И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Поэтому Ь, (х)(бс (х). Значит, !! ь р (х, х")К4бс (х). Наконец, положим х" (!) = — Еп!(тх*(!)), где Еп1(х) — целая с!с часть х. Так как 1х*(!) — х" (!) !( —, то 1 рм(х,х')(рв(х,х)+рм(х,х*)+рв(х",х')( — + 4Л (х)+ —. ° и Следствие. Пространство йб! и с метрикой ра, сепарабельно. Т е о р е м а 1. Пусть ~ — некоторая положительная постоянная, а в(б) — функция, определенная, непрерывная и монотонная при б > О, причелс !!т в(б) = О.
Обозна'шм через К(l-, в) мноьчь жество функций из Ы!ь ! удовлетворяющих соотношениям ) х(с)1(Т., сЛ,(х) (в(с). Тогда К(Ь, в) является компактом в метрике р Доказательство. Заметим, во-первых, что для каждого е > 0 К(Е, в) имеет конечную е-сеть; такую е-сеть образуют функции из Н,„, удовлетворяюшие соотношению)х(!)1(Т., если пг и и 1 1 т2х выбРаны так, что — + —, + 4в сч — с! < е. Множество К(Ь, в) замкнуто. Легко проверить соотношение б,(х) (й,+,„,(у) + Зр (х, у).
Поэтому, если р (х„х)-+О и х„~К(!., в), то для всякого а>0 Ь,(х)( 1пп ссс „(х„)+ За(в(с+ а)+ За. Значит, ввиду непрерывности в б,(х)(в(с). Очевидно также, что зпр ~ х (!) ) ~( зпр | у (!) 1+ Зр, (х, у), так что с с ьпр ! х(1) 1( 11ш (зпр)х„(!)1+ Зр,(х„, х)1( 1,. 1 1 Следовательно, предел последовательности, принадлежашей К(Ь, в), будет также принадлежать К(Т., в). Остается показать, что всякая фундаментальная последовательность х„(!), Б44 пгедельные теОРемы для случАйных ЙРОцессов 1гл.!х принадлежащая К(Е, га), будет сходящейся (тогда мы пока. жем, что К(Е, ы) является полным метрическим пространством с конечной е-сетью для каждого е ) О, а это и означает, что К(Е, ы) — компакт).
Пусть х„(1) — последовательность функций из К(Е, ы), для которой р (х„, х ) — 0 при и и лг- со (т,е. х„(1) — фундаментальная последовательность). Достаточно показать, что некоторая подпоследовательность х„(1) имеет предел х(1). Поэтому можно считать, что последовательность х„(1) 1 такова. что р (х„, х„+,) < — „,, Тогда существует последовательность функций Л„(1) из Л такая, что 1 зцр [ х„(1) — х„+, (Л„э, (1)) [ ~ („+,, 1 зцр ~ г — Л„, (1) [< — „„, .
1 Положим 1А, (1) =Л1(г), р„(1) =Л„(11„-1(1)), Так как зцр[р.(1) — р.— (1) ~~ —,Р 1 то р„(1) сходится к некоторой неубывающей непрерывной функции 1А(1), удовлетворяюШей условиям 1А(0) = О, 1А(1) = 1. Далее, зцр [ х„(р„(1)) — х„, (р„1(1)) [ = зпр ~ х„(Л„(1)) — х„, (1) [ 1 1 Поэтому х„(1А„(г)) равномерно сходится к некоторой функции х*(1) из уА11Е11, Рассмотрим связь между функциями х*(1) и и(1).
Пусть 11(1) постоянна на некотором промежутке [а, р]. Если х*(а) = х*(р), то х*(1) также постоянна на [а, р]; если же х*(а) эь х'([~), то существует такое у ен [а, р], что х*(1) = х*(а) при 1 ~ [я, у), х'(1) = х" (и) при 1 ее [у, [4]. Действительно, в противном случае нашлись бы такие точки 1' = 1" < 1"; принадлежащие [а, р], что х*(1') Ф х" (1"), х" (1") чь х*(1"'), и тогда !пп ппп [[ х„(р„(1')) — х„(р„(1")) [; [ х„(1А„(1Р)) — х„(1А„(1"')) [] = = гп|п [~ х'(1') — х*(1") [; [х'(1Р) — х*(К") 1] рк О, хотя 1А„(1') < р„(1") < 1А„(1'") и 1А„(Г'), 1А„(1Р), 1А„(К") стремятся к 1А(и). Это противоречило бы тому, что последовательность х„(1) принадлежит К(Е, гз), Обозначим через х(1) функцию из м)1е н, определенную соотношением х" (1) =х(п(1))„ (5) выполняюшимся во всех точках Е в которых р(з) ) 14(1) для всех з ее (Е 1].
Соотношение (5) определяет единственную функ- 545 пгостгянство яф цию х(1) нз Ы1, с1. Покажем, что эта функция х(1) будет пределом последовательности х,(1). Для этого построим вспомогательные функции ср„(1) из Л. Пусть тс, тм ..., тя — все точки [О, 1], в которых х(1) имеет скачки, превосходящие 1,'и. Обозначим через [аь [1с] максимальный промежуток, на котором рс(1) принимает значение тс (этот промежуток может содержать и одну точку). Пусть у; — такая точка промежутка [ао (4с], что при ~ [ас, у) х'(г) =-х(т, — 0), а при 1 си [уо Ц х" (1) =х(т) (в частности, если а; =то то х'(1) на [аи рс] принимает единственное значение х(т;)).
Выберем з„, не превосходящее 1/и, так, чтобы Л, (х) (!/и, Пусть ф„(1) — функция, удовлетворяющая соотношениям ср„(у,) = то [ф„(1) — рс (1) ~ ( е„. Оценим зцр] х'(1)— с — х(ф„(1)) [. Если 1 не принадлежит ни одному из промежутков [ан [4с], то 1х'(1) — х(фч(1)) ~=]х( (1)) — х(фчЯ)]==2Л.
(х)+ 1/п на основании леммы 1, так как х(1) между 14(1) и ф„(1) не имеет скачков, превосходящих 1/и. Если 1еи [пи тс), то ] х*(1) — х(ср„(1)) ~( зцр ] х(т, — 0) — х(з) [(Л, (х), ~ - (сс-сл сс) поскольку /х(тс — 0) — х(т,) [) 1/и. Аналогично устанавливаем, что при (~[то рс] ]х'(1) — х(ср„(1))](Л, (х). Следовательно, зцр [ х" (1) х(фп(1)) ~~ (2Лс (х) + 1/п~(3/и. с Оценим теперь рм(х„, х). Имеем р (х„, х) < рм (х„(1), х" (р„-' (1))) + + р,(х*(р„' (1)), х(ср (рс„-с (1)))) + рм (х(1), х(ср„(1с„-с (1)))) = ( знр ~ х„(р„(1)) — х' (1) ] + зцр1х'(1) — х (ф„(1)) [+ с "(~ сс )) [ ~ 2" + и + + зпр [ 1с„(Г) — ф„(1) ] ( — „+ — + — „+ е„.
1 3 1 Таким образом, рм(х„, х)-~0, т. е. последовательность х„сходится к функции х(1). ° Т е о р е м а 2. Если конечномерные распределения последовательности процессов $„(Г), не имеющих разрьсвов второго рода, сходятся к конечномерным распределениям процесса $(О 546 птвдельные твотвмы для слтчлпных пгопяссов !гл ~х и для любого е ) О (6) 1пп 1пп Р (Л, ($„(1)) > е) = О, с.+О и+ то для всякого функционала 1, определенного на Ям и и непрерывного в метрике р, распределение )(В„(1)) будет сходиться к распределению 1(Е(1) ). Доказательство.
Используя замечание ~ 2, убеждаемся, что условие (6) влечет следующее условие: 11гп зпр Р(Л,(я„(1)) > е) =О. (7) с+О и Используя замечания 1 и 4 5 1 и теорему 1, видим, что для доказательства теоремы достаточно показать, что (8) !пп зпр Р(зпр1$„(г) ! > Ц =О. Ь-ис и с Но для всякой функции х(1) из Ы)м и зпр 1х(1)1< зпр !х ( — ) )+ Л < (х), так как при У ~~ —, 1 или ~х(1) — х( — ) < Л ~ (х), гс й+1 и или ~х(1) — х ( — ) ~ < Л ~ (х). Поэтому ис Р (зпр!$„(1)1> й) =Р ( зцр 1$„( — ) ~ > Е.— е~+ + Р(Л ~ ($„( )) > е).
Случайная величина зпр ~ $„~ — г! ~ ограничена по вероятности тих ихт) равномерно относительно п. Это следует из сходимости конечно- мерных распределений $„(1) к конечномерным распределениям в(1), что влечет сходимость распределения зпр ~$„ ~ †) ~ к рас. Й х ) тих пределению зпр 1$ ~ — )~. Значит, Ф<ис ~ 1пп зпр Р(зпр1а„(1)1> 1,) ( зцр Р( Л ~ ($„( )) > е). си~ и 1 и Переходя к пределу при пг- со, убеждаемся в справедливости (8). И о47 сходпность сими $ 6.
Сходимость сумм одинаково распределенных независимых случайных величин к однородному процессу с независимыми приращениями Пусть аю, яьр, ° °, $„ь при каждом и являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами. Положим 5„ь = а,н +... + р,м. Рассмотрим случайный процесс га — 1 а„(7), определенный соотношениями а„(1) = 5юь 1ен1с —, — „) (5ьо = 0), $,(1) = 5„,. Этот процесс является процессом с независимыми приращениями, имеющим разрывы в точках й)п.
В этом параграфе будут исследоваться условия, при которых конечномерные распределения процессов с„(1) и распределения непрерывных в метрике р функционалов от этих процессов будут сходиться к конечномерным распределениям и распределениям соответствующих функционалов ог однородного процесса $(1) с независимыми приращениями. Мы будем считать, что выборочные функции процесса а(1) (который будет предполагаться стохастически непрерывным) с вероятностью 1 принадлежат Ы1р, ги Как известно (см.
гл. 1, ~ 3), характеристическая функция однородного процесса с независимыми приращениями может быть представлена в виде МЕ'Хги1=ЕХр~7[17Оу+ ~ (Ецо — 1 — '~", ) 1+" й6(и)~~ (1) где 6 — монотонная ограниченная функция, причем формула (1) полностью определяет конечномерные распределения процесса а(7).
Свяжем с последовательностью сумм 5,„две величины: где Е„(х) — функция распределения величин с„ь. Теорем а 1. Если существуют число у и неубывающая ограниченная функция 6 (х) такие, что у„-+ у и 6„(х) => 6 (х), то конечномерные распределения процессов с,(1) сходятся к конечномернсчм распределениям процесса о(1) с характеристической функцией (1). При этом для всякого функционала 7", апре" деленного на Я1р 11 и непрерывного в метрике р , распрвделение )(я„( )) будет сходиться к распределению 1(а( )).
Доказательство. Поскольку ь,(7) также является процессом с независимыми приращениями, то для доказательства сходи. мости конечномерных распределений достаточно доказать что 548 ПРЕПЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧХПНЫХ ПРОЦЕССОВ !ГЛ. 1Х распределение Р„(1е) — $„(1!) при О ( 1! ( 1г ( 1 сходится к распределению в(1г) — $(1!). это же вытекает из предельной теоремы для сумм независимых случайных величин (см. Б. В. Гнеденко (3), стр. 289), Воспользовавшись замечанием 4 $1 и учитывая теорему 2 3 5, убеждаемся, что для доказательства теоремы достаточно показать, что для всякого е > О !ип 1ип Р (о,(<„( )) ) е) =О. <->О ч->~ (3) Для доказательства (3) нужна следующая Лемм а 1. Пусть $1, се, ..., Вч — независимь!е одинаково расареде,генные величины.
Тогда (- -(~х(' Н <(Р( Р/хг,!> — ')) . гчг влечет одно из событий А,(с =1, ..., П) ! А,=(!$!+ ... +$е!( —, й(т — 1; !~!+ ... +~,!> е; знра"1+ " +Ь!!>21. Так как Р (Аг) = Р (! ь! +... + йе ! (» ~, й (» т — 1; ! е! + + Вг ! > я '( Х ХР~зпр!Ь„,+ ... +Ь,!>Я, д------.а.- <!<! ° ! ~ !.!> . Р ь~> . !Ф-!ч-! ! ь-г-Р! е Тогда или 2" Зь~> —, или ~ ~' $„~) — и для всех т(1 или ь=! е-! ! 2,' ее ~ > — или ~ ~ Еь ~ ) — Таким образом, событие Ьь~ Р! е г+! ( "' ""П ' 'И ' ' 1") схолнмость сумм 549 то, учитывая, что величины 9! одинаково распределены, полу- <2.'Р()1.Р ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
