И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Л ем ма 1. Пусть неотрицательная сснтегрируемая функция а(7), определенная при 1~ [12, Т], удовлетворяет неравенству а(1)(Н ~ а(з)сЬ+]1(с), (ц) с., где Н вЂ” некоторая неотрицательная постоянная, а ]1(1) — интег- рируемая функция, Тогда с а(1)(Р Я+ Н ~ енСсццр(з) сам Доказательство, Из (4) вытекает 1О~ОСоо+о]1(ОС11-ь]'«ого.,]с.~ с. сг ЕГ о ~оооо о-оо] (ос,о о-ь( (оьо+ о(.с~со*,] о.,]о,~ с, с о, ~ р (1) + Н $ ]1 (з,) асз + Н' ~ $ () (з,) сиз дз, + с, с, с о, ... +Нь()1,. 1 Р(з)дз, да+ со йо с, с + Н" ' ~ ... ~ а(зь+1)сЬ, ...
сЬ„+1. со со Так к ак ... ~ а(з„+,) сЬ,, сЬ„+с = ~ „а(з„+,) сЬ„+„ Г (С вЂ” ге+1)ь с, со со со то с и оо™] ...),ь.,оо„... оь„=о Ю "+ с, с, цпееузиопныс пгоцессы !гл, нш 472 н, значит, а(1) ««р(1)+ Н ~])(5)сЬ+ Нз ~ ~ р(з,) 4Ь»1Ь, + ... = 1е 1. 1, =Д(1)+ Н $ Д Н» О ~,' р(з)1(з. ° 1а» О Полагая а(1) = Му„(1) (51 (1) — $,(1)]'-, р(1) =О, получим из (3) МХл (1) ]51 (г) — 55 (1)] = О т, е. Р (;:1(1) чь 52 (У)) «» Р (зп р ] $1(8) ] ) Ж) + Р (зцр ] ~з (Я) ] ) йг). Вероятности справа стремятся к нулю ввкиу непрерывно- сти (а значит, н ограниченности) с вероятностью 1 процессов 51(1) и 5»(1).
Значит, $1(1) н $»(1) стохастически эквивалентны. Л так как оба процесса с вероятностью 1 непрерывны, то Р(зцр ] 51 (1) — 5»(1) ] = О) = О, Единственность решения уравне- ння (2) доказана. Докажем теперь существование решения уравнения (2) Предположим сначала, что М]5(Ь) ]'( со. Расслютрнм бана. хово пространство Я измеримых случайных функций ~(1), при каждом 1 измеримых относительно о-алгебры о1 и удовлетво- ряющих соотношению зцр М]Ь(1) ]» < со с нормой 1.<1<7 ]]1]]=( 5Щ1 М]1(1)]')ьа 1,<1СЧГ Определим в пространстве Я оператор 3 по формуле Я(1)=~(1)+~ (~,~(~))Ь+~~(~,~())(~(). с, с, Существование обоих интегралов вытекает из соотношения ]а(з, ~(з)) ]1+] о.(з, ~(з)) Р(К'(1+] ~(з) Р).
Очевидно, что 5~(1) измеримо относительно Тт», Воспользовавшись неравенством (а+ о+ с)за 3(а'+ Рз+ с) н условием б) теоремы, получим М ] Я (1) ] ( 3М ] В (10) ] + 1 + 3 !Т вЂ” ! ) М ~ К» (! + ] ~ (з) ]з) сЬ + 3 ~ МК'(1 + ] ь (з) ]з) сЬ -. 1, 1о . 3М] ~(1) ]'+ ]3(т — 1)'Кз+ 3(т — 1Р)+ К] (! +]] ~]]). существовлниГ и единственность Решении 473 Таким образом, оператор 5 преобразует 27' в:!!. Да7!Ес, имеем М ~ 5ь! ( ) 522 ( )! ! ~(2(Т вЂ” ~,) ~ М[а(з, ь! (з)) — а(з, ь2(з)))21Ь+ ;с 2 +2М~~(о(з, 1!(з)) — о(з, Ьз(з))) аш(з) ~ < 1, е 2 $ М!ь!(з) — ь2(з)) !(з~~~-(( !а)!!ь! ь2,!, ь 1. = 2 К2 (т — (, + Ц.
Это соотношение показывает, что оператор 5 непрерывен на Я. Лалее, М ~ 5"~, (1) — 5"~2(1) Р ~ с ~~ Ь ~ М ) 5" '~, (и) — 5" '~, (и) /' !(и ( !а ~1." ~ ... 1 М~~,— с,~-',(1, ...а„=""(!-")" ~~~,— ~,У. Поэтому для каждого 1,(1) из Я справедливо неравенство ~~5""~ — 5"~Г<' "„, "' ~~5~ — ~~~'. Из сходимости ряда 2.
~15""'~ — 5"М вытекает существование предела процесса 5"ь(7) при и — » со. Если обозначить этот предел через ф(7), то из непрерывности 5 вытекает, что 515"~(7)) — «Я(1), Ио 515"~(1)) = 5 е!" (7) -1- -Р$(7). Таким образом, !!Я вЂ” Ц1~ =О. Из определения нормы вытекает, что тогда в(1) = Я(7) с вероятностью 1 при каждом 7~(12, Т) т. е.
$(1) — решение уравнения (2). Перейдем теперь к доказательству существования решения уравнения (2) в общем случае. Обозначим через Г(7,) величину, равную В(~2) при )$(!2) ! ~ ~ й7 и равную О при !$(72) / > 12'. Через ~!У(7) обозначим реше- ние уравнения Ьм(7)=ак(т)+ ~ (,Ь'(.)) (.+$.(.,Ьм()) (- () (б) !ц 1, диееузнош!ыв пгопессы [гл, чш 474 Так как [Кл((о) [: — И и М[$" (Го) [з < со, то решение уравнения (5) существует н, как вытекает из уже доказанного, зпр йй[$я(() [з < -.
Покажем, что при М-~ со як(7) сходится по вероятности к некоторому процессу $(1), являющемуся решением уравнения (2). Пусть Ф' ) Х Обозначим через т) случайную величину, равную 1 при [в(1а) ~ е.", М и 0 при [$(74) [> М. Тогда [ви(7о)— — ф" (7,) ~41 = О. Величина т1 измерима относительно а-алгебры 5»,. Исходя из соотношения р 1 -12 [вя(7) — в" (7) [з4)~~2 ~ ~ [а(з, $" (з)) — а(з, С"'(з))] т~ 4Ь~ + ь гс 2 + 2 ~ ~ [о (з, ~л (з)) — о (з, ~л' (з)) [ и Ыю (з)) и используя условие а) теоремы и уже применявшиеся оценки интегралов, убеждаемся, что существует постоянная Т. такая, что 4 М~Г(7) — В"'(7) РЧ~(.
~ Рй! е'(з) — Г'(з) ГЧ 1 и Следовательно, М [$м (7) ~~' (7) ~ так что Р([~'(7) — Вл'(г) ! > О) < Р(~ ц(г,) ~ > Л), Из последнего соотношения вытекает, что $" (7) по вероятно- сти сходится к некоторому пределу $(т) прн Ж-+ со, причем г ~ (~" (7) - $ (7))' 4(7 с, по вероятности сходится к нулю при М-+ со. Используя условие а) и свойство 1Ъ' 5 1, убеждаемся, что ~ а (з, $" (з)) дз-+ ~ а (з, $ (з)) дз, и и 4 с $ о(з, $" (з)) и'ю (з) -+ ~ о(з, $ (з)) йо (з) и по вероятности при Л" - со. Таким образом, $(з) удовлетво- ряет (2).
1 э 2! сушестВОВхпие и ВдинстВенность Реп»еппи лтб 11окажем, что в условияк теоремы 1 решение уравнения (2) будет процессом Маркова, Для этого докажем следующую теорему. Теорем а 2. Пусть а(1, х) и о(1, х) удовлетворя!от условиям теоРел»ы 1, а В» „(з) — пРоЦесс, опРеделенный пРи в ~(1, Т), 1) 1о и являюи1ийся решением уравнения $»,„(в) =х+ $ а(и, е» „(и))йи + $ о(и, о»,„(и))йа»(и). (6) / Тогда процесс $(1), являюи1ийся решением уравнения (2), будет процессом Маркова, вероятности перехода которого определяются соотно!иениел» Р(1, х, в, А) = Р ('» „(з) с= А).
Доказательство. Так как е(1) измерим относительно 5», а $» „(з) полностью определяетсн процессом ш(в) — ш(1) при в е= (1, Т) (не зависящим от 5»), то $»,„(в) нс зависит от $(1) и событий нз 51. При ее=(й Т) ь(з) будет единственным (ввиду теоремы 1) решением уравнения В(в) =";(1)+ ~ а(и, В(и)) йи+ ~ о(и, $(и))йа»(и). Процесс е», осо(в) будет также решением этого уравнения.
Поэтому с вероятностью 1 е(е) = $», о»о(з). Покажем теперь, что Р й (в) ен А ~ 1 (1)) = Р ($ (в) ~ А ~ 3»). Для этого достаточно показать, что для любой измеримой относительно Я» ограниченной величины ~ и любой ограниченной непрерывной функции Х(х) Мс7 ('-(в)) = МгМ (х (е (з))) е(1)).
(7) Обозначим»р(х, а) =Х5»,(з)). Тогда 7. (5(з)) =»р(~(1), а). Предположим сначала, что ф(х, а) имеет вид ф(х, а) = 2 фо(х)»)»о (со). (8) Тогда, так как с)»о(а) не зависит от 5», то о »» о М~ ~„фо(оь(1)) фо(а) = ~„Мьфо(ьо(1)) М»)»о(со) = М ь~, тфо (ь (1)) Мфо (а), л л М Яфо(К(1))фо( )!$(1)) = Е фо(В(1)) Мфо(а) Таким образом, (7) установлено для того случая, когда ф(х, а) имеет вид (8). Более того, мы установили, что в этом 476 ПИФФУЗИОНН4ЯЕ ПРОЦЕСС4Я 4гл ун4 случае М (Л (ь (з))1 64) = д (~ (1)), (9) где д(х) = М7,$4,„(з)). Очевидным предельным переходом (7) и (9) распростра- няются на все функции Ф(х, 44). Следовательно, РД(з) ~ А!64) = Р4,4(4)(з, А), где Рн„(з, А) = Р(й4 „(з) ец А).
И Покажем, что прп некоторых дополнительных предположе- ниях процесс ь(1) будет диффузионным процессом с коэффи- пиентом диффузии о'(т,х) и коэффициентом переноса а(1,х). ,т(ля этого установим предварительно одно вспомогательное предложение. Л е и и а 2. Пусть Е4 „(з) — реи4ение уравнения (6), коэффи- 44иенть4 которого а(4,х) и о(1,х) удовлетворяют условиям тео- ремы 1. Тогда существует такая постоянная Н, что М ~ Ь (з) — х ~4 = Н (з — 1)'(1+ х'). Доказательство.
Пусть тк(з)=1 при эцр ~Ц44к(и) — х~(й7 4~4(4 н тн(з) =0 в противном случае. Тогда (ь4, (3) х) кн (з) = =4 (ч[(к<) н 4,.ь44 4-14,<) <,4..ьь4 ь>1. Используя неравенство (а+ Ь)4 ( 8а4+ 8о4, неравенство Коши и свойство Ъ'П 9 1, получаем Г 5 14 М(ян„(з) — х)4 ум (з) -=.8М ~$ ун(и) а(и, «4,„(и)) 4(44~ + с 4.
Вн [(к.(П.ь, „< 44.44] ( (8(з — ()з $ МХн (и)(а(и, Ц4,„(и)))44(и+ 1 +8 86(з — 1) ~ МХн(и)(о(и, $4,„(и))]444и( 4 (64( 4)4~а4(и х)ди ( с 5 е! сушествовлние и едннстаен1нэсть Решении стт + 64 (я — с)з ~ М1сн (и) [а (и, ~с, „(и)) — а (и, х)]4 с1и + с +64 36(з — 1) ~ о'(и, х)с(и+ с 5 + 64 36(з — 1) ~ МХх(11) [о(и, йс,„(и)) — в(и,х)]'всич-' < Т- (з — 1) $ МХ,, (и) ! йс, „(и) — х !' дс + й (з — 1)', с где Т. зависит лишь от К, а Я =Н1(1+х"), где Н, зависит лишь от К.
Значит, если а(з) = М [ес,,(з) — х!'у, (з), то а(я) ((. (я — 1) ~ а(и) сЬ+ й(з — 1)с. При 1( з (1+ 1 а (з) ( й ~ а (и) с(сс + я (з — с)с. Значит, в силу леммы 1 а(з) ='Я (з — 1)с+ й ~ ее м-"!й (з — и)'дсс. Поэтому при с (з ='1+1 можно указать такое Н, что а(з) (Н(1+ х') (з — 1)'-, М ! Цс, „(з) — х !' тя (я) ( Н (1 + х') (з — ~)'.
Переходя к пределу при Н-~ со, получим доказательство леммы. Я С л ед от в ие 1. Пусть е(1) — решение уравнения (2) и а(1,х) и о((,х) удовлетвортот условиям теоремы 1, а М]$(1ь) [4 < оо. Тогда зпр М[5(1) !'( со. се<с<У Действительно, нз леммы 2 вытекает М(! $(1) — 1 ((о) !'[$(1ю)) «(н(т — то)'(1+ [е Чо) !'), М ! В(1) !'<8М! В(зе) !'+ 8ММ И В(1) — В((ь) !'[Б(1е)). 478 днеегзионньсе пгонггсы сгтс чс)с Следствие 2. В условиях предыдущего следствия существует такая постоянная Н,, что М [~(1) — $(з) 1'( Н, (з — 1)'. Действительно, при 1(з М [ К(з) — %(1) ['(Н(з — 1)'(М [й(г) ['+!).
Т е о р е м а 3. Если выполненьс условия теоремы 1 и, кроме того, а((,х) и о(1,х) непрерьсвны по 1 при 1ен[1ь, т[, то тогда ос(1,х) и а(1, х) будут соответственно коэффициентами диффузии и переноса для процесса $(1), явля)ощегося решением уравнения (2). ссоказательство. Так как переходная вероятность Р(й х, з, А) для процесса с(1) на основании теоремы 2 совпадает с распределением величины $с,,(з), то, как вытекает из леммы 2, (у — х)4 Р (1, х, з, с?у) = М ~ ~с,, (з) — х [' = о (з — 1). Используя замечание к теореме 6 $ 4 гл. 1, убеждаемся, что для доказательстна теоремы достаточно показать, что выполняются соотношения ~ (у — х) Р(с, х, з, а)у) = Мас,„(з) — х=а(1, х)(з — 1)+ о(з — 1) (10) и ~ (у — х)' Р (1, х, з, с(у) = М (8с, „ (з) — х)' = = 0' (1, х) (3 — 1) + о (3 — 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
