И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 81
Текст из файла (страница 81)
В этом случае мы будет рассматривать предельный переход от процессов, у которых изменения происходят лишь в некоторые фиксированные моменты времени, к процессам, непрерывно меняющемся во времени, при условии, что расстояния между моментами, в которые происходят изменения допредельных процессов, стремятся к нулю. Для таких процессов будут также рассмотрены условия слабой сходимости.
$1, Слабая сходимость распределений в метрическом пространстве Пусть реализации процессов $ (1) н $(1) (г ~ (а, Ь]) принадлежат с вероятностью 1 некоторому функциональному метрическому пространству Х с метрикой рА(х, у), х, д еп Х. Например, если $ (1) и $(1) с вероятностью 1 непрерывны, то они принадлежат пространству в." непрерывных функций с метрикой р„(х, у) = зцр)х(1) — у(1) ~. В качестве класса функционалов г', для которых ищутся условия сходимости распределения )($„(() ) к распределению 1(З(1)), мы пРинимаем совокУпность непРеРывных в метРике Рх функций на Х. Для того чтобы )(з(1)) была случайной величиной, достаточно потребовать сепарабельпости пространства Х и измеримости множества (кс $(1)еп 5) относительно исходного вероятностного пространства для всякой открытой сферы 5 пространства Х (так как в этом случае будет измеримым и множество (ек Б(1)ен А) для всякого борелевского А из Х).
В дальнейшем мы будем считать Х сепарабельным пространством, а процессы е„(1) и ~(1) удовлетворяющими сформулированному выше требованию. Случайному процессу $(1) (е (~)) будет соответствовать мера 1А (1А„), определенная на о-алгебре 6 всех борелевских подмножеств следующим соотношением: 1А (А) = Р ($ ( ' ) Е: А) (1Ал (А) = Р ($л ( ) Е: А)). 5!6 птвдвльиыв теотвмы для слтчлиных иго!!вссов [гл !х Для всякого ограниченного 6-измеримого функционала выполняется соотношение М ) (в (1)) = ~ 1 (х) и (с(х). Заметим, что для сходимости распределений 1($„(!)) к распределению ) (в(!) ) для всех непрерывяых функционалов необходимо и достаточно, чтобы для всех непрерывных ограниченных функционалов ) 1ип ~ ! (х) !с„(йх) = ~ ~ (х) р (Нх).
(1) Действительно, из сходимости распределения ) Д„(Г)) к распределению Я(!)) и ограниченности 1 вытекает сходимость М)($„(!)) к М! Д(!)), а значит, и соотношение (1). С другой стороны, из (1) вытекает, что для всякого непрерывного функцио-, нала 1 характеристическая функция величины 1Я„(1) ) сходится к характеристической функции величины Я(!)): 1ип Ме ий (еч и') = 11 гп 1 е! ов р„(йх) = ~ е~ ! '! р (йх) = Ме~~! !! пв. Л.+а л.+ г О п р е д е л е н и е.
Если для всех непрерывных ограниченных функций !'(х) выполнено (1), то говорят, что последовательность р, слабо сходится к лере !х, и пишут р;, =~ р. О и р ед е л е н и е. Последовательность мер а„называется слабо компактной, если из всякой ее подпоследовательности можно выбрать слабо сходящуюся последовательность мер: Теорем а 1. Пусть Х вЂ” полное сепаробельное пространство, 6 — о-алгебра борелевских множеств. Для того чтобы последовательность мер 1с„на 2! бгчла слабо компактной, необходимо и достаточно, чтобы а) зпр р„(Х) < со; ч б) для всякого е ) 0 существовал компакт К такой, что зпр р,(Х ~К) < е.
и Для доказательства теоремы нам понадобится Л ем м а 1. Пусть Х вЂ” компакт и зпр!т„(Х) =Л < со. Тогда последовательность мер р слабо компактна. Доказательство. Пусть Юх — пространство непрерывных функций 1 на Х, 11111= зпр1) (х) 1, %х — полное нормированное сепарабельное линейное пространство. Обозначим через (Я, й = 1, 2, ..., всюду плотную в Юх последовательность. Диагональным методом можно выбрать такую последовательность мер сллвля сходимость глспгвдвлении 1г,ь, чтобы дла всех «сУществовал пРедел 1пп ~ «~(») ц (с~») =«]~,].
Так как то «(«;] — равномерно непрерывный функционал на множестве (Я, й = 1, 2, ..., и, следовательно, он может быть продолжен по непрерывности на все пространство У». '«]«]= 11ш «[«ьь]. «л '+Е При этом соотношение «1~] = 1пп ~ «(») р,„ь(Ы») остается справедливым для всех «. Как предел последовательности линейных неотрицательных функционалов, «Щ также является линейным неотрицательным функционалом на У». Поэтому в силу теоремы о виде линейного функционала на пространстве Ю» (см., например, Р, Эдварс (1], стр. 285) «Щ представимо в виде «И = ~ «(») и ( «»), где и — некоторая неотрицательная счетно аддитивная функция множества.
Значит, и — мера н ц слабо сходится к ц. ай Приступим к доказательству теоремы. Выберем последовательность е — 0 и компакты К<"'1 с= ~ Ко"+и, для которых зцр р„(Х",К~ ') (е„. Положим л р'"' (А) р„(А () К'">). Выберем последовательность и"> так, чтобы последовательность мер цп], слабо сходилась к некоторой мере И">. Определим последовательности пф так, чтобы и'~~ была подпоследовательностью пп-и и последовательность р'И слабо сходилась ь .р к некоторой мере иц>.
Так как ми> и р««-и совпадают на Кц-п, то чаг~ р — рп+Р>1я..2е«, значит последовательность р'и сходится по вариации к некоторой мере 1г. Покажем, что ц ~м "ь слабо сходится к р. Действительно, для всякой ограниченной 518 пгглгльпыг таоггмы для слхчйиных пгопягсов [гл, ~х непрерывной функции 1пп ~ ~ 1'(х) 1й,ь (дх) — ~ 1" (х) 1й(г)х) ~( / ( Рй)~„п(~й- ( Р().~М!.~ ком ком +П1П()нп 1й,й; (Х' К'"')+ 1й(Х",К~ >)) < 2Д1~|а . Достаточность условий теоремы установлена.
Для доказательства необходимости нам понадобится Л е м м а 2. Каково бы ни было е > О, можно указать такой компакт К, что 1й(Х",К) ( е. Действительно, пусть (хм и = 1, 2, ...) — всюду плотная последовательность в Х, 5й — сфера радиуса 1/2" с центром в хм Так как ЦЗй=-Х, то для всякого и можно указать такой комер и„, что р( О л~) )~(х) — ч2'. чй ! йл Полагая К= П () Я, получим компакт, для которого ~-~ й=~ / и ц (Х' К) ( ~~, р ~ Х ° () о л~ ~ е ~ 2. = И л й=. п ! Необходимость. а) Если р„слабо компактна, то ~ 1 1й„(дх) компактное числовое множество, следовательно, последовательность 1й„(Х) ограничена.
Предположим, далее, что последовательность р„ слабо компактна, но условие б) не выполнено. Заметим, что условие б) эквивалентно следующему: б') для всех е ) О и 6 ) О существует компакт К, для которого зцр р„(Х '~ Кь) < в, если Кь обол значает совокупность точек х, расстояние которых от К не превышает 6.
То, что из б') вытекает б), очевидно. Обратно, пусть К1',,' — компакт, для которого впр 1й„(Х '; Кф) --. с/2". слАЕАР схопимость РАспрепелгпии 519 Тогда П К',;! будет компактом, для которого выполняется условие б). То, что условие б') не выполнено, означает следующее: существуют такие е > 0 и 6> О, что для всякого компакта К будет зпр 1А„(Х; К,) > е. л Обозначим через К!'! компакт, для которого р,(Х', К!") ( в (существование такого компакта Кеа вытекает из леммы 2). Так как ьпр1А„(Х '' К!'") > е, то найдется такой номер и„ что л 1А„(Х х, КА!л!) > е, а значит, найдется и компакт К!'!, для которого 1А,,(К!'!) > а и К!'! ~ Х", К"! (опять на основании леммы 2).
Так как зпр 1А„(Х', КАР!'; К"!) > е, то найдется номер и, и компакт К!!! ~ Х ", К!!" ', К"' такие, что 1А„(К<м) > е. Продолжая этот процесс, выберем последовательность номеров и; и компактов К!!! 1-! г! †! так, чтобы рл (К'и) > е и К!" г:-Х'' Ц Кп! Х '~ ~ Ц Кп'1 . Обол! !=Я Лз значим через у! (х) непрерывную, неотрицательную, ограниченную единицей функцию, равную нулю на Х; КА()!!и равную 1 на К"!. Так как расстояние между каждыми двумя компактами последовательности К'о не менее б, то функции у,(х) при различных !' не могут быть одновременно отличными от нуля. Выберем из последовательности р„.
слабо сходящуюся после! довательность 1А'. пусть она сходится к 1А. Так как мера 1А конечна, а ~Х!(х) непрерывна и ограничена, то К;(х)1А(Их) =~~ ~ т!(х)1А(!Хх) < Яо и, значит, Ит ~~ ~Х!(х)1А(с(х)=0. С другой стороны, р + ! р $ ~~~ Х! (х) 1А' (с(х) > 1А (К!р'!) > е (1АА 1! ) ! р как только пр > р, и, значит, для всех р ~ К!(х) р(г(х) = Игп ~ ~ т!(х) 1А' (г(х) )е.
! р Полученное противоречие убеждает нас в необходимости условия б). йз 520 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТГОРГМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОПЕССОВ 1ГЛ.!Х 3 а м е ч а н и е 1. Полнота пространства Х использовалась только при доказательстве необходимости условий теоремы. Условия теоремы достаточны для слабой компактности последовательности мер в произвольном метрическом пространстве. 3 а м е ч а ни е 2. Если р„слабо сходится к р, то для всякого множества А ен 6, для которого р(А') = О, где А' — граница А, !Пп р„(А) = р(А).
л+ Действительно, возьмем произвольное множество А ы Э, Пусть А1'> — его открытое ядро (множество всех внутренних точек А), а [А] — его замыкание. Если р„слабо сходится к р, то, выбирая непрерывную функцию [(х) ) 0 так, чтобы 1(х) = 1 при хан[А] и р([А])"' ~ [(х) р(йх) — е, получаем р ([А]) ) ~ [ (х) р (Их) — е = 1нп ~ [ (х) р„(йх) — е ) ! 1гп р„(Л) — е.
Значит, !Пир„(А)» (р([А]), 1ппр (Х'~,А)(»р([Х' А]), — 1>п>рл(Л)(» р('! ') Поэтому р (А(м) (!1!11п> р„(А) (!пп р„(А) ( р ([А]). Если р (А') = О, то р (Аы>) = р ([А]) = р (А) и, значит, р(А) ( 1!~п р„(А)--.!Нп р„(Л)(р(А) Отсюда и вытекает утверждение замечания. 3 а меч ание 3. Пусть !'(х) почти всюду непрерывна по мере р и р„слабо сходится к р. Тогда для почти всех а Игп р„((х: ) (х) < а)) = р ((х: 1 (х) < а)). Действительно, обозначим через А, множество точек разрыва 1. Тогда р(А,)=0. Пусть 6, — множество тех х, для которых )(х) < а, а 6,' — граница множества 6,: 6'„= [(х: 1(х) < а)] Д [(х: 1(х)ха)]. Пересечение множеств 6', и ~,' при а < а, содержится в пересечении множеств Цх: 1(х) ( а)] () Цх: 1(х) = а>Ц; поэтому из хан 6',П 6'„вытекает, что ! пп 1п1 1(у) (» а, 11п> зпр ) (у) Ъ ап г.+х е.+х $ и ПРЕДЕЛЬНЪ|Е ТЕОРЕМЪ| ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
