И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 83

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 83)

Для того чтобы конечномерные распределения процессов Е„(1') сходились к конечномерным распределениям процесса Е(1), достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: 1) !1Гп тахЛ1„« =О; л+ й «л 2) 1нп 2, М((ал(1 «, е„й) — а(1,ь е «)(й+ «+ой 1 +1ол(1 ь е») — ол(1„«, $„«) (й) И «=О; 3) при некотором б) О йл-1 1пп ~, М1$ь»+1 — Е„«1~~ = О л-+ «-о й -1 л Р-1(ш епр ~; М(1Е„,1+1 — $„1 1'+'~$„й) =О; .+ «>о -й 1 ал (1л«, х) 4) функции и ' ) равнол1ерно ограничены ото„(1л«х) вл ((л«, х) носительно и; 5) предельное распределение величинь1 Е„о совпадает с распределением величины Ео. Доказательство.

Положим ал«[$ьй+, — й„й — ал((л», $„«) б(„«] (а„((„„$„«)) '. (1) Тогда $„й+1 — — $„«+ ал(1 „, Е„й) б(„й+ ол((ль Е„й) оо„й. М(ьо„«)5„«) =О, М(оой«~Я„«) =И„,. (2) Рассмотрим величины чль определяемые соотношениями т)ло ~ Ело~ т)., »+1= «), + а ((,ь т(. ) б(, + о(1 ь т)л ) мл», Обозначим через б„й минимальную о-алгебру, относительно которой измеримы величины $„„»„„..., ~„«. Величина оо„й будет измерима относительно о.алгебры 5„«й„причем 2 И сходнмость последоВАтельности цепей мАРкОВА Б29 и оценим М(ч„» — з„»)2. Очевидно, что ч„» также измеримы относительно а-алгебры г5„». Имеем Чь»»! — Е,, »+! = Ч„» — Е„»+ [а (! ь т!«») — а(! ь Е,»)] Ж,»+ + [а(т„», Ч„») — а(1„ь $„»)] от„»+ е„», е„»= [а($ ь е») — а„(1„», $л»)]б1„»+ [а(1„», е„») — а,(! ь $,»)]от„».

Поэтому, используя соотношения (2) и условия Липшица для а и а, а также неравенство 2ад«»а'+()2, получим М [ Чл, »е! ьл, »-~-! ! «» «» М ~ т1,» — Е~» ['+ 2М (Ч„» — 'лл»)(а(!л», т1„») — а(т„», ~„»)) Е»1л»+ + 2М (ч„» — з„») (а (1„„~„») — а„(!„» Р„»)) д1„ + М [(а (! ь т)л») — а (!л», $л»)) б1„» + (а (1„», т1„»)— — а(!л», Зл»)) отл» + е„»]' » М ! Ч„» — Ел» !'(1 + 2К Мл» + б!л») + + М ~ а (1„„Е„») — а„(1„„$„») [2 б1„» + +2М(а(!»,т1 ) — а(1„»,2 ))тб1~ + + М (а (!», Ч„„) — о (!», $ ))' М (отт [5 ) + 2М ет «»М]Чл» Ел»!Е(!+ЕЖ»)+а Ь где Е =2К+1+ 4К', а =М(а(!», К ) — а (! „, ~ )12(б! +А!2 )+ + М [О(тл», Ел») — Ол(!л», ф„»)]2«»т„».

Так как М[Чло — алло!'=О, то М[зл! — Ч„! ['«аль М[ ел» Ч 2 [ »«ало(1 + Еб!ло)+ !'«л! » «(1 + Е~"~1~0) [ало+ ««л!1 М [ Ело — Ч ло [2 «» [а„о + а„«] (1 + Е б1ло) (1 + Е б!л!) + а„» « «[а„о + а„! + Олт] (1 + Е. б!ло) (1 + Е, Ыл!), »-2 »-2 М [ $, » — Чл» [' «» Х а„! Ц (1 + Е «т«л«) «» е» «', а„п «-о «-о -о »„-! Из условия 2) вытекает, что!!т ~„а„«=О. л->лл ! О Следовательно, конечиомерные распределения процесса $„(г) будут сходиться к конечномерным распределениям процесса $(!), если только к коиечномерным распределениям ~(!) будут сходиться конечномерные распределения процесса Ч„(т), где Ч,(1) — случайная ломаная с вершинами в точках (1,ь Ч„»). Для дальнейшего доказательства понадобится пРРчтлы1ыГ ТГРРГмы для случх1тпых пРОцгссов [Гл. 1х Лем и а !.

Пусть и„([)= ~ ы„ы Тогда конечномерные с„о<с распределения процесса в„(1) будут сходиться к конечномернытя распределениям еанероеского процесса нс([). Для доказательства достаточно показать, что для всех Х„д, длЯ котойых зиР! Л„ь !< Рю, бУдет е,е г .[М.Г.! 'Х ....,)- О„-1 -м,.р(! Х ~ 1 О. „1- О )1!1=0.

Лсх' е[л" — 1 — схх +— Заметим, что функция 2 при 0<6<1 огра- !Л! !к! + ничена на всей числовой оси. Поэтому 1 !есл" — (1 + [Лх — — ) ! ~ (О (Л~) ! х ! и, значит, /г-! ине' ' =-и(П," ") м[,'" ~.со 1- е-о е-о /" ' ' г о / е — 1 =М~ Це 1 о/1[[[1 "' [[[ )+0(М![о !о+)— с -П(! — +м„) ео(Ли! .,С"). о-о е-о Из формулы (1) для ы„х и ограниченности — и — выте- 1 а„ оо ое кает, что М! ы„~!'+о<(.(М!~„,, — ~„„!о+'+ !Л[„о!'~'). Поэтому и Р 1нп 2: М![о„,("о=О. В-Р о=О $4! СХОДПМОСТЬ ПОСЛЕДОВ АТЕЛЬНОГТП ПЕПЕ12 МАРКОВА 63! Далее, 2„-1 а„— 1 Ас Ц ~1 ль А! ) и е 2 < О (~' Л1Ч = = 0(снах Л1„2) -+ О.

Следовательно, Ь -1 Ь -1 1,2 л ль х ..-.. -х —...1 1пп Ме ь=' — е ь=ь с = О, Остается заметить, что Р"ль М ехр 112.„2 [и (1„2+1) — ю(1„2))) =е ' "А. мс 3 а м е ч а н и е. Из доказанной лелсмы вьстекает, что для всякой непрерьсвной функции двух переменных а(1, х) равномерно по х в каждом конечном интервале М(*р1а С сь„и 1 „)/р, с'<с„ь.- с" и)с„ра с,ср,,>р срр), если только 1„таково, что 1„1 ~~1.

Действительно, точно так же, как при доказательстве леммы 1, убеждаемся, что и ( рс'а ~ (р.„*р „.12, ))— с'<с„ь <с. — — — "СР„„*>ар.,) Р с' арль < с" равномерно относительно х в каждом конечном интервале ввиду ограниченности а(1, х) на конечном интервале изменения х.

Остается заметить, что а2(сль х)й1ль ~ ас(1 х)й! с'<с„А~с" равномерно относительно х в каждом конечном интервале, по- скольку а(1, х) будет равномерно непрерывно!4 по совокупно- сти переменных в каждом конечном интервале изменения х. еаг ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРСМЪ| ДЛЯ СЛУЧАЯНЫХ ПРОЦЕССОВ (ГЛ. ГЯ Л е м м а 2. Если последовательность измеримых функций (р„(х(, ..., х ) ограничена одной постоянной и на каждом компакте равномерно сходится к непрерь(зной функции (ро(х),..., х ), а последовательность функций распределения Ел(х(, ..., х ) слабо сходится к функции Ео(х(, ..., х ), то !пп ! ф„(х„..., х,„) йрл (хц ..., х,„) = = ~ (ро(хц ..., х„)йт"о (хн ..., х ).

Доказательство. Так как ввиду слабой сходимости функций Ел(х(, ..., х ) к Ро(хь ..., х ) 11ш ~ (ро(х„..., х ) йрл(х„..., х ) = = ~ (ро(х„..., х„) йр„(хо ..., х ), ' то для доказательства достаточно показать, что !!т ! !(р„(х(, ..., х ) — (р,(х„..., х ) !йрл(х(...., х ) =О. л.+ « Но, каково бы ни было К ) О, )!В- р.!йу.~ ~ ! ро — р.!йт.+ ~ !то — Ч.!йр;, 2;!л(!~к 2.!л,.!>к первый интеграл стремится к нулю при и — ьь, так как (ао — (р„! стремится равномерно к нулю при ~ (х(! ~ К; второй интеграл можно сделать сколь угодно малым для всех и выбо- ром достаточно большого К ввиду ограниченности )ч)о — (р ! и слабой сходимостн последовательности распределений Р„. ~ Лемм а 3.

Пусть е(("), ..., Е(л), п=-О, 1, ..., — и последова- тельностей случайных величин и функции ФА (), х(, ..., хь () (л) таковы, что с вероятностью 1 Ф(л) Р ) М И4) Ф(л) тг (л) (л) ) Если для всех й функции Ф(ьо)(Л, х„..., х,) непрерывны и Ф~"~(Х, х„..., х,) при и- оь сходится к ФА(о)(А, х„..., х,), я =1, 2, ..., т, равномерно на казсдом компакте, то совместное распределение величин $(("), ..., Е(л) слабо сходится к совмест- ному распределению величин Цо), ..., Е(о), $41 сходимость последовлтельности цепей мАРХОВА езз Доказательство, Беря /е = 1, убеждаемся, что распределение величины С!!"! сходится к распределению величины Я'!.

Предположим, что совместное распределение г'!АА! ! величин з/!"', ..., Ц'~ ! сходится к совместному распределению Рл!"! ! величин з!!!"!, ..., с!АЕ! !. Тогда Мехр ! т!" л е!и! !Р // / ! Г =1 «!~г~ч*,фег/ч,,, ....,,!ие,!*н .... *,,/- / ! Г Ф-! /=! =Мехр1!/ 5!е!+й,й<'!+ . +й $!'!) на основании леммы 2. Значит, совместное распределение величин Ц"!, ..., ф! также будет сходиться к совместному распределению величин в!!~!, ..., ф!. Применяя индукцию по //, получаем доказательство леммы. ° Возвратимся к доказательству теоремы. Выберем произвольное Разбиение отРезка [О, 11: О = те ~ т! <... < тв = 1.

Положим чл( !!) Еп!!' Ч ( )=Ч„(т~,)+ Е а(/„„, Ч*„(т„,))б/ + 'Л-! <!АГ<'Ь + ~'. О(/„„Ч*„(ть !))/», / =1, ..., й, ,</„,< !Л Чо (то) ее Ч',(тл)=Ч',(тл !)+ ~ а(з Ч~(т~,)) Гз+ 'й-! хь + 1 о(з, Ч 1 ))/Гп/1в), Л-! Очевидно, 534 повдвльныв твоввмы для слтчлиных пвоцвссов шл.

~х где — непрерывная функция х. Из замечания к лемме 1 вытекает, что М(е ' '( ')~Ч*„(то), ..., Ч*„(то,)) = М( ехР(ВЧп(то-~) + + й ~~' а (1„„Ч*„(то,)) К1„, ~Х ХМ~ехр(й Е о(1«, Ч„(то ~))оо„)~Ч (то) " Ч (ть-~)1~ при подстановке х вместо Ч'„(то,) будет сходиться к Ф<~>(Х, х) равномерно относительно х в каждом конечном интервале. Поэтому на основании леммы 3 совместное распределение величин Ч'„(то), ..., Ч"„(т ) бУдет сходитьсЯ к совместномУ РаспРеделению велнчин Чо(т ), ..., Ч" (т ). Так как Цт,) — Ч', (т,) = Ь (ть,) — Ч", (ть,) + та + ~ (а(з, В(з)) — а(з, Ч,*(т,,)))сиз+ с» + ~ ~о(з, ~(з)) — о(з, Чо(то ~))3о(ш(з), то, используя условие Липшица и некоторые простые преобра- зования, получим М! З сто) Чо (то)! М1В(т ) Чо(т )Г+2ММ ) Ча(т )!Х Х $ 1а(г, З(г)) — а(з, Ч,'(т~,))!сЬ+ % 4! сходимость посладовитнльности цапни млнконз 535 «-н ( ! с.о, то«! —.с*, «с<...тн«!о) < тз-« ~~М!осто-!) чосто-т)! + то + 2КМ ~ он (то — т) Чо(то- )! $ !!о«(г) Чо (то ) !с(з+ 'о-« то +2М ~ ((а(г, $(г)) — а(г, ч,(т, !))1'+ 'о-« +! (, '()) — (, Ч,*(,,))1')1 и: ( М ! Е (т ) — Ч* (то !) ! (1 + Н (ъо — то !)) + то + Н ~ ! «ь(з) «ь(тз-!) ! с(г, тз-т где Н = 2К+ 8Ко.

Следовательно, используя уже применяв- шиеся оценки, получаем М 6 (то) — чо (то))2 ( Нслм Е 1 ! В (г) — В(т — ) !о атг, о 1«з Из следствия 2 5 2 гл. с!111 вытекает, что М ! $ (г,) — е (г,) !' ~ (С ! г, — г, !, так что М(з(т„) — ч",(т ))'= 01'тпах(ъ — то т)). Аналогичными рассухсдениями устанавливаем, что (пп М(Ч„(т„) — Ч"„(т,)1о=О (щах(т — т,,)). (4) Заметим теперь, что, каковы бы ни были вещественные числа Л„..., Л и случайные величины $!, ..., $, Ч„..., Ч справедливо неравенство ! Мехр(юЛДт+ ...

Характеристики

Список файлов книги