И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 48
Текст из файла (страница 48)
графа. Интеграл )(1)= 1 Ь(г — зи(з)аз (11) Э существует (в ранее определенном смысле) тогда и только тогда, когда существует интеграл а ~ Ь (г — з ) )г (з, — зз) Ь (1 — зз) бз~ НЕА = ЛИНЕИНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ где 1с(1) — корреляционная функция процесса. Для этого, в свою очередь, достаточно, чтобы функция Ь(1) была абсолютно интегрируемой на ( — Оо, оо).
В этом случае, воспользовавшись. спектральным представлением корреляционной функции 11(1), получим следующее выражение для корреляционной функции* Ри(1ь (з) процесса т1(1): и и 11ч(н > ~г) = ~ ~ Ь (1~ — з|) Й (з1 — зг) Ь (6з — зг) «з1 «зг = и и и ~ Ь(1 — )е'""-"Ь(1 — з.)«з «Р(«и)= ~ еюв,-ь)и! Н(1и) 1~Р(«и) =)с (1, — 1).. при и, гп-+ со. Это означает, что последовательность Н„(ш) фундаментальна в 2'з(Р). Но тогда существует предел Н(ш) = 1«лп. Н„(ш) (в 2'г(Р)), который называют частотной характеристикой предельного фильтра, н если з1(1) !«лп.
Ч (1), то Р„(1)= $ сии!Н((и) !ЗР((и), 0 (13). Обратно, какова бы ни была функция Н((и)ен 2'з(Р), ее можно аппроксимировать в смысле сходимостн в 2'з(Р) функциями, являющимися преобразованиями Фурье абсол|отно Таким образом, процесс т) (1) также является стационарным. в широком смысле. О и р е д е л е н и е. Для процесса $(1) преобразование Т называется допустимым фильтром (или, проще, фильтром), если оно задается формулой (11), где Ь(1) абсолютно интегрируема на ( — оо, оо) и интегрируема в квадрате на любом конечном интервале или является с.
к. пределом последовательности таких преобразований (в 2'з(Ц). Условие сходимости последовательности преобразований '(11) г1„(1) = Т„ф1) с импульсными переходными функциями. Ь„(1) и частотными характеристиками Й„((и) состоит в следующем: М!т! (1) — т! (1)!з= $ !Н„(ш) — Н ((и)!'Р(«и)-+О (12) я80 линепныа пгковвхзовхния слтчлиных пьоцвссов 1гл. ч интегрируемых функций. Таким образом, фильтры удобно задавать частотными характеристиками. Т е о р е м а 1.
Для того чтобы функция Н((и) была частот,ной характеристикой допустимого фильтра для процесса $(1) со спектральной мерой Р, необходимо и достаточно, чтобы Н((и)ен,Уз(Р7. Корреляционная функция процесса на выходе .Фильтра с частотной характеристикой Н(1и) дается формулой (13). Если вспомнить энергетическую интерпретацию спектральной функции, то из формулы (13) следует, что 1Н((и)1з показывает, во сколько раз увеличивается энергия простых гармонических составляющих процесса с частотами в интервале (и, и + йи) при прохождении через фильтр. Теорем а 2. Если процесс $(1) на входе фильтра с частотной характеристикой Н((и) имеет спектральное представ- ление $(() = ~ е'"'1(йи), (14) то процесс т1 (1) на выходе фильтра имеет вид и (1) = — ~ е'"'Н(ш) ь(йи).
(15) Действительно, если фильтр имеет абсолютно интегрируемую импульсную переходную функцию, то и (1) =. $ Ь (1 — з) $ (з) йз = $ е'"'Н (ш) г,(йи). Доказательство в общем случае получается с помощью предельного перехода по последовательностям Н (1и), сходящимся к Н(с'и) в 2'з(Р) Й Пусть ць(() — процесс на выходе фильтра с частотной характеристикой Нч(1и), Мтр,(1) = 0 (й 1, 2). Найдем взаим.
ную корреляционную функцию процессов п1(1) и т1з(1). Из изоморфизма пространств 2'з(ь) н Ж(Р) непосредственно следует, что Лп(1) = МЧ~ (1+ з) Чз(з) = $ е'"'Н, Г(и) Нз((и) Р(йи). (16) Приведем несколько примеров фильтров и их частотных характеристик. ЛИНЕИНЫВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1. Полосовой фильтр пропускает (не изменяя их) только гармонические составляющие процессов с частотами и, для которых а (!и1( Ь, а > О. Частотная характеристика фильтра раВНа Н(зи) = т!з, Ы(и)+ т! Ь,,!(и), И фИЛЬтр яВЛяЕтСя дОПустимым для произвольного процесса. Импульсная переходная функция находится по формуле Фурье: -з Ь ! ~ ( +( пз ( з!пы — з!па! -Ь а 2.
Фильтр высоких частот подавляет низкие частоты, не изменяя высоких. Его частотная характеристикаО(зи) =у! „!, (и), а импульсная переходная функция не существует. 3. Рассмотрим операцию с. к. дифференцирования стационарного в широком смысле процесса. Для существования с. к. производной процесса с(!) достаточно существования )з" (О) ($ 3, следствие 1). Это условие эквивалентно требованию (теорема 4 $ 5 гл.
1) изг (з(и) ( со. (177 С другой стороны, если это условие выполнено, то при Ь- Π— и (в Ыз(Р)) и в соотношении з (Ь+ А) — з (!1 Г и, ззпз — ! можно перейти к пределу при Ь- О под знаком стохастического интеграла. Следовательно, Ю $'(!) = ~ еи"Ьиь(Ыи). Таким образом, операции дифференцирования соответствует фильтр с частотной характеристикой Ьи, который является до- пустимым для всех стационарных процессов, удовлетворяющих условию (17).
Импульсная переходная функция не существует, но фильтр можно рассматривать как предельный (е- О) для фильтров с импульсными переходными функциями Ь,(!) = О при 1!1 з е и Ьз(!) = — —, при (1~ ( е, которым соответзнп ! ез 4 з!пз— пе 2 ствуют частотные характеристики— лннвиныв пововохзовхния слхчхиных пооцвссов [гл.
ч '282 4. Операция сдвига времени. Так как ОО $ (1 + з) = ~ е'"'е'"'Ь (!(и), 1л) =М$, (19) ,где ал ~!!-! Т =ао — +а! — + ... +а„, е!л е!л-! Уравнение (19) имеет смысл только тогда, когда процесс й(11 л! раз с. к, дифференцируем. Тогда мы ищем л раз с,к. дифференцируемый стационарный процесс Ч(1), удовлетворяющий (19).
Предположим, что (19) имеет стационарное решение. Его можно представить в виде т) (1) = ~ е"'Н(1и) ь(!(и). Применяя к процессам $(1) и т)(1) операции М и Ь (соответственно), получаем Ю ОО $ е"'Е(ш) Н(1и)ь(!1и) = $ еьмМ((и) ь(!1и), где 1. (!и) = Е а„(!и)" о, М (юи) = Х Ьо((и) о-о о-о не имеет вещественных корней, Н(1и) = !М (Хи) Х.
(Яи) ' Обратно, если процесс $(1) пг раз с. к. Л(ш)еиУх(р), й(ш) чиО ( — оо < и ( оо), то откуда, если Ь(1и) (20) дифференцируем, процесс то операции сдвига времени Т„Т,(Ц~) = $(1+а), соответст. вует частотная характеристика Н(!и) = е!"'. Импульсная переходная функция не существует. 5. Дифференциальные уравнения. Рассмотрим фильтр, определяемый линейным дифференциальным уравнением с постоянными козффицнентами ЛИНЕИНЫЕ ПРЕОБРАЭОВАНИЯ 283 и раз с.к. дифференцируем и удовлетворяет уравнению (19).
Таким образом, при условии М((и)~ Ыо(Р), 1.((и) чь 0 существует единственный фильтр, соответствующий дифференциальному уравнению (19). Заметим, однако, что можно определить решение уравнения (19) и в более общих случаях. Допустим, что многочлен А,((и) не имеет вещественных корней. Фильтр с частотной характеристикой М((и)/1,(1и) существует и без требования М((и)ЕЕЫ«(Р); достаточно требовать только, чтобы — ~.У«(Р).
Последнее выполняется всегда, когда степень и А( ((и) д ((и) многочлена Е не меньше ит. Таким образом, при и ) ио фильтр с частотной характеристикой (20), знаменатель которого не обращается в нуль при действительных и, является допустимым для произвольного процесса на входе, и процесс на выходе фильтра мы отождествляем со стационарным решением уравнения (19). Ограничиваясь по-прежнему дифференциальными уравнениями, для которых многочлен Ь(х) не имеет чисто мнимых корней, выделим из дробно-рациональной функции, М(х)(Ь(х) целую часть Р(х) (она отлична от нуля, если т =» л) и остаток разложим на простые дроби. Тогда о« где Р((и)= ~ Ы«(!и) (т)л) и Р(1и)=0 (т<п), Йер'„<0 и «-о 1(ер«) О, р' и р" являются корнями многочлена А(х) =О Так как «-1 г р — — —,, ') еи'е-'и'г(1 = — еи'е-'"'Ю (Ш вЂ” р) (« — 1)) й ' (о — 1)( ()(ер < 0) о г — ') — еи'е-'"' о(г (йе р > О), ((и — Р)' з (о — 1)! то процесс т)(1) на выходе фильтра можно представить в виде л~-и 40 о) (Г) = ~~', г(й" (Г) + ~ 1 (1 — т) 01 (т) 2т + ~ $ (1+ т) бо ( т) г(т.
«-о о о яз4 лиивпныв пэвовглзовзння слэчхнных пэоцнссов !гл,т тде ь ! «! Заметим, что если многочлен Е(х) имеет корни с положи. тельной действительной частью, то соответствующий фильтр физически неосуществим. $5. Физически осуществимые фильтры В настоящем параграфе рассматривается следующий вопрос: какие спектральные функции могут быть получены на выходе физически осуществимого фильтра? При этом на входе фильтра рассматривается в некотором смысле простейший случайный процесс.
Процессы, рассматриваемые в настоящем параграфе, неизменно предполагаются одномерными н стационарными в широком смысле. Поэтому слово «стационарный» иногда, а слова «в широком смысле» постоянно будут опускаться. Начнем с рассмотрения стационарных последовательностей. !"«ы не будем переносить на последовательности всех определений и эвристических соображений, приведенных для процессов с непрерывным временем, хотя будем пользоваться соответствующей терминологнеи, Представим себе систему, у которой состояние на входе и выходе регистрируется только в целочнс.
ленные моменты времени 1 = О, ~1, ~2,... Пусть на вход системы в момент времени 0 поступил единичный импульс. Реакцию системы на этот импульс в момент времени 1 обозначим через аь Если система не предвосхищает будущего, то а, = 0 при ! ( О. Если система однородна во времени, то реакция системы на единичный импульс, приложенный к системе в момент времени з, равна а,, Реакция линейной однородной н физически осуществимой системы в момент времени 1 на последовательность импульсов $„ ( — со ( н ( ьь) будет !(1)= ~' а! Д(н)= Е аД(1 — н).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
