И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 84
Текст из файла (страница 84)
+ й 5 ) — Мехр(й,т1, + ... + й т! ) !( (~М!ехр(й!(з! — т1,)+ ... + й (~„— ч )) — 1!~( (М!л и — ч!)+ ". +л.а.— ч.)!( ( ~/ г. л! ь з!т,— «,!'. (5! ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ !ГЛ,!Х Возьмем произвольные числа з„..., з из [О, 1]. Можно считать, что е, = с„н Тогда !Пп ~М ехР(с! ~„ЛР1„(т»,)) — МехР(г! ХЛта(т» Я~ = =' !пи ~ М ехр (с! 2„' Л,р„(т» )1) — М ехр (т! ~ Лтт!"„(т» ) ~ ~ + + ! Цп ~ М ехр (с ~ Л!т!'„(т )) — М ехр (с ~ Л,.т!' (т» )~ ~ + + ~ Мехр ~! ~ Л т!",(т Я вЂ” Мехр(! ~ Лд(т Я (( - О (,~/т шах (т» — с»,) ) ввиду соотношений (3), (4), (Б) и сходимости совместного распределения величин П*„(з) к совместному распределению величин п*(з.).
Произвольность шах(т» — т„,) убеждает нас / » в справедливости теоремьь ф Т е о р ем а 2. В условиях теоремы 1 для всякого непрерывного на Ю!» 1! Функционала !' распределение !'(Я„(!)) будет сходиться к распределению !'(я(!)). ,Доказательство. Учитывая сходимость конечномерных распределений процессов З„(!) к конечномерным распределениям процесса $(!) и замечание $2, можем свести доказательство теоремы к доказательству соотношения 1!ш 1цп Р( зцр 1~„(г') — ф„(ти) ! > Е) =О. (6) ».+ -+ ! е-с" х~» Используя рассуждения теоремы 2 $ 2, убеждаемся, что Р ( ц ! й. (У) — $. (г") ! > Е)» !с -внх» <,)„Р ( пр 1%.
(!) — В. Ий)1> — ~. Обозначим через з„наибольший из индексов т, для которых 1„„( йй. Тогда Р ( епр 1Е„(!) — $„()сй)1> — ~ »( »» .~ . !»+и» <Р(,зпр, !В. — ~ „!> '1. Для дальнейшей оценки этой вероятности потребуется 2 41 СХОДЦМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТП ПЕПЕИ ЫАРКОЕА зз? 'Лем ма 4. Если ~1, Е2, ..., и образуют цепь И1вркови и с вероятностью 1 Р ( ! ~ — ~й ! > с ! ~й) ~(а, еде а < 1, то Р(епр!$й!> 2с)( — Р(!$ ! > с). Доказательство. Р(~Ю! 1 ! > 2с, ! 1„!(с) = 5Г = 2.
Р(!31!(~2с, 1(1г — 1, !$й!> 2с, !;,„!(с)( й-1 ( ~ Р(!$1!(2с, 1(~1г — 1, |гей!>2с, !гей — гвй!>с)= М(Р(! фг !~2с, 1(7г — 1, ! ей ! > 2с! ей) Р(е — ей ! > с! ~й))( а ~ МР(! Цг!(2с, 1(Уг — 1, ! Ей ! > 2с ! ей) =аР(епр!Ей! > 2с). й-1 й Значит, Р(зпр! фй ! > 2с)(Р(!$,„! > с) + Р(зпр! Вй ! > 2с, !В„,!~~с) ~( 'Р(!Ц ! > с)+аР(зпр! ей!> 2с). Из последнего соотношения и вытекает доказательство леммы.
Й Возвратимся к доказательству теоремы. Так как 1 Р(!1„„„„— ~„,) > б!~„,) == —, М(~~„„„„— ~„1! !~„,) = Гей+1 2 = ' м((1 ь„4~,1 15ь,й .11, 1.,1 „,)) !1„,)к г-! Г 55~А+' ,2 г / 5й 1 1 2 г ( —,', и [(~',.4ь„1,451„,) 1!ь,1)4- 538 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ )ГЛ, )Х Гвл-).) в ,' м [ 2 < Р , ) ) м ) „,)4 )))„,] -~ в / 4 -;-,МТ ~,,В.„)„,) .В„ом) „М).,)).,))4 )= АТ- <С<вь+) Г, ве+) 2 в)+, -М((Х .Р.„).,)в.,) В Х *(,.„Ь24,.))4 в / в / и функции ал и ол ограничены, а ве+, Ж„т(й+ 2шахй1„Ь Г в) 4 то существует такая постоянная О,, что Р ( ! 5„,„~+, — $2~ ! > б ~ $„Д ( —,' (й + 2 тпах Ь(„~).
) Следовательно, при достаточно малых й и всех достаточно больших и 1 (~$лв,„,4) — $лу~ >Е/16)(~1/2, и тогда на основании леммы 4 Р( знр 1йл(1) — $л(ЬЬ) ~ > е14)~(2Р(( $лвьь,+) — 3лв ~ > е/16). Из сходнмости конечномерных распределений $„(1) к конечно- мерным распределениям ~(1) вытекает, что 11ш Р ( ~ $„..~.+, — й„, ~ > е/16) (Р (~ а ((Ь + 1) Ь) — а(йй) ~ > е/16). Значит, 1пп Р( зпр ( $„(1') — $„(1м) ~ > е)л л-в- )Н-) )<А ~ (~~ Р(1з(йй+ й) — $(ЬЬ)) > е/16) ( АЛ<) ч- С (1в)4М1 (Ьй Ь) — д ж '. АА< ) Но при некотором Ь М ~ Е(1+Ь) — Е(2) 14~(Ы2 на основании следствия 2 5 2 гл.
21П, так что !Пп Р( зпр ~$„(1') — $„(1л)~>е)(( — ) Ьй. Л.+вв П'-В")<А е Соотношение (6), а значит, и теорема доказаны. И пвоствлнство ям и 5 5. Пространство функций без разрывов второго рода Обозначим через Ыю и совокупность функций х(1), определенных на отрезке (О, Ц, принимающих вещественные значения и имеющих в каждой точке пределы слева н справа. Функции, совпадающие во всех точках непрерывности, будут считаться неразличимыми; поэтому естественно принять какое-то стандартное определение значений функций х(1) в точках разрыва.
В дальнейшем будет предполагаться, что для всех функций из Ым, 0 выполняются соотношения х(1) =х(1+ 0), х(0) =х(+ О), х(Ц =х(1 — О). (Ц Изучение просзранства йбм и полезно, так как существуют классы случайных процессов, у которых выборочные функции с вероятностью 1 не имеют разрывов второ~о рода (например, процессы с независимыми приращениями, марковские процессы при весьма широких предположениях).
Чтобы можно было использовать результаты З 1, нужно ввести в МАМ,1 метрику, в которой 21м ц превратилось бы в сепарабельное метрическое пространство, обладающее тем свойством, что минимальная о-алгебра, содержащая все цилиндрические множества, совпадает с о-алгеброй борелевских множеств этого пространства. Желательно при этом, чтобы метрика была достаточно «сильной» (т. е. чтобы было возможно меньше сходящихся последовательностей и, значит, больше непрерывных в этой метрике функционалов).
Равномерная метрика р„(х, у) = зцр ~ х (1) — у (1) ) О<С<1 для этих целей не годится, так как в этой метрике Ям и не будет сепарабельным пространством (множество функций х,(г) = ! + зкп (г — г) , 0 < з < 1, имеет мощность континуума, но рас- 2 стояние между каждыми двумя элементами этого множества равно 1). Введем в пространстве Уры, и метрику, являющуюся несколько ослабленной по сравнению с равномерной. Обозначим через Л совокупность всех непрерывных монотонно возрастающих на [О, Ц числовых функций Х(1), для которых Х(0) = О, Х(1) = 1 (т. е, Х отображает непрерывно и взаимно однозначно (О, Ц на самого себя). Отметим, что для всех Х ~ Л существуют обратные функцни Х-' еп Л, также принадлежащие Л.
Если )ч и Хэ я Л, то и сложная функция Л, (Хз( ) ) будет принадлежать Л. Определим теперь для каждой пары х(1) и у(1) из Я~к и величину р,(х, у) = 1п1 (впра х(() — у(А(1))!+ зпр~1 — Л(1) Ц. (2) хих ! с 540 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ.!Х Покажем, что р, определяет метрику в сгс, „. Для этого нужно проверить, что функция ре удовлетворяет трем метрическим аксиомам: а) р,(х, у)»«0 и равно нулю тогда и только тогда, когда х=у; б) р (х, у)=Р (у, х); в) р (х, г) =р (х,у)+ + рм(у, г) для всех х(1), у(1), г(1) из Ув н. Свойство а) очевидно.
Свойство б) вытекает из соотношения р (у, х)= )п( [знр~ у(1) — х(Л(1))]+зцр]1 — Л(1) ~] = А =Л (п( 5цр]у[Л '(1)) — х(1)~+ р]Л '(1) — 1Д=Р,(х,у). А-с~Л Остановимся на свойстве в) — неравенстве треугольника. Пусть х(1), у(1) и г(1) — некоторые функции из ййи, сн Для вся. кого е>0 можно указать функции Л,(1) и Лс(1), для которых выполнялись бы соотношения .(х,у)» цр~ (1) — у(Л (1))]+ цр~1 — Л (1)~ —., Р,у(у г)«»зцр! у(1) — г(ЛХ(1)) ~+ зцр]1 — Лс(1) ] — е. (3) Тогда Р (х, г) < зцР ] х (1) — г (Л, (Л, (1))) ] + зцР] 1 — Лс (Лс (1)) ] ( К зцр ] х (1) — у (Л, (1)) ]+ знр ] 1 — Л, (1) ] + с + зцр]у(Лс(1)) — г(Л,(Л, (1)))]+ зцр/Л,(1) — Лз(Л, (1))]= с = зцр) х (1) — у (Л, (1)) ]+ зпр]1 — Л, (1) ]+ с + зцр] у(1) — г(ЛВ(1)) ]+ зцр ~1 — Л. (1),], так как если 1 пробегает [О, (], то Л,(1) будет также пробегать отрезок [О, )].
Учитывая соотношения (3), получаем р (х, г) ( р (х, у) + р, (у, г) + 2е, откуда ввиду произвольности е > 0 и вытекает в). Положим Сх (х)=, зцр „[ш!П(]х(1) — х(1)]; ~х(1") х(1)])]+ с — ~с'мс(с сс+ зцр ~х(1) — х(0)~+ зцр ]х(1) — х(1)]. о<с~с с-а с пгостгьнство я1ь ~1 Легко убедиться, что для х(1) еи хс)1к и Нт Л, (х) = О. с-+О Л ем м а 1. Пусть х(1) — 4ункция из Я1к и и [а, й] с: [О, 1].
Если х(1) не имеет скачков, превосходящих е на [а, б], то при [1' — 1" 1( с, 1', 1" еи [а, б] [х(1') — х(1") [(2Л,(х)+ з. Доказательство. Выберем произвольное 6 еи(О, е) и точку т в промежутке [1', 1"], обладающую свойством: прн 1 ев [1', т) ]х(1) — х(1)[<Л,(х)+6, [х(Г) — х(т)[.-ъЛ,(х)+6. Если такой точки нет, то тогда 1х(1') — х(ге) [а Л,(х)+ 6 и, значит, утверждение леммы выполнено.
Если точка т существует, то, поскольку ппп[1х(т) — х(1 ) ~; [х(т) — х(1") [] «..Л,(х), а [х(т) — х(1 ) [) Л,(х)+ 6, имеем [х(т) — х(1")1(Л,(х). Таким образом, [х(1") — х(1') ~([х(1") — х(т) [+ [х(т) — х(т — 0)1+ +[х (т — 0) — х(1') 1(2Л, (х) + 6+ з. Переходя к пределу при 6.[ О, получаем доказательство леммы. И Обозначим через Н, „совокупность функций х(1) нз Я1ь ~1, га а+1~ постоянных на каждом из интервалов [-, — ] и принимаю- и я щих значения, кратные пь Л ем м а 2.
Для каждой функции х(1) из Ы1д,1 существует функция х" (1) из Н „такая, что р (х, х") — + — + 4Лз (х). 1 1 (4) га а+1 х Доказательство. В каждом из отрезков 1ь —, — ~ найдется и в не более одной точки, скачок в которой превосходит 2Л. (х).
и Действительно, если т — одна такая точка, то тогда ] х(з) — х(т — 0)1= пп(п [[х(з) — х(т — 0) 1; [х(с) — х(т — 0)1] -ЛЛ(х) при зев~-„, т), [х(з) — х(т) [(~ Л, (х) при Ь+1З в 542 пггдельныг. тсогемы для слтчлпных пгоцессов Егл. !к и, значит, ~х(з) — х(з — О) ~<26, (х)(2бз (х). Пусть та — точка И л ге ь+Ет отрезка Еь —, — ), в которой ~ х(тх) — х(ть — О) ~~Ъ2Л; (х), если л такая точка в этом отрезке существует. Обозначим через Л(Е) /а+1~ 1 функцию из Л, для которой Л 1 1 = ть и Š— — „( Л (Е) (Е (такой будет, например, кусочно линейная функция„определяемая равенствами Л(0) =О, Л ~ — ! =ты Л(1) =1).
Положим I а+1~ х(Е)=х(Л(Е)). Функция х(Е) будет иметь разрывы, превосходя- а шие 2бй(х), лишь в точках вида —, и л р (х, х)(зпр / х(Е) — х(Л(Е)) ~+ зпр! Š— Л(Е) ~~ ~—. 1 с лат Пусть, далее, х" (Е) — функция, равная х ~ — а ! при Еад~ —, ), Еся..п — 1; х'(1)=х( ). Тогда р~(х, х )(зир ~ х(е) — х" (е) ~(зпр ьпр ~ х(е) — х ( — ) /. А ь ь ! л — «!« Так как скачки х(Е), превосходящие 2!Л! (х), происходят лишь Е! га а+1~ в точках вида †„, то в полуинтервале ( †, ~ таких скачков нет, и, значит, по лемме 1 ~х( — ) — х(Е) (2Ы, (х)+2бз (х) при Е~~ —, — ). !! !! Оценим Ь ! (х): Л, (х) = ьпр (ш(п(~ х(Е') — х(е) 1; ~ х(Е) — х(Е") ~Ц+ ! — '«! <!«!" + — ' + зцр ~х(Е) — х(0)1+ зпр ~х(Е) — х(1) ~= о«!«вЂ” ! ! «!«! ! !! !! ( 1п(~ х(Л(Е')) — (Л(Е))1; ~х(Л(Е)) — х(Л(Е")) ()) + ю- — ~!'~с~! «!+в !! а + ьпр )х(Л(Е)) — х(0) ~+ зцр )х(Л(Е)) — х(1)( з~Е< — „ ! ! — ~Е<! ! 543 ПРОСТРАНСТВО В!Ь с! 1 Заметим, что при !! < !с(!! + — „ 1, — — ~ (Л (!!) < Л (!с) «( !с ~ (!! + — „ ° 1 ! так что О < Л(!с) — Л(!!)( —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
