И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 45
Текст из файла (страница 45)
О и р е д е л е н и е 1. Семейство случайных величин (ь(Ь), Ь ~ УЦ, удовлетворяющее условиям 1) — 8), будем называть элементарной ортогональной стохастической мерой, а лз(Ь) ее структурной функцией. 260 ЛННЕЯНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАИНЫХ ПРОЦЕССОВ !ГЛ. Ч Свойство ортогональности стохастической меры выражается условием 3): если Л! (! Л2 = !о, то величины Ь(Л!) и Ь(Л2) ортогональны. Из определения т (Л) следует, что она неотрицательна: т(л)=М~ь(л)(2)0, т(8)=О, и аддитивна; если Л! () Л2= 8, то т (Л! () Л2) = М ~ ь (Л,) + ь (Л,) (2 = П2(Л!) + т(Л2)+ 2!П(Л! П !.!2) т(Л!) + т(Л2) Таким образом, т(Л) является предмерой (гл.
П, $2) на 2Г!. Обозначим через .2РР(й)!) класс всех простых функций ((х): л г'(х)=~с Х (х), ЛА~И, /г=), 2,..., л, (2) д! Ад где и — любое число и дл(х) — индикатор множества А. Определим стохастический интеграл от функции ((х) ен ы;х.л(хл) по элементарной стохастической мере Ь(Л) формулой л и = ~ ( (х) Г (!2х) = ~~! С,Д (Лд). (3) Так как й — полукольцо, то любую пару функций из .УРЩ можно представить как линейные комбинации индикаторов одних и тех же множеств из йр!. Поэтому, если (, д ее 2',(йу!), то л положим, что г(х) дается формулой (2) и д(х)= ~,!2 у (х), причем Лд() Л„ = !с! при й Ф г.
Из ортогональности ь(Л) следует, что М (~ ((х)~(!(х) ~ д(х)~(сГх)) = ~! сдг)д. (4) д-! Предположим, что предмера т удовлетворяет условию полуаддитивности н поэтому может быть продолжена до полной меры (Е, 8, т). Тогда хо(Щ является линейным подмножеством гильбертова пространства 2'2(т) = Ы2(Е, 6, т). Обозначим х'2(2))) замыкание лл,(йг!) в ы2(т). Равенство (4) может быть переписано в следующем виде: М $ )(х)ь(дх) $ д(х)ь(г(х)= $((х)д(х)т(с(х) (5) для любой пары функций Г(х), д(х) из 2'2(т). Введем теперь линейную-оболочку х.л(Ь) семейства случайных величин (Ь(Л), Л ~ '2Г!), т.
е. множество случайных величин, СТОХАСТИЧЕСКИЕ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛЫ 281 представимых в виде (3), и пространство 2'г(ь), являющееся замыканием 2'ь(ь) в гильбертовом пространстве случайных величин Я'з(11, 6, Р). Заметим, что соотношение (3) устанавливает изометРическое соответствие !) = ф(1) междУ 2"ь(й) и 2'ь(Ь). Это соответствие может быть продолжено до изометрического соответствия ф между гс'з(й) и Я'ТЯ. Если т1 = ф()).
~ ~ Я'з(ЖЦ, то полагаем по определению т1 =ф(1) = ~1(х) Ь(ах) (б) и называем случайную величину !1 стохастическим интегралом функции 1(х) по мере ь". Отсюда следует Теор ем а 1. а) Для простой функции (2) значение стохастического интеграла дается формулой (3); б) для любь!х 1(х) и д(х) из Хз(Е, 6, т) имеет место равенство (5); в) ~ (а1 (х) + бд (х)] ь (йх) = а ~ г (х) ь (ах) + р ~ д (х) ь (йх); (7) г) для произвольной последовательности функций ]! >(х) ~ ен.х'г(Е, 6, т) такой, что ~] !'(х) — !'!"!(х) ]'т(йх) «О, п-«ьо, (8) выполняется соотношение ~ 1(х) Ь(йх) =!А.ш. ~ 1!")(х) Ь(йх). 3 а м е ч а н и е.
В частности, если (ь'>(х) — простые функции, 1Ь'!(х) = ~ с!Ач!Хд<ч!(х), Ь!А"! ~Я, и= 1, 2,..., А-! Ь и (8) выполнено, то "~л ~ ! (х)ь(ах) — 1 ! ш ~ с<ч!~(а!~!) А-! Существование последовательности простых функций, аппроксимнрующнх произвольную функцию 1(х)ен Ют(Е, 6, т), вытекает из общих теорем теории меры.
Таким образом, стохастический интеграл можно рассматривать как с. к. предел надлежащих интегральных сумм. Обозначим через 6ь класс всех множеств А ен 6, для которых т(Ь) ( оь. Определим случайную функцию множеств ь(А): ь«('1) = ~ Хл (х) ь«(с(х) = ~ ь«(йх). (й) эеэ линвиныв пэвовглзовлния сяэчлиных пгоцвссов »гл. ч Она обладает следующими свойствами: а) 7,(А) определена на классе множеств 6ь, Ф б) если А„~ч)ь, п=О, 1, 2,..., Аь= () А„, Аь ПА,= Я при а 1 С й чь г, й>О, г> О, то Ь(А,)=,г ь (А„) в смысле с.
к. сходил мости; в) М~ (А) ~ (В) = п»(А П В), А, В ен Зь, г) ь(й)=~(Л) при Л ~йй. О п р е д е л е н и е 2. Случайная функция множеств ~, удо- влетворяю»цая условиям а), б), в), называется стохастической ортогональной мерой. Свойство г) означает, что ь(а) является продолжением эле- ментарной стохастической меры ь(»з). Таким образом, мы имеем следующую теорему. Т ео р ем а 2. Если структурная функция элементарной сто- хастической меры Ь(Л) полуаддитивна, то Ь(й) может быть про- должена до стохастической меры 4(»з).
3 а меч ание. Так как Я'э(ь)= Яуз(ь), то $ 7 (х) ь (»1х) = $ т (х) ь (йх). В соответствии с этим равенством условимся в дальнейшем отождествлять стохастический интеграл по элементарной ортогональной мере ~(Л), структурная функция которого полуаддитивна, со стохастическим интегралом по стохастической мере ~, определенной соотношением (9).
Сделаем несколько замечаний по поводу определения стохастического интеграла на отрезке прямой. Пусть $(1) (а: 1 - Ь) — процесс с ортогональиыми приращениями, т. е. М (ь ((з) ь О!)) (ь ((4) ь (13)) О для любых»» я (а, Ь), »! <»э < 1ь < 1», с. к. непрерывный слева: М ~ $ (Ф) — $ (з) Р - О при з 1 Ф. Положим Р(С) = М~ф(М) — $(а) ~э. Из ортогоиальностн приращений процесса $(») следует, что при 1э > 1! Р ((,) М ~ й (й») — й ((!) + а (г,) — й (а) (» = г (~Д + М ! й ((е) — е (г,) Р, СТОХАСТИЧЕСКИЕ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛЫ откуда Е(1з)) Е(1~) и Е(1)=11щЕ(з). Таким образом, Е(1)— в+в монотонно неубывающая непрерывная слева функция.
Пусть йй — класс всех полуинтервалов А = (1ь 1з), а ~ 1~ ( 1з ( Ь, ~((1ь 1з))= $(1з) — $(1~), т((1ь 1з))= Р(1з) — Е(11). Тогда йй— полукольцо множеств, М~ (А,) Г, (Аз) = вп (А, П Аз), й(А) — элементарная ортогональная стохастическая мера, струк- турная функция которой допускает продолжение до меры. Та- ким образом, можно определить стохастический интеграл Стилтьеса с помощью равенства ь ь $ ПАВ(1) = $ ПИИ1), в Я в котором $(1) — процесс с ортогоиальными приращениями, Этот интеграл существует для произвольной борелевской функции 1(1), 1 еи (а, Ь), для которой ~ 11(1) ГР(11) < -. где Р(А) — мера, соответствующая монотонной функции Е(1). Аналогично определение стохастического интеграла по всей прямой ( — со, со), Докажем несколько предложений о стохастических инте- гралах. Пусть ь( ) — ортогональная стохастическая мера со струк- турной функцией т, являющейся полной мерой на (Е, 6), и К(х) еи Ж(вь).
Положим Л (А) = ~ Хл (х) Ю (х) ~ (с(х), А еи З. Тогда МЛ(А) Л(В) = ~ Хл(х)1(в(х)~ й(х) ~'иь(в(х) = ~ ~ й(х) явь (,1х) лпв Если иа 3 ввести новую меру 1(А) = ~! й(х) г вь(с(х), л то видим, что Л(А) будет ортогональной стохастической мерой со структурной функцией 1(А). Л е м м а 1. Если 1(х) еи!в."з(1), го )'(х)а(х) еи 2'з(т) и ~)(х)Л(в(х) = ~1(х)и(х)Ь(в1х). 2Е4 ' ЛИНЕЙНЪ|Е ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ.
|Г Заметим прежде всего, что д(х) = 0 на множестве 1-меры О.„ таким образом, — ~ СО (|пой 1). Далее, | а (х) ~ > "( 1, 1(бх)=$ ), ~д(х)!'т(с(х)=п|(А) (ОО. Следовательно, можно воспользоваться леммой 1: $ 1„1 ХА(х)Х(|(х) = $ ( 1 ХА1х)б(х) ~(бх) = ~(А).
И Пусть Т вЂ” конечный или бесконечный отрезок на прямой линии, 6' — О-алгебра подмножеств Т, измеримых по Лебегу, 1— мера Лебега. Допустим, что р(1, х) 6' Р, 6-измерима, д(1, х) |и| Я' (1 )< гп); и и(1, х)~ЫЗ(л|) при произвольном 1~ Т. Рассмотрим стохастический интеграл 5(1) = ~ д(1, х)~(бх). При каждом 1 он определен с вероятностью 1. Л е м м а 3. Стохастическиб интеграл (10) можно определить как функцию от 1 таким образом, чтобы процесс $(1) был измерим. Доказательство, Если Ы(1, х)=л сАХВ (1)ХА (х) (10) (11) Доказательство.
Утверждение леммы очевидно для простых 1(х), 1(х) =~,САХА (х), Азыза. Далее, если Тд(х)' — фундамен. А ЛА тальная последовательность простых функций в Яз(1), то ~ ~ ~„(х)Х(дх) — ~ („+ (х)Х(дх)~ = ~ ~ ~„(х) — )„+ (х) ! 1(с(х) = = ~ !)„(х) — 7„+,„(х) ~г~ д(х) !'т(бх), т.е. ~„(х)д(х) ЯвлЯетсЯ фУндаментальной в Ыз(п|). ПеРеходЯ в равенстве ~1„(х)Х(дх) = ~)„(х)б(х)~(бх) к пределу при и- ОО, получим утверждение леммы в об|нем случае. ® Лемма 2, Если АЕЕ6о, то ь(А)= ~ ' 1 Х(дх).
стохАстические меРы и иитеГРАлы В» ~ 6', А» ~ 6, то $ (1) = ~ с»11в» (1) Ь (А») является 6' Х Ю-измеримой функцией переменных (1, а), ген Т, вен»1. В общем случае можно построить последовательность простых функций а„(1,х) вида (11) и таких, что $$$й(Р, х) — д„(9, х)Рт(бх)й — ~.0 при и-+со. Пусть $„(1) — последовательность процессов, построенных по формуле (10) при д=а„. Тогда существует процесс $(т) такой, что ~ М!5(т) — е„(1) 1й — »О при и- оо и ~(с) является 6' Х 6-измеримой функцией от (1, а). С другой стороны, ~ М ~ ~ (1) — й„(г) г й = ~ ~ ) д (1, х) — д„(г, х) ~» еч (бх) й -э О, откуда следует, что М($(1) — Цс) ~» =0 почти для всех й Положим ) $(г), если РЯ(т) Ф$(г))=0, А $ (О, если Р Я (Г) чь В (г)) ) О. Процесс $'(1) измерим (так как $'(с) отличается от 6' Х 6-измеримой функции $ (Г) на множестве меры 0) и стохастически эквивалентен $(с).,ф В дальнейшем, рассматривая процессы, определяемые стохастическими интегралами вида (10) и удовлетворяющие ранее перечисленным условиям, будем предполагать их измеримыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
