И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Кивни [Ц (для марковских процессои). Несколько более слабый вариант теоремы 6 пренадлежит А. Н, Колмогорову и впервые опубляковаи в работе Е. Е. Слуцкого [2], по поводу локальных свойств гауссовых процессов см. монографию Г. Крамера и М.
Лидбеттера [Ц и помещенный в ней обзор Ю. К. Беляева. й 6. Свойства выборочных фуннций полумартингалов рассматривал Дж. Л. Дуб [Ц. Глава Ч 6 1. Введение в теораю гильбертова пространства можно найти в книге А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина [Ц, более полное изложение — в книге Н. И. Ахиезера и И.
М. Глазмана [Ц. 6 2. См. Е. Е. Слуцкий [Ц, М. Лозв [Ц, [2]. 6 3. Теорию стохастических интегралов предложил Г. Крамер [Ц; А. Н. Колмогоров впервые выяснил связь стохастических интегралов и теории спектральных представлений случайных функций с теорией гильбертова про. странства [10], ()Ц, [12], 6 4.
Теорема 1 принадлежит К. Карунену [Ц, теорема 2 — Г. Крамеру [Ц. Более подробно о спектральной теории стационарных процессов см, монографии Е. Хеииана [Ц и Г. Дженкинса и Д. Ваттса [Ц. 6 5. Более общую теорию линейных преобразований случайных процессов можно построить с помощью теории обобщенных случайных процессов, предложенной И.
М. Гельфаидом и К. Ито (см. И. М. Гельфанд и Н. Я. Виленкин [Ц, К. Иго [5!). 6 6. Основные результаты для стационарных последовательностей получены А. Н. Колмогоровым [12], для процессов — К. Каруненом [2]. ПРИМЕЧАНИЯ 556 Глава Ч1 и 1. Общая теория случайных блужданий изложена в книге Ф. Спицерз [2], там же можно найти и указания иа первоисточники. Условия ограниченности случайного блуждания и формулы для распределения максимума найдены Ф. Спицером [Ц. Распределение величины н момента переснока изучалось Б. А.
Рогозиным [Ц. й 2. Обобщенный процесс Пуассона был введен А. Я. Хинчиным [Ц. Распределение величины и момента перескока через некоторый уровень изучалось в работах Б. А. Рогозина [2), Д. В. Гусака [Ц. й 3. Строгое построение винеровского процесса и изучение свойств его выборочных функций было проведена Н. Винером [Ц. Условие непрерывности процесса с независимыми приращениями принадлежат А.
Я. Хивчину [Ц, гл.!. Результаты теорем 2 и 3 вытекают нз общих результатов И. Г. Петровского [Ц. й 4. Разложение процесса на непрерывную н скачкообразную составляющие проведено П. Леви [Ц. Там получен в вывод общей формулы для характеристической фувкции процесса с независимымн приращениями. В частных случаях эта формула была получена Б. Финеттн [Ц, А.
Н. Колмогоровым [4). Использованный в книге метод изучения процесса с помощью меры, построенвой по скачкам, принадлежит К. Иго [1, 7). й 5. Рост однородных процессов с независимыми приращениями изучали А, Я. Хинчин [4], Б. В. Гнеденко [Ц, [2]. Закон повторного логарифма для винеровскога пропесса доказан А. Я. Хинчиным [Ц, гл. Ч. Глава ЧН й 1. Основой обшей теории марковских процессов послужила работа А. Н. Колмогорова [3]. Дальнейший анализ определения марковского процесса провелен Дж.
Л. Дубом [Ц. Наиболее общее определение этого понятия приведено в книге Е. Б. Дынкина [4]. Понятие строгой марковости изучалось Дж. Л. Дубом [Ц, Е. Б, Дынкиным [5), Е. Б. Дынкиным и А. А. Юшкевичем [1). Достаточное условие строгой марковости получено Е. Б, Дывкиным и А. А, Юшкевичем [Ц. 5 2. Скачкообразные процессы с произвольным фазавым пространством изучены Дж. Л. Дубом, изложение его результатов имеется в его же книге [Ц. 4 3.
Процессы со счетным числом состояний, в том числе вывод уравнений Колмогорова — см А Н. Колмогоров [8]. Дифференцируемость вероятностей перехода установлена А, Н. Колмогоровым [13]. Теоремы существования решений уравнений А. Н. Колмогорова изучались В. Феллсром [Ц, (2]. Общей теории однородных процессов со счетным множеством состоиний посвящена книга К. Л. Чжуна [Ц. 3 4. Многочисленные естественнонаучные примеры процессов Маркова, в том числе процессов рождения и гибели, можно найти в книге В. Фсллера [Зь ПРИМЕЧАНИЯ 667 й 5. Ветвяшиеся процессы с дискретным временем впервые рассматрива.
лись в работе Г. Ватсона и В. Гальтона [Ц. Общее определение ветвящегося процесса дано в статье Л. Н. Колмогорова и Н. А Дмитриева [Ц. Для настоящего параграфа использована обзорная статья Б. А. Севастьянова [Ц. Глава У!1! Вероятностная трактовка явления диффузии рассмотрена А. Я. Хинчиныь~ [Ц, гл. Н1. Стохастические дифференциальные уравнения для случайных процессов рассматривались С.
Н. Бернштейном [Ц, И. И. Гихманом [Ц, [2), К. Ито [3], [4]. Здесь используется в основном терминология и обозначения К. Ито. Более общее изложение теории стохастических дифференциальных уравнений — в книге И. И. Гихмана и А. В. Снорохода [Ц. й 1. Основные результаты этого параграфа принадлежат К. Иго [2], [6].
й 2. Уравнения в такой форме рассматривал К. Ито [3), [4]; им доказана теорема существования и едивственноспь а так>не то, что решение будет процессом Маркова. й 3. Двфференцируемость решений стохастическнх уравнений по начальным данным установил И. И. Гихман [2]. и 4. Идея вывода уравнений Колмогорова, используя днфференцируемость решения стохастического уравнения по начальным данным, принадлежит И.
И. Гихману [2]. Вывод уравнений для распределения аддитивного функционала от процесса броуновского дннжения принадлежит М. Кацу [Ц, [2), а в общем случае — Б. Б. Дынкину [3]. $6. Применение дифференциальных уравнений к случайным блужданиям в ограниченнои области предложено И. Г. Петровским [Ц. Диффузионные процессы в ограниченных облзстях рассматрииал А. Я. Хинчин [Ц, гл. Н1, 1ту. Распределения функционалов, связанных с временем достижения границ одномерным диффузионным процессом, изучал Р. 3. Хасьминский [Ц, Одномерные диффузионные процессы рассмотрены в книге И. И.
Гихмана и Л. В. Скорохода [Ц. 4 б. Условия абсолгогной непрерывности мер и вид плотности для диффузионных процессов изучались И. В. Гирсановым [Ц и А. В. Скороходом [4]. Глава !Х Предельные теоремы для вероятностей событий, зависящих от всей траек. торин процесса (вероятностей того, что процесс остается в криволинейной по. лосе), рассматривалн впервые А. Н.
Колмогоров [3), [6], И. Г. Петровский [Ц и А. Я. Хинчин [Ц, Первая обгпая предельная теорема для произвольных не. прерывных в метрике %' функционалов получена М. Донскером [Ц (в случае сходнмости сумм одинаново распределенных независимых случайных величин к процессу броуновского движения). 4 1.
Вопросы слабое сходимости мер з метрических пространствах изучал Ю. В. Прохоров [Ц, [3]. 558 примечхг!пи $2. Общая предельная теорема для непрерывных процессов получена Ю. В. Прохоровым (Ц, (3) $ 3. Предельные теоремы для различных частных случаев рассматривались А. Н. Колмогоровым [3], (5), М, Кацем и П. Эрдешем [Ц, [2]. Общая теорема принадлежит Ю. В. Прохорову (Ц, (3]. Частный случай (следствие) получен ранее М.
Донскером (Ц. в 4. Конкретные случаи сходимостн и диффузионным процессам рассматривал С. Н. Бернштейн [Ц, [3), А. Я, Хинчин [Ц, И. И. Гнхмаи [4), [5), теоремы для $'-непрерывных функционалов — Г. Маруяма [Ц, Ю, В. Прохоров [2), А. В. Скороход [4], [5). в 5. Сходимость, рассмотренная в этом параграфе, введена А. В.
Скороходоы [Ц. Интересная предельная теорема для процессов без разрывов второго рода получена Н. Н. Чепцовым [Ц, 6 6. Предельная теорема для вероятности того, что последовательность сумм лежит в криволинейной полосе, получена И. И. Гихманом [3). Общие теоремы для функционалов рассматривали А. В. Скороход [2], Ю. В. Прохо: ров [3; ЛИТЕРАТУРА Ахиезер Н. И., Глазман И. М.
[Ц Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 1 остехиздат, 1950. Б а ш ель е Л. (Васйе!(ег 1..) РЦ ТЬеопе де 1а зресн1а1(оп, Апп. Зс!. Есо1. Когщ. Зцр. 3 (1900), 21 — 86. Бернштейн С. Н. РЦ РПпс(рез йе 1а йеопе без еццаВопз гБІегепВа!ез з1осйаМщцез, Труды Физ.-матем, ин-та нм. Стеклова 5 (1934), 95 — 124.
[2] Распространение предельной теоремы теории вероятностей на суммы зависимых величин, Успехи матем. наук !О (1944), 65 — 114. [3] Теория вероятностей, изд. 4, Гостехиздат, 1946. Б и л л и н г с л е й П. (В(!Ппдз)еу Р.) [Ц Эргоднческая теория н информация, «Мир», 1969, Боголюбов Н. Н. [Ц О некоторых статистических методах в математической физике, Изд-во АН УССР, 1945. Б о х н е р (Восйпег $.) [Ц Нагшоп!с апа1уз1з апй йе йеопе о( ргоЬаЬ|Иу, Вегйе1еу апб 1оз Ап. йе1оз, 1955.
Ватсон, Гальтон ((Уа!зоп Н. М., Оа((оп%.) [Ц Оп йе ргоЬаЬ(рйу о1 йе ех1!пс(ггоп о1 (ащ!1!ез, Л. Ап1горо1. 1пзй 4 (1874), 138 †1, В и н е р (Вг!епег 55) [Ц О1Иегеп1(а1 зрасе, 3. Май. РЬуз. Мазы Тес!ш, 2 (1923), 131 — 174. [2] Ех1гаро!аБоп, !п1егро)аВоп апй заоо!!Впд о1 з1аБопагу 1!ще зепев, 55 у., 1949. Гельфанд И. М. [Ц Обобщенные случайные процессы, Докл.
АН СССР 100 (1955), 853 — 856. Гельфанд И. М., Виленкин Н, Я. [Ц Некоторые применения гармони<еского анализа. Оснащенные гильбертовы пространства, Физматгиз, 1961. Гирсанов И. В. [Ц О преобразованиях одного класса с.чучайных процессов с помощью аб. солютно непрерывной замены меры, Теория вероятн. н ее примен. 5 (1960), 314 †3. Гихман И. И. [Ц О некоторых дифференциальных уравнениях со случайными функциями, Укр. матем. журн.
2, № 3 (1950), 45 — 69, [2] К теории дифференциальных уравнений случайных процессов, Укр, матем. журн. 2, № 4 (1950), 37 — 63; 3 (195Ц, 317 — 339. 560 литенлтмпл [3) Об одной теореме А. Н. Колмогорова, 1.1аучн. зап. Киевск, ун-та, Матем. сб. 7 (!958), 76 — 94. [4] О некоторых предельных теоремах для условных распределений и о связанных с ними задачах статистики, Укр. матем, журн. 5 (1953), 413— 433.
[5] Процессы Маркова в задачах математической статистики, Укр, матем. журн. 6 (!954), 28 — 36. Гихм ан И. И., Скороход А. В. [Ц Стохастическне дифференциальные уравнения, «Наукова думка», 1968. Г н е д е н к о Б. В. [Ц О росте однородных случайных процессов с везависимыми прираще. пнями, Изв. АН СССР, сер. матем.. ? (1943), 89 — 110.
[2] К теории роста однородных случайных пропессов с независимыми приращениями, Сб. трудов Ин.та матем. АН УССР 1О (1948), 60 — 82. [3] Курс теории вероятностев, изд. 3, Физматгиз, 196!. Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. [Ц Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, Гостехиздат, 1949. Г ен а н де р, С е ге (Огепапбег %., 5зеяо О.) Ц Теплицевы формы и их применения, ИЛ, 1961, Гу с а к Д. В. [Ц О совместном распределении времени и величины первого перескока для однородных процессов с независимыми приращениями, Теория нероятн. и ее примен. !4 (1969), !5.-23.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
