И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Для любого т1 ~Ыз(Ц имеем Мп = О. В частности, для любого А ен 6 будет Мь(А) = О. 3 а м е ч а н и е 2. Если Мв(~) = а Ф О, то предыдущую теорему можно применить к процессу $(() — а. С другой стороны, представление (8) можно сохранить и в общем случае, если к ь(А) добавить меру, сосредоточенную в точке и = О, по величине равную а. В качестве примера применения теоремы 2 выведем формулу Котельникова — Шеннона для одномерного случайного процесса, спектральная мера которого сосредоточена на конечном интервале [ — В, В).
Разложим функцию еои на интервале [ — В, В) в ряд Фурье. Имеем ии с~ Мп (РЛ вЂ” ян1 ~ в Ряд в правой части последней формулы сходится равномерно по и во всяком отрезке [ — В', В'[, В' ( В, и имеет ограниченные частные суммы, а потому сходится и в 2'з(ть). В силу изоморфизма пространств 2'з(гпь) и Ы'з(В) имеем (в смысле с. к. сходимости) (10) Таким образом, значение случайной функции $(() в любой момент времени ( однозначно восстанавливается по ее значениям в равноотстоящие моменты времени лп(В, и О, ~1, ~2, ...
Для стационарных векторных последовательностей $„, и = = О, ~1, ~2, ..., можно сформулировать теорему, полностью аналогичную теореме 2. Отличие состоит в том, что спектраль- е з) интвггкльныв пввдстквлвния слзчлиных эзнкцин зтз ная мера последовательности сосредоточена на полуинтервале ( — и, я), а не на всей вещественной прямой, как в случае процесса с непрерывным временем (см. теорему 1 $ 2). Из теорем 1 и 2 $2 вытекает следующее обобщение теоремы 2 о спектральном разложении однородного с. к. непрерывного поля. Теор е м а 3, Векторное однородное с. к. непрерывное поле ~(х), х ен Я ,может быть представлено в виде $(х)=а+ ~ ецч ")~(Ыи), а=М$(х), Я где ь — векторная ортогональная мера на 6, подчиненная полю з(х), Между Ы'з(Ц и 2'з(Р,), Рз( ) = Ьр Р( ), существует изометрическое соответствие, при котором а) г(х)<-~е!ы ч).
б) если г)!+-!.д!(и), т)! ен2',(Д, д!(и) гни',(Рз), 1=1,2, то т1, ~ д! (и) ь(йи), Мт)!Ч',= ~ й!(и)а,(и)Р(йи). гл Следствие. Если однородное поле $(х) (М$(х) = О) '(скалярное) имеет ограниченный спектр, т. е. в, в Я(х)= ~ ... ~ е'!" ">Р(с(и), -в ! то оно однозначно определяется своими значениями в точках тки 1х" (в в ' ' в ) п~ 0 ~1'и:2 1по !рор муле л (л!,...,л ) ь в которой суммирование производится по всевозможным целочисленным векторам и и ряд в правой части при каждом х сходится в среднем квадратическом. Рассмотрим еще спектральное разложение с. к.
непрерывного изотропного двумерного случайного поля. На основании формулы (10) $ 5 гл. 1 корреляционная функция поля имеет 274 линейные пРеОБРА30ВАния случАйных НРоцессОВ 1гл и вид 14(хн хз) =)с(р) = ~ 14(ир)а(йи), о (12) где х~ и хр — точки плоскости, р — расстояние между ними. Если (г„О;) — полярные координаты точки х, (1= 1, 2), то р= /гз+ гз — 2г,г соз(О, — О~). Используя формулу сложения для функции уе. М УР (ир) = Х УА (иг,) гь (иг,) еы 1а ~>, А -о перепишем формулу (12) в виде М С~ )г(р) = ~ ~ У~(иг,) е"~'У,(игз)егнед(йи) е(йт), о- где е(йу) — мера, сосредоточенная в точках й = О, ~1, ~2, ..., причем е((й)) = 1. В силу теоремы 1 плоское, изотропное, однородное и с.
к. непрерывное поле Е(х), х = ге'Б (Щ(х)= О) допускает представление вида й(х)= ~ч' е'Аз~ г (иг)~ (йи), (13) где ~А — последовательность ортогональиых между собой стоха. стических мер на прямой (О, оо). $4. Линейные преобразования Представим себе некоторую систему Х (прибор или устройство), предназначенную для преобразования сигналов (функций) х(1), зависящих от времени 1. Функция, которая должна быть преобразована, называется функцией на входе системы; преобразованная функция — функцией на выходе или реакцией на входную функцию.
Математически всякая система задается классом Ж «допустимых» функций иа входе и соотношением вида е (1) = Т (х ~ 1), где х = х(з) ( — со' з с. Со) — функция на входе, х(з)~ мг, а г(1) — значение функции на выходе в момент времени 1. Система Х называется линейной, если: а) класс допустимых функций Ю линеен; б) оператор Т удовлетворяет принципу су- ликеиныв пгвовРАзовхния 275 перпозиции т.е.
если преобразование Т перестановочно с операцией сдвига времени Б, ( — оо ( т ( оо). Простейшим примером линейного преобразования может служить преобразование вида г(Е)= ~ Ь(Е, в)х(в)йв, для которого класс допустимых функций Я зависит от свойств функции Ь(Е, з). Пусть на вход системы поступает функция б„„ где б,— функция Дирака.
Тогда г(Е) = Ь(Е,з). Таким образом, функцию Ь(Е, в) следует интерпретировать как реакцию системы на б-функцию в момент времени з. В соотвегствни с этим Ь(Е, з) называется импульсной переходной функцией' системы. Если система Т. однородна во времени, то формально Ь (Е, а — с) = Т (б,, $ Е) = Т (Б,б, $ Е) = Б,Т (б, $ Е) = Ь (Е + с, а), или, заменив а на с и Е на Š— с, получим Ь(Š— с, О) =Ь(Е, с). Функция Ь(Е) = Ь(Е+ с, с) называется импульсной переходной функцией однородной системы. Таким образом, для однородной системы уравнение (!) принимает вид х(Е)= ~ Ь(Š— в)х(в) ав.
Операция в правой части соотношения (2) называется свергкой функций Ь(Е) и х(Е). Если функция на входе системы отличается от функции на выходе только скалярным множителем (преобразование Т не (2) Т (ох ~ + рхз $ Е) = аТ (х1 $ Е) + $!Т (хз $ Е) . Введем операцию сдвига времени Б, ( — оо - т ( оо) с помощью соотношения х, (Е) = Б, (х $ Е) = х (Е + т).
Она определена на множестве всех функций переменной '( — оо ( Е ( оо) и линейна. Система Т. называется однородной во времени (или просто однородной), если класс допустимых .функций Я инвариантен относительно операции сдвига Б„ Б,.'Р = Я и Т(х,$Е)=Т(х$Е+т) или Т(Б,х$Е)=Б,Т(х$Е), 276 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ИГЛ. У меняет формы сигнала) Т () 17) = Ц (7) ( — Оо < 7 < О), то ~(7) называется собственной функцией, а Ь вЂ” собственным значением преобразования Т. Для однородных во времени си- стем с интегрируемой импульсной переходной функцией функ- ции еа" (и — любое действительное число) являются собствен. ными. Действительно, все ограниченные измеримые функции яв. лаются допустимыми и Ь(( — з) е'"'де= ~ Ь(з)есчи м йз= Н(и) е'"', где Н ((и) = ~ Ь (з) е-"" йз (з~ — преобразование Фурье импульсной переходной функции, яв.
ляется собственным значением преобразования. Таким образом„отношение реакции системы на простую гармоническую функцию е'"' к этой функции не зависит от времени. Функция Н((и) называется частотной характеристикой системы или коэффициентом передачи, Можно несколько иначе интерпретировать частотную характеристику системы (2), рассматривая иной класс допустимых функций. Пусть х(7) интегрируема. В силу теоремы Фубини »» $ ~е(7)!йЕ» ~ $ !Ь(8 — е)~ !х(з)~йвчай= »» » = $ 1х(з) !йе ~ 1Ь(т) ~й7< со, т. е. функция г(7) также интегрируема. Рассмотрим преобразо. ванне Фурье функции г(т). Применяя теорему Фубини, полу.
чим й(и) = ~ е и»х(~) (й = »»» ~ е-'" и-"Ь (7 — е) е-'"'х (е) йе й = Н (ш) х (и), »»» »» х(и)= ~ е'"'х(з)йз. ЛИНЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 277 Следовательно, отношение преобразования Фурье функции. на выходе к преобразованию Фурье функции на входе не зависит от функции на входе системы и равно ее частотной характеристике: Н (1и) =— и (и) х(и) ' В формуле (1) реакция системы в момент времени 1 зависит от значений функции на входе как в моменты времени з ( 1, так и в моменты времени з ) й В физических устройствах, однако, нет возможности предвосхитить будущее. Поэтому для ннх Ь(1, з)=0 при 1< з. (4) Соотношение (4) называется условием физической осуществи- мости системы. Для систем, удовлетворяющих условию (4), формула (1) принимает внд г(1) = ~ Ь(1, з)х(з)сЬ, ОР а если система однородна, то г(1)= ~ Щ-в)х(з)йз = ~И(е)х(1 — з)йз, (б) Если на вход системы подается функция, начиная с момента.
времени 0 (х (з) = 0 при з 0), то -г(1)= $ Ь(1 — з)х(з) й. (7) о Из формулы (7) следует, что й (р) = Н (р) х (р), Ф х (р) = ~ е Р'х (1) й( о (9) при 11е р ) а, если функции е-"'6(1) и е-"'х(1) абсолютно интегрируемы. Перейдем к основной теме настоящего параграфа — к линейным преобразованиям случайных процессов.
В основном Изучая такие системы, вместо преобразования Фурье удобно- пользоваться преобразованием Лапласа г(р)= ~ е-Р'г(1) йг. (8) о ЛИНЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАИНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. Ч (1О) Оэ са ~ Ь (з1) тГ (зз — з1) Ь.(за) г(з, пзм рассматриваются однородные во времени преобразования ста- ционарных процессов. По поводу более общего случая мы огра- .ничимся простыми замечаниями.
ПуСтЬ Б(1) — ИЗМЕрИМЫй ГИЛЬбЕртОВ ПрОцЕСС ( — соа 1( Оо)' с ковариацией В(1, з), причем функция В(1, 1) интегрируема по Г на каждом конечном интервале, так же как и функция 1Ь(з, г) ~А при фиксированном з. Тогда с вероятностью 1 при любых а и Ь существует интеграл ь ь (1) = ~ Ь (1, з) а(з) г(з. а Определим яесобственный интеграл от — Оо до аю как с. к. пре- дел интегралов по конечным промежуткам интегрирования: а ь ~ Ь (Г, з) $ (з) пз = 1.1.т. ~ Ь (г', з) $ (з) Из. ОО А++ а .Для существования этого предела необходимо и достаточно, чтобы интеграл ~ Ь (г', з,) В (зн зз) Ь (1 зз) йз, сЬ, СО Ю существовал как несобственный интеграл Коши на плоскости.
Если он существует для 1~ Т, то ь(1) является гильбертовым случайным процессом на Т с ковариацней В(1,, гз)= ~ ~ Ь(гн з~)В(зн з,)И(~, з,)йз, пз. Ю СЮ Предположим теперь, что е(Г) — стационарный процесс в ши- роком смысле со спектральной мерой Р(ди) и М$(1)= О. Это предположение будет сохранено до конца настоящего пара.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
