я , а и!!,(!) — независимые одномерные процессы броуновского движения.

Такое представление соответствует неизотропной среде: перемешения по разным направлениям имеют, вообще говоря, различные распределения, Уравнение для величины х! в этом случае имеет вид г(х! = а ((, х!) г(! + ~ Ьд ((, х!) г(п!х (1). ь (4) Отметим, что уравнениям (3) и (4) пока нельзя придать м (!+ Лй — м (!1 строгого смысла. Дело в том, что величина если и!(!) — процесс броуновского движения, имеет нормальное которое и можно принять за исходный пункт прн определении диффузионного процесса. Если х,— многомерный процесс, принимающий значения из Я , то соотношение (1) сохраняет смысл, если а(г, х!) является функцией со значениями из Я , а ~с,, л! †случайн вектором в Я", В этом случае будем считать, что $с, ~г а! представляется в виде стохлстпчгскпп интеггхл иго 4В! распределение со средним 0 и дисперсией —.

Поэтому величия! ' и (!+ а!! — и (!! на ни в каком вероятностном смысле предела не имеет. Ввиду отсутствия производной у ю(!) обычно применяемое определение дифференциала Йю(!) не имеет смысла, Уравнениям (3) и (4) будет придан строгий смысл после введения в ~ 1 понятий стохастичсского интеграла и стохастического дифференциала. й 1.

Стохастический интеграл Иго Пусть ю(!) — винсровскпй процесс, а совокупность о-алгебр определенных па основном вероятностном пространстве (й, Я, Р) для всех ! = О, связана с ю(!) так, что выполняются следующие условия; 1) 5ь с:Ъь с: Я при 1~ < !з! 2) ю(!) измерим относительно 5~ при каждом 1; 3) процесс ю(!+ Й) — ю(Ь) при каждом 6 не зависит от любого из событий о-алгебры 8а. Обозначим, далее, через И,[а, 6) (О ( а С Ь) совокупность измеримых по совокупности переменных (1, ы) функпий [(!) = = [(1, ы), определенных при ! ~ [а, 6), ы ен й и удовлетворяющих условиям: а) [(Г) измерима относительно о-алгебры $, при каждом ! из [а, 6]; б) с вероятностью 1 конечен интеграл 3 ~![(1)[ (. Р Для всех функций из Из[а, Ь) ниже определяется интеграл ь ~ [(!) (ю (1). О Функция [(!) называется ступенчатой, если существует такое разбиение отрезка [а, 6): а = (ч Г, < ...

< 1, = Ь, что 1(!) = = [(й) при 1ен [!ь гц.,), 1= О, ..., г — 1. Определим интеграл ~! (г)г(ю(!) сначала для того случая, а когда функция 1(!) является ступенчатой. Пусть [(!)=! (1;) при ген [Го г,е,), где а = 1„ < 1, « ... 1, = 6 — некоторое разбиение отрезка [а, 6). Положим тогда 17(!)( (К)=~И(,)[ю(1„,)-ю(1,)). Отметим некоторые свойства этого интеграла. СТОХАГТИЧЕГ!О!и ИНТЕГРАЛ ИТО 453 а и Положим фА(т)=ф(4) при 4»р', для тех р', для которых рр+, ~ ф(4) !'орт»М; если же при некотором рр й ра рх+ ~ ! ф (4) Г Г((» М < ~ ~ ф (4) ~' РРт, то при ( ен (1А, (р) ф„(4) = О.

Очевидно, ~ ( ррхр (4) 1Е Т(р » ~У о РР р!>,,РрР— рРрР!>РР=Р((~рРРРРРр> р ф. й Поэтому Р( (рРРРа-«Р > ~= й =Р~ ~ и() ( ()+ ~( ()-~м())~ () а а йю ( )р,«рр ррр > )+р( )ррррр- .ррпр ррр >рр)а а а ь 2 М ) ф ф рТра П) < ',, .РР(1>рРРРРРР>а~. а что н требовалось доказать. Пусть последовательность ступенчатых функций 1„ такова, что 1 (р (4) — р„ 0))з т(4 - О а по вероятности.

Тогда ~ ~ 1„(4) — ) (4) ~' рй также стремится а к нулю по вероятности при а->со, т->со, Следовательно, для !гл. гип аьпс ьтзпопныв пгопгссы 454 всякого е ) О б ь Р(!)иь) — ~ ь!) й>.~-0. Используя свойство Ш, можем записать при любых е ) О, Ь) О 1!гп Р ~ („ (!) адьо (т) — ~ ~ (!) ь(ш (!) ) Ь ~ ( ь а ь < —,. + !!п~ ° ~~~.(!)-~.(!)Рй>е = — „ л.т>м Ьг а так что ввиду произвольности в ) О для всякого Ь = О ь ь 2 >! !ин о — 1~..нь и >ь)-ь. П, 1П а а Из последнего равенства вытекает, что последовательность слуь чайных величин ~ 1„(!)ь!ю(!) сходится по вероятности к неко- а торому пределу.

Этот предел не зависит от выбора последоваь тельности 1„(!), для которой ~ ! 1„(!) — 1(!) !'с(! -> О (если имеют- а ся две последовательности 1„(!) и г,(!), то, объединяя их в одну, убеждаемся в равенстве с вероятностью 1 пределов на разных последовательностях). Положим ь ь ~ ~ (!) Йс (т) = Р-! пп ~ ~„ (!) с(ы (г).

а а Этот предел будем называть стохастическим интегралом Ото функции 1(!). Поскольку для всех 1~ йь(а, Ь) можно построить такую последовательность ступенчатых функций )„из ьь!з(а, Ь), чтобы с вероятностью 1 ь 1ип 1 У„(!) П!))за=О, >-> а то тем самым стохастический интеграл Ито определен для всех 14= Ь)1,(а, Ь). ь н СТОХАСТПЧЕСКИИ ИНТЕГРАЛ ИГО Так определенный интеграл является однородным и аддитивным функционалом от функции 1(1) на Из[а, Ь), Кроме того, при а(с:.Ь а ь ь ~ [(1) ( (1)+ ~ 1(1) "ю(0= ~ 1(1) (ю(Г). (4) Р-! пп ~ [„(1) с(ю (1) = ~ 1 (1) г(ю (г).

Используя предельный переход, можем легко убедиться в справедливости следующего свойства, обобщающего свойства 1 и П. П'. Если функция [ такова, что с вероятностью 1 ~ М([[(1) [б[6а) й <., а то я([11ьа 1б~ь.)=о ы.ььь (5) а ат ь ь М ~~~ ~(О) б(и(1)~ [ба)= ~ М([[(1)[ь[5а)й (пьод Р). (6) а а Рассмотрим теперь стохастический интеграл как функцию верхнего предела. Обозначим через ф1(з) функцию, равную 1 при з (1 и равную 0 при з ) й Если 1(з)ЕЕ Из[а, Ь[, то 1(з) Чьь(з) ен Иь [а, Ь) при любом 1 е= [а, Ь) и ~ 1 (в) с(и1(з) = ~ У (з) фь (з) с(ю (в).

Характеристики

Список файлов книги