И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 86
Текст из файла (страница 86)
1! 1< !< 1~)1! Р! 1>У)> Г Х Р(зир ~ 1.4 + +1! ~ > — ~ < 1>Г -Р~ р ~Ь+ ... +' 1> — ~,) Р(~Ь+ ° +$ ~-= —, !<!<О 2 1 ( 4! !Р< ~~ ' ' ! 21) Возврашаясь к доказательству теоремы, заметим, что Ь,(х( ))( зпр /х(1) — х(0)~+ зир ~х(1) — х(1)1+ О<!<О 1 — С<!<1 + шах зпр ш(пЦ х(1') — х(1") 1; ~х(1") — х(1"') Д.
1 Ы<! <!Г<!"'<(О+1!О О<О<в О Поэтому Р(/!,Я„( )) >а)(Р( зпр ! $„(1) — КО(0)! >ф~+ + ( ' Р " "( 41+ ! — Г<!<! + ~~~ Р ( зир гп!п(~ $„(1") — ~„(1') ~; О<-' Ы<! <! <!"'<!О+З!О 21~ 1 " "() 41+ + Р( зпр ~Ь„(1) — В„(1)! > — ~+ 1-а<!<1 + ),'(Р ( -р ~ ЬО(/) — 2. (2с) ) > Я)'. 1 ОО<!<!441! О й<- О Если п <. 1/с, то легко видеть, что /1,(9„( )) = О, так как Г' +1Ч (1) постоянна на интервалах !ь — „, — ). Если же и 1/с, то хотя число точек вида !/и в интервале (/Ос, (/О+ 3)с) меняется с изменением й, однако оно не превосходит числа этих точек ббв ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТГОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧ4ГП!ЫХ ПРОЦГССОВ !ГЛ.
!Л в интервале [О, 4с), так что всегда Р(Л,(~„( )) > е)(2Р( зпр [$„(!) — б„(О)1> а/4)+ О<4<44 +(1+ 1)!Р~ Р [х (!) х (О)1> 4 ~) Для оценки вероятности Р[ 4 ~4,(4 — 4,(0!)) ~1 — Р Р х',„) О<С<44 [ 4<!их введем величины я„! = Ц„„если [Р„, [( х., Ц„! =О, если[хх41> У., вх! = $,! — а„! Тогда Р зпр ~~ ь ! > 4~(~Р( зпр [$ 41>0)+ [ ~!<й<л . 4 !<х<х 4=! -:-Р[ 4 У!'., х — ,')=ХРп~ы~>х!х ! !<х<л ! ! ! ( . ~4!'.! — х!'.,4 — ', — ~х!., ~~ (Л!Р([$„4[> Ц+ ( 4 [ ~х4!.х.
(мы воспользовались неравенством Колмогорова — замечанием к теореме 5 $ 1 гл. 1П), если только Ж[МЯ'„! [< е/4. Бели /. и — Ь являются точками непрерывности функции ЕГ, то справедливы предельные соотношения 1!Гп ЛР(К„! ! > Ц = 1!п! ~ — х! 4(4х„(х) = ~,4 аы(х), !х!>Ь !х!>ь 1пп пМ$„'4= 1пп п ~ хднф„(х)= ахи " х+ Ь!<ъ =т — 1ппп ~ .!+х4 4(Г"„(х)+ 1ип и '! (х — +,) 4/гх(х)= а ! ! с !х!< Ь 1 =у — 1 — „,(а(х)+ 1 х(а(х)=у,, !х!>х !х!<ь 11гп а0б'„!(11ГпиМ(я„'!)'< 11гп„М !+т.' Ях =(1 [ /.Е)~4(а(х), хЬ! и! СХОППМОСТЪ СУММ 551 Поэтому, если 4с! ус ! < 4, то ! (, г., л-ь ](1ап(4пс 1 1 4с (1+ !'.1) ~ пО (х] <4~ ~, с]6(х)+ 1л]> с ( — — 4с (ть!) Значит, для достаточно малых с !пиР( знР !ал(!) Ьп(0)<) 4 ~~<Ко, где К вЂ” некоторая постоянная, так что 11п] Р ( з11Р !пп(1) пп(0) ! ) 4 ] ' л КС Из последнего соотношения вытекает (3).
Я Рассмотрим в качестве следствий из этой общей теоремы некоторые конкретные предельные теоремы. С лед ст вне 1. Пусть а(1) и Ь(1) ) 0 — непрерывнь1е функции, а — веи]ественное число. Если сыполнены условия теорел]ы 1, то 1ип Р~а( — ) — аЬ( — „) <Я„о<а( — „)+аЬ( — ), я=],п~= =Р(а(1) — аЬ(1) <$(1) < а(1)+аЬ(1), 0<1 1) для всех а О, для которых правая часть последнего равенства является непрерьсвной функцией а. С л е д с т в и е 2.
Пусть у(х) — непрерывная функция, определенная при х ~( — оо, оо); тогда, если выполнено! условия теоремы 1, то л ) Г ' п]- Ел!с. ! <.) = и ()с!11]! и <. ~ п.ь,, и Л-1 о для всех а, для которых оо2 поедельныг, твоовмы для сличлпных ппоцвссов 1гл. 1х Доказательства этих утверждений получим, рассмотрев функционалы 1 11(х( ))=зир —,~ х(1) — а(1) (, ~,(х(.)) = ~ а (х(1))лт 1 о Введем функционал у,(х( ) ), равный нулю, если зцр х(1) -а, ам!<1 и равный х(т) — а, если ьцр х(1) ~ а, где г — такая точка отосом~ резка (О, Ц, что х(1) ( а при 1 < т, а х(т) ) а. у,(х( )) вазывается величиной первого перескока функции х( ) через уровень а. Следствие 3.
Если а таково, что для всех 11 1, е— : [О, Ц Р ( ацр а (З) = а) = О, та раСПрЕдЕЛЕНиЕ у,(ко„( ) ) СХОдитСя ь<л к распределеиспо у,(К( )). Это утверждение вытекает из замечания 3 й 1 и того, что у,(х(.)) непрерывно на всех х( ), для которых а не является локальным максимумом. ПРИМЕЧАНИЯ Нижеследующие примечания содержат некоторые указания на литературу по затронутым вопросам и не преследуют своей целью дать полную библиографию или осветить историю основных идей теории случаиных процессов. Во многих случаях мы позволили себе не ссылаться на оригинальные труднодоступные работы, з отсылали читателя к более поздним учебникам и монографиям, содержащим библиографию по соответствующим вопросам.
Глава 1 5 1. Систематическое изучение вопросов теории случайных процессов было начато в работах Е. В. Слуцкого [1] н А. Н. Колмогорова [7], [8]. Глав. ную роль в создании теории случайных процессов сыграли работы А. Н. Колмогорова [7],[8]. й 2. Гауссовы процессы широко применяются во многих прикладных теоретико-вероятностных задачах (см., например, Г, Крамер, М.
Лидбеттер [Ц), з задачах статистики, прогноза и фильтрации случайных процессов, в теории оптиыального управления решеннямв дифференцвальных уравнений, возмущаемых случайным процессом (Р. Ш. Линцер, А. Н. Ширяев [1], К. Острем [1]). Многомерное обобщенне центральной предельной теоремы впервые было получено С. Н. Бернштейном [3]. 4 3. Впервые процесс броуновского движения рассматривал Л. Ба. шелье [1]. Толчком к изучению произвольных процессов с независнмымн при. ращениями послужила работа Б. Фииеттн [1). А.
Н. Колмогоров [4] нашел характеристическую функцию произвольного процесса с независимыми приращениями и конечным моментом второго порядка; общая формула принадлежит П. Леви [!]. й 4. Марковские процессы с непрерывным временем (в шираком смысле) и их основные типы были введены в работе А. Н. Колмогорова [8). Теоремы существования решений уравнений Колмогорова впервые рассматривал В.
Феллер Щ, [2]. 8 6, Стационарные процессы в широком смысле были введены А. Я.Хннчиным [3). Колебания со случайными амплитудами и фазами рассматривались во многих работах. См., например, Н. Н. Боголюбов [1]. Спектральное представление корреляционной функции стационарного в широком смысле 554 ПРИМЕЧАНИЯ процесса было получено А. Я. Хинчиным [3], многомерное обобщение дано Г. Крамером [Ц. Формула ддя корреляционной функции однородного и изотропного случайного поля содержится в работе Дж. Шенберга [Ц, Глава П й 1. Общепринятая в настоящее время теоретико-множественная аксиоматика теории вероятностей предложена А. Н. Колмогоровым в 1929 г.
и изложена в его монографии [7]. По поводу теории меры и интеграла см. книги П. Халмоша [Ц, А. Н, Колмогорова и С. В. фомина [Ц. Она изложена также в учебниках по теории вероятностей. П. Неве [Ц, М. Лоэва [Ц, П. Л Хеннекена и А. Тортра [Ц в 2, Основная теорема этого параграфа (теорема 5) доказана в мо. нографин А.
Н. Колмогорова [7] (для семейства случайных величин). До. казательство теоремы 6 можно найти, например, в книгах П. Халмоша [Ц, Ж. Неве [Ц. 4 3. Теория условных вероятностей и условных математических ожиданий построена А. Н. Колмогоровым [7]. Дальнейшие усовершенствования принадлежат Дж. Л Дубу [Ц. 6 4. Общий заков «О илн 1» открыт А. Н. Колмогоровым [7]. Глава 1Н в 1 Марткнгалы рассматривались разными авторами, но их систематическая теория многим обязана Дж. Л. Дубу [Ц. Ему принадлежат оснонпые неравенства для мартннгалов, теорема о существовании предела, понятие по.
думартиигала и другие результаты. Больше сведений о мартингалах можно найти в монографиях Дж. Л. Дуба [Ц, Мейера [Ц, Ж Невй [2]. 6 2. Основные идеи и результаты этого параграфа принадлежат А. Н. Колмагорову и А. Я. Хинчину [Ц и А. Н. Колмогорову [Ц. Более подробно ряды независимых случайных величин рассмотрены в монографиях Дж. Л. Дуба [Ц,М. Лозва [Ц, А. В. Скорохода [6]. 6 3. Возникновение эргодической теоремы связано с проблемами статистическоп механики.
См, по этому поводу книгу А. Я. Хинчина [5]. Первые эргодические теоремы Дж. Неймана и Дж. Биркхофа послужили началом интенсивного развития теории, Обзор первого периода развития эргодической теории содержится в монографии Е. Хопфа [Ц. Простое доказательство теоремы Биркхофа — Хиичяна предложено А. Н. Колмогоровым [9]. Даяьнейшее развитие эргодической теории освсщено в книгах П. Халмоша [2], П. Биллингслея [Ц. 6 4.
Задачи теории восстановления неоднократно обсуждались в теоретичесих и прикладных теоретико-вероятностных работах. См. В. феллер [6]. 6 5. Цепи Маркова с конечным числом состояний были введены (1906 г.) и изучены А. А. Марковым [Ц. Обитее определение цепи н процесса Маркова принадлежит А. Н, Калмогорову [8]. 555 ппымеплгп!я 6 6. Цепи Маркова со счетным числом состояний впервые изучалис~ в работах А. Н.
Колмогорова [6] и в дальнейшем многими авторами. См. В. Феллер (3], Чжун Кай-лай [Ц, Дж. Дж. Кемени, Дж. Л. Снелл, А. Кнапп [Ц. Глава 1Ч Я 1 — 3. Возможность построения случайного процесса, стохастнчески эквивалентного данному, выборочные функции которого удовлетворяют определенным условиям регуляриостн, впервые рассматривали Е. Е Слуцкий в А.
Н. Колмогоров (см. работу Е. Е. Слуцкого [2]). В дальнейшей разработке возникающих здесь вопросов и разных вараантав аксиоматического определения случайной функции много существенных результатов пренадлежит Дж. Л. Дубу. Ссылки на первоначальные работы содержатся в его монографии [Ц. Основные идеи и теоремы 66 2, 3 принадлехгат Дж, Л. Дубу. й 4. Теорема 1 в несколько более слабой формулировке была доказана Н Н.
Чепцовым [Ц, теорема 2 — Дж. Ккнни [Ц (для марковских процессов). Отсутствие разрывов второго рода у стохастически непрерывных процессов с иезависимымн приращениями установил П. Леви [Ц. 6 5, Теорема 2 доказана независимо Е. Б. Дынкиным [Ц и Дж.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
