И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 82
Текст из файла (страница 82)
е. й;Пй;, С=А. Следовательно, р(0',() б„') =О, и, значит, для любой последовательности аа м6".) =~в(".) Отсюда вытекает, что существует не более чем счетное множество чисел |х, для которых || (6„') чь О. Поэтому для всех а, за исключением, быть может, счетного числа значений, О„является множеством непрерывности меры р, так что $|а(~а) 'р(б|а).
Наше утверждение доказано. 3 а м е ч а н и е 4. При доказательстве предельных теорем для случайных процессов теорема 1 используется следующим образом. Пусть $„(1) — последовательность случайных процессов, конечномерные распределения которых сходятся к конечно- мерным распределениям процесса 5я(г). Если р„— меры, соответствующие $„((), образуют слабо компактное множество, то р„слабо сходятся к мере рм соответствующей процессу $,(1). Действительно, в противном случае можно было бы указать такую подпоследовательность пы чтобы р„слабо сходились к не"ь которой мере р Ф рм Пусть $(1) — процесс, которому соответствует мера 1ц Конечномерные распределения $((), как предел конечномерных распределений 5„(г), совпадают с коиечномерными распределениями $я(1), что возможно лишь при р = р, так как меры, соответствую|цие процессам, однозначно опреде.
ляются их конечномериыми распределениями. $2. Предельные теоремы для непрерывных процессов В этом параграфе мы будем предполагать, что процессы $„(г) и $(|) непрерывны на отрезке [а, Ь). Их реализации с вероятностью 1 принадлежат полному метрическому сепарабельному пространству Уы е| всех непрерывных на [а, Ь) функций х(1) с метрикой р(х, у)= знр [х(г) — у(1)[. а<|<ь Заметим, что в пространстве е?|,,ы минимальная О-алгебра множеств 6, содержащая все цилиндрические множества, содержит Все борелевские множества. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что всякая замкнутая сфера принадлежит 6, так как Ю (' хс знр[к(1) — ая[е~г( = П (хл [х(1а) — а(ГЕ) [~г), А-! 522 пРедельные теОРемы для случ»иных пРОцггсОЕ !Гл. Гх где сс(!) — Произвольная непрерывная функция, а Г» — произвольная всюду плотная на [а, б] последовательность. Пусть Н вЂ” некоторая постоянная, а аь — функция, определенная при 6 > 0 и удовлетворяющая соотношению ыь,[ 0 при б (, О.
Обозначим через К(Н, гяь) совокупность функций х(Г), для которых х(а) а 'Н, Ю > О зпр [х(К) — х(ги) ~(егь ~е-~ ~мь Как вытекает из теоремы Лрцела (см. Колмогоров и Фомин [1), стр. 68), всякий компакт в К'!,,ы будет замкнутым подмножеством некоторого множества К(Н, ыа), которые также являются компактами. Т е о р е м а 1. Пусть конечнотверные распределения процессов й„(Г) сходятся к конечно»черныгл оаспределениям процесса $(!). Для того чтобы для всех функционалов 1, непрерыьньсх на ег1, ь1, распределение [(е„(!)) сходилось к распределению )(Е(!)), необходимо и достаточно, чтобы для всякого е > 0 выполнялось соотношение 11ш зпр Р! Епр [е„(К) — а„(га) ~ > е ~ = О.
(1) »- » и Ги' — и!<» Доказательство. Необходимость. Если выполнено утверждение теоремы, то последовательность мер р, соответствующих процессам $„(!), слабо компактна, так что выполнено условие б) теоремы 1 й 1. Поэтому для всякого т) > 0 найдется такой компакт К(Н, ы»), для которого впр !»и(е'!а,ь! "К(Нг гьь)) = зпр ! (ьи(!) Ф К (Н ыь)) и»Ч. и и Тогда Р)' ацр [3„(К) — $»((н) [> в» ~(Р('=„(!) Ей К(Н е»)) (~т! Г !~ -с"!м» Если й достаточно мало, то гь» ( а и 11гп ьцР Р (! Еи(К) — йи(ги) ! > Е) (т!. » -» а Ввиду произвольности т! > 0 и получаем (1). Достаточность.
В силу замечания 4 З 1 достаточно доказать слабую компактность последовательности мер !»„. Покажем, что для всякого т! > 0 найдется такой компакт К(Н, м ), что епр Р (е„(г) цй К (Н, ыь)) (т!. и Так как распределение $„(а) сходится к распределению й(а), то найдется такое Н, что для всех и Р([1и(а) [> Н) амтв.
$ 21 пРедгльные теОРемы для непРеРъ|вных пРоцессов яз Возьмем последовательность е,) О. Для каждого е, найдем й„ такое, чтобы и, < гг,-г и вцр Р)' зпр [$„(Г') — В.(1ь) [> е,) < — „".„ и 1|г' — г" г<г ь 2гчг Пусть гь~ — неотрицательная невозрастающая функция, для которой ыь — — е, при 6 еи [Ь„Р„Ь,). Очевидно, что ыь1 О прп 6) О.
Кроме того, Р($„(1) Ф К(н, ые)) (Р([с„(а) [> и)+ +~~| Р)' ецр [е„(1') — ч„(1ь)1>Е,Т( — 'г+~ —,"г, =|1. И 1|| — г" г<ь, г 2 2'+' В|п 1пп Р ~ зцр [В„(1') — $„(1ь)1> е~ =О, (2) и-ьоь-г ггг — г"|=-ь которое часто удобнее проверять. Действительно, нз (2) вытекает, что для всякого т) > О существуют такве 6 > О и А', что при и > Л', й (6 Р1 ецр [Е„(г') — $„(г")[>е~(г) ггг. г-|<ь Из непрерывности процессов ф„(1) вытекает их равномерная непрерывность, так что при каждом и 1!ш Р )' ецр ~ $„(1') — $ь(гь) ~ > е ~ = О. ь.+о г гг -г-г<ь Поэтому можно подобрать такое 6, чтобы при й ( 6 соотношение (3) выполнялось для всех и.
Следующая теорема может оказаться более удобной для применений. Т е о р е м а 2. Пусть конечноляерные распределения процессов В,(1) сходятся к конечномерныж распределениялл процесса В(1) и срществйюг такие а ) О, 1т . О и Н ) О, что для всех (г, 1Е и всех и йп [",„(1,) — 2. (12) [ я-' Н ~ 1, — 1| ['+'. (4) Тоеда для всех непрерывных на Жы ьг фг,нгсцггоналов 1' распределение 1(В„(г)) брдет сходиться к распределению Я(1)). Доказательство. Очевидно, ввиду непрерывности процессов в„(г) будет выполняться соотношение епр 1$ь(1г) — еь(12)1= зцр ~ Г„(1г) — 2„(12) ~, гг,-тмкт |с.-г,г<6 г,.
г,~гг (3) 3 а меч ание 1. Вместо условия (1) можно требовать выполнения условия ПРЕДЕЛЬНЫВ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУ!!ЛИНЫХ ПРОЦЕССОВ 1Гл !Х где Л! — множество всех точек вида !2/2"', принадлежащих [а, 6), 1 Если 2Ь < —, то 22 зпр )$„(1') — $„(1") ! =' 1,!" и 1! '-! !<й (2зцр еир !ф„Я вЂ” $„Я)( — С вЂ” С— 22 2"~ 22 -'х "!в ( — "-')- ъ)! ~-е+! так как — — — = ~ —, где й < т, < т, < ... < т (т ч-~ 1 22! 2" 2~е 5 Ф ! 1 и, значит, (-.-)- (..)=Ы'(-,'"~ —.-',)-'(-."$ —.-' И Заметим теперь, что ! (';-')- (-')!.—.'~ ~Бр М вЂ” "-') †.Ъ)~>й --"Х ~ (=)- ( —,-)~- ~ (т "(Ь вЂ” а) 2" Π—, 2 11+а! 2"'а Следовательно, если ~ —, < —, й =)!Оде — „~+ 1, то 1 е Г 11 и 2+! Р( зп~2 )еь (1~) ье (12)!) В~( р(зпр)$ ( + ) 2 (' )~~ юп 2+1 щее 1 1 аж~102~ — )Е 2 равномерно относительно и прн л — О.
И Ф »1 сходимость сгмм ннз»внснмых слтч»иных величин $3. Сходимость сумм независимых случайных величин к процессу броуновского движения рассмотрим последовательность серий независимых в каждой серии случайных величин $„!, ~„т, ..., »„»„, удовлетворяющих условиям: 1) !й$„! =О; 2) 0~,! = Ь„!, ~, Ь„, = 1. ! ! Построим случайную функцию $„(1), 1ен [О, 1], следующим образом: положим 5„» = ~„$ !, т,» = Х Ьы 1„(!) =б„»+ " [З вЂ” о ] 1„»„!], Я, = О, 1„с — — О. й„(т) ЯвлЯстсп слУчаинон ломаной, соединяющей точки плоскостн (1, $), име!ощне координаты (1„», 5„»), я = О, 1,..., й„. В этом параграфе изучаются условия, при которых конечно- мерные распределения процессов я„(1) н распределения функционалов от этих процессов сходятся к конечномсрвым распределениям и распределениям соответству!ощих функционалов процесса броуновского движения ю(1).
Теорем а 1. !Тусть случайные величины $„! удовлетворяют условиям 1) и 2) и условию Линдеберга: если г„г(х) — функция распределения величины $„, то для всякого е »„ (пп Г ~ и' аг„! (и) = О. (1) 8-!Зж >е Тогда конечномерные распределения процессов я„(1) сходятся к конечномернь!м распределения»! процесса ю(~) и распределение 1(~„(1) ) сходится к распределению [(и!(1)) для всякого непрерывного на Ю'М !! функционала !!.
Доказательство. Сходимость конечномерных распределений процессов $ (1) к конечномерным распределениям процесса ы(1) есть следствие многомерной центральной предельной теоремы. Для доказательства сходимости распределений Я,(!)) к распределениям ) (ю(1)) для всех непрерывных на $'!ч !! функционалов 1 проверим, что при произвольном г ) О выполняется условие !пп 1пп Р !' зпр [5„(у) — ~„(!")! > в( = О, ».+ч г !! -! х» Б26 ПРЕДЕЛЬНЫГ ТЕОРЕе1Ы ДЛЯ СЛУЧЛИНЫХ ПРЬЦЕССОВ 1ГЛ, 1Х и воспользуемся замечанием 1 5 2. Так как ев!Р ! Йл (!') — Бл(1ы) ! ~ ~28ЦР зпр ! Ел (1) - Вл(ЬЬ) ! ~~ 1в -м1<а йй<В<1йй818 4 зпр епр ! Цл(1) — Вл(ЬЬ) 1, й йй<в<18+11й то Р / епр 1Е„(!') — $„((ы) ! > е~ -:. 11е Ф-1,й ( ~ Р ( зпр !Е„(!) — $„(ЬЬ) ! > е/4~. Заметим, что енр ! $„(!) — $„(ЬЬ) 1(2 зпр Х йа<В<1а+ай " 1 а<В<1 а+ 1-1 й где 1„а — максимальный из индсксоп 1, длЯ котоРых 1л; не пРе- восходит ЬЬ.
Так как при /„а(г~~/„,й.в, ( л,а+! 1 Г то в силу леммы 3 $5 гл. йг1 при достаточно малых Ь 11вп Р / зпр 15л(!) — $„(ЬЬ) ! > е/4~<~ л.е 1 йа< !<18+118 ( „1нп Р Дй„(1„) — К„(1„)( > е/8». в' Из доказанной сходнмостн конечномерных распределений Е„(1) к конечномсрным распределениям ве(1) вытекает, что 1нп Р В,'!$„/1„, ) — $„(1„! )~ > 8/8) == ~ е-ыявйв/Н. 1и1> е!8 Следовательно, 11вп Р/ зпр !й„(!') — 8„(ри)1> 8~~~ Л-Е л 1 !Г-Н1<а и' ай<1 1 — —, е в' !и 1> вл/Е ы' 1 1 1 Г т/ел 648 й 8та » 41 сходимость последовлтгльности ценен м»Рковл Так как >ь И 1 1 — е ' с(и( — ) и'е ' ди-+О ь С У с !ь1>— !ь!>= ть то отсюда вытекает (2). И С л е д с т в и е.
Пусть й„вы..., ~„,... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, для которых М» =О, ОЕ!=!. Обозначим через ~„(1) случайную ломаную с вериьинами ( Я 1 — =5»1, где Яд — — С!+... + яы Тогда для любого !ронни з1!Т / Ф ционала ), определенного и непрерывного на У!ь !! пои»и всюду по мере !»„,, распределение Я„(1)) будет сходиться к распределению ((и(1)), $4. Сходимость последовательности цепей Маркова к диффузионному процессу Рассмотрим последовательность серий случайных величин ььь ьы~ ° ~ 6~» ~ связанных в каждой серии в цепь Маркова, Обозначим через р„»(х, А) вероятности перехода р„к(1„ы А) = Р(ь„,ь+! е= А~ ~„») (гной Р).
Пусть, далее, 0 = 1„» - 1„, (... ( 1„»„= 1 — некоторая последовательность разбиений отрезка (О, 1). Построим случайную ломаную $„(!) с вершинами в точках (1,ы В,»). В этом параграфе будут изучаться условия сходимости конечномерных распределений К„(1) и распределений функционалов от К„(!) к соответствующим распределениям марковского процесса в(1), являющегося решечием стохастнческого уравнения типа, рассмотренного в гл. ИП. Положим ~~~к» ~л. ь+! ыь~ а„(1„» х) = — ~ (у — х) р„» (х, ду), 1 а!л» 6„(г'„, х) = а-'„(г„», х) = —, ~ (у — х)' р„„(х, Иу) — »»»„»а"„- (!„ы х). Т е о р е м а 1. Пусть я(1) является решением стохастического уравнения с Б (1) = Ьо + 1 а (з ' (з)) с(з + 1 а (' в (з)) дш (з) ейв пРедельные ТГОРемы для случйиных пРОпессов (Гл. 1х где Ео не зависит от ю((), а а(з, х) и о(з, х) — непрерь1вные по совокупности переменных функции, удовлетворяющие условию дипшица по х; (а(з, х) — а(з, у)1+(о(з, х) — о(з, у) ! ( ( К(х — у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
