И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 43

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

Поэтому теорема 1 остается в силе, если заменить условие (ус — — (ус+ следующим: случайная Величина $(!+ 0) =!Нп й(з„) Ъс-измерима. »„т с С л е д с т в и е. Пусть $(!), ! ) О, — субмартингал относительно потока о-алгебр (8», ! ) 0), где !ус — пополнение о-алгебры, порожденной случайными величинами (с(з), е ~ !), стохастически непрерывный справа: Ига Р ( ! й (!) — й (Е + Ь) ! > В) = О Ъ' (В > О, ! ~ 0). «Фо слэчлиныв етнкпии [гл. пт Тогда существует субмартингал (т!(!), 5н 1 ) 0), стохастически эквивалентный процессу В(1), 1 » ~О, выборочньсе функции которого с вероятностью 1 непрерывны справа и имеют пределы слева.

Для доказательства нужно проверить, что из условия стохастической непрерывности вытекают условия теоремы 1. Так как $(! + 6) при Ь ~ 0 сходятся по вероятности к $(1), то для каждого ! найдется последовательность 1„, 1„ ~ 1, 1„ ен 5, такая, что $(!) = 1пп $(1„) (гпой Р). Следовательно, В(1+ 0) 5иизмеримо. Из равномерной интегрируемости семейства $(1„), и = 1, 2, ..., следует, что а(1) = М$(г) = М 1ап Ц1„) = =1ппМ$(! )=!пни(1„), т. е, а(!+0)= а(1).

Учитывая замечание к теореме 1, получаем, что процесс (т1(Г), 6ь 1) 0) является субмартингалом с требуемыми свойствами. ° Из теоремы 1 $ 5 вытекает следующая теорема. Теорема 2. Пусть (й(1), 1 ен (а, Ь)) — субмартингал, удо.влетворяющий условию ь-! 1!щ ~„Р ( ! ф ((е ы) — $((ь) ! ) е) = О, так!~„ь+,-с„ь1- оь о .где а = 1„ь < 1„~ < ... < 1„„ = Ь. Тогда он обладает непрерывной модификацией. ГЛАВА У ЛИНЕИНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАННЫХ ПРОЦЕССОВ В настоящей главе рассматриваются линейные операции над случайными процессами. Примерами таких операций являются дифференцирование и интегрирование процессов, преобразования с помощью дифференциальных и интегральных уравнений.

Задача прогноза значения случайной функции или задача выделения полезной компоненты из наблюденных значений случайной функции, представляющей собою сумму передаваемого сигнала и искажающего «шума», часто решается в рамках теории линейных преобразований случайных процессов. Для изучения возникающих при этом проблем рассматривается гильбертово пространство случайных величин, что позволяет в ряде случаев получить законченные и удобные для применений решения. Предполагается, что читатель знаком с элементарными понятиями теории гильбертовых пространств. й 1. Гильбертовы случайные функции Пусть (О, 1о, Р) — вероятностное пространство. О п р е д е л е н и е 1. Гильбертовым пространством,У» —— =.х'з(ьг, О, Р) случайных величин вероятностного пространства (й, ю, Р) называют множество номпленснозначных случайных величин ь = 1(а), м е= О, для которых М~~)з( со.

Скалярное произведение в Ж определяется формулой Я, и) = МД, ~, и ен У,. В соответствии с этим определением норма з ь ~! случайной величины Ь равна !! ь!! = (М! ь Р)'и. Две случайные величины ь и и ортогональны, если (ь, Ч) = МьЧ = О. 248 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ У Для действительной случайной величины ь квадрат нормы 1) ь[[о совпадает с моментом второго порядка, 11 ь Р = Мьо, а прн Мь = Π— с дисперсией. Если ь и с) действительны и М[", = = Мт[ = О, то их ортогональность означает некоррелированность.

О п р е д ел е н и е. Комплекснозначная случайная функция ь(О) (О ен 9) называется гильбертовой, если М ~ ~ (8) ~о ( оо, 0 = 9. Гильбертову случайную функцию можно рассматривать как заданную на Ос функцию со значением в гильбертовом пространстве Ж: 0 ~(8) =1(8, оо) он Ю . В частности, когда В есть промежуток действительных чисел (а, Ь), гильбертову случайную функцню следует рассматривать как некоторую линию в гильбертовом пространстве Ы'о и запись ь = ь(8), 8 ен(а, Ь) является параметрическим уравнением этой линии.

В настоящей главе рассматриваются только гильбертовы случайные функции, поэтому слово «гильбертова» часто будет опускаться. Пусть на 6 задана неотрицательная функция ф(8), принимающая сколь угодно малые положительные значения. О п р еде лен не. Случайная величина т[ ~ Щ называется среднеквадратичгским пределом (кратко — с. к. пределом) гильбертовой случайной функции ь(0) при ср(0)- О, если ь(8)- т[ при ф(О)- О в смысле сходимости в гильбертовом пространстве .'х'и т.

е. если для любого е ) О найдется такое 6 ) О, что . М! о[ — ь (8) Р < е' для всех О таких, что О ( ф(8) < б. В частности, если 6 — метрическое пространство с метрикой т(О„Оо), то функция ь(0) называется среднеквадратически непрерывной в точке Оо ~ [0 (с. к, непрерывной), если М~~(8) — ~(8,)Р О при т(ООО,)-О. (1) О пределе ни е.

Ковариацией В(ОЦ Оо), (Оь 0 )ен у гильбертовой случайной функции ь(8) называется величина В(0 0)=М~(8)~(8)=(~(8), ~(0)) (2) Л е м м а 1. Для того чтобы случайная функция ь(0) имела с. к. предел при ср(8) — О, необходимо и достаточно, чтобьс сусцествовал предел 11[и В(ОН Оо) при ср(О[)+ ф(ОЕ)- О. Если это условие соблюдается и т[ =1йзп. ь(0), то осе>+о М ) о[ Р = Вгп В (Ос, 8,). (3) Ф[е,с+Ф [е,[-»о гильвеетовы случАЙные Функции Доказательство этой леммы несложно и может быть опущено. С л е д с т в и е.

Для с. к. непрерывности ь(О) в точке О, необходима и достаточна непрерывность ковариации В(0,, Оз) в точке (Оо Оо). Необходимость вытекает из леммы 1, а достаточность проверяется простым подсчетом. 3 а м е ч а н и е. Из с. к, непрерывности ь(0) в точке Оь вытекает стохастическая непрерывность ь(0) в той же точке. Действительно, в силу неравенства Чебышева Р(~г(0) — г(0,) ~ > е) «и!й(е) — й(е,)р ~ В (О, О) т (с10) ( со, а (4) то с вероятностью 1 $~~(0))'т(аО) <- в М $ 1 ь(0) ('т(с(О) = $ В(0, 0)т(с(0). а е Если ь(0) с. к. непрерывны на 6 (т.

е. в каждой точке 6), то это не означает, что выборочные функции с вероятностью 1 непрерывны на 6. Действительно, для процесса Пуассона имеем М)~(1+ й) — Ь(Г) )'= ) й +(Ай)', но выборочные функции Ь(1) с положительной вероятностью разрывны. Исследование гнльбертовых случайнь1х функций с общей точки зрения является задачей исследования функций в обычном смысле со значениями в гильбертовом пространстве. Использование ковариации, рассмотрение разлячных типов сходи- мости, применение специфических теоретико-вероятностных понятий придает задачам анализа случайных функций некоторые особенности, Интегрирование. Пусть (6, а, т) — полное сепарабельное метрическое пространство с о-конечной полной мерой, (ь(0), О Бн 6) — гильбертова случайная функция.

Если ковариация В (Оь Ое) непрерывна в точке (О, О) т-почти для всех О, то, в силу леммы 1 и теоремы 1 О 3 гл. 1у', для Ь(О) существует стохастически эквивалентная, измеримая и сепарабельная случайная функция. Это замечание показывает, насколько ограничительно принятое выше допущение. Из теоремы 2 (гл. 1Ъ', О 3) непосредственно вытекает следствие. Теорема 1. Если "250 ЛННЕЙНЫЕ ПРЕОВРАЗОВАННЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. У С л ед с та не. Пусть ![(9), [ = 1, 2, — функции из 2'з(ЕР, Ж, т) и выполнено условие (4).

Тогда с вероятностью 1 существуют интегралы т[ = ) [ (О) ь (9) п[(с(0), в .причем в силу теоремы Фубини .Мц[ц =И ~ ~~,(0,)~,(0,)ДО,)ДЕ> (дО,)т(дО,)= е в = $ $ [[(0,) В(О„О ) УВ )п[(с(0,) т([(0). в е Сделаем несколько замечаний по поводу определения инте- гралов от случайных функций. 3 а м е ч а н и е 1. Пусть выполнено условие (4) и т([0) ( оо. Тогда интеграл $ ~ (0) (дО) (6) е для измеримой случайной функции ь(0) определен и конечен с вероятностью 1 для каждой реализации ь(9).

При определе- ,нии интеграла (6) можно поступить несколько иначе. Интеграл (6) можно определить как с. к. предел лебеговых интегральных сумм для ь(9). Нетрудно убедиться, что это определение совпа- дает с обычным. Для доказательства достаточно ограничиться .неотрицательными случайными величинами. По определению ,интеграл (6) есть предел при и- оо ~ ь„(9) т(дВ), е тде Ь„(0) — монотонно неубывающая последовательность слу- чайных функций, принимающих конечное число значений и та- ких, что !Нп ь„(0) = ь(0) УВ ~ 6.

Имеем М~ $ ~(0) т(дВ) — $ ~„(дО) т (дО) 1'<М ~ ! ~(0) — С„(0) !'т(дО). [е в в Так как 0 ~( ь(9) — ь (0) ( ь(9), то в силу теоремы Лебега $ ь (О) т (дО) =1.! [и. $ ь (В) т ([!О). е в 3 а меч а ни е 2. Рассмотрим случайный процесс (ь([),(ы ~ (а, Щ. Интеграл ь ~с(!)а ь гильвв товы случзииыв е нкции чи (В (г, з) — В(1, г„,) — В(г„ы з)+ ~ ~л ь-~ ~п г-1 + В(т~ы~„)) ЖсЬ«»2~ ~~~ й„ы-+О й 1 т ! где И„з,— колебание функции В(г, г) в прямоугольнике т„ь, » «~ » «~аь та г-1 » «з «» ~лг 3 а м еч а ни е 3. Под несобственным с. к. интегралом ( ~ва (-.

Характеристики

Список файлов книги