И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Предположим еще, что взаимная спектральная функция процессов Ь(1) и $(1) абсолютно непрерывна и ее плотность ~С1(и) удовлетворяет услови(о = = й ((и) ее 2;. 1д (и) (13) А ((и) Тогда Ь1СЕ(1)= ~ ен"~С1(и)((и= ~ еп"Цш)йш)йи = ~ Ь(1+В)а(з)(Ь, СО о где Ь(1)== ~ й(1и)еи'(ш. З/2Й С помощью полученных выражений уравнение (9) может быть переписано следующим образом: Г 1(ь(д-';)(- ) — 1 (В) 0 — 9; )ш)] ()д О, )>О. ()4) 0 0 Чтобы (14) имело место, достаточно, чтобы функция с(1) удовлетворяла уравнению Ь(д+ х) = ~ с(О) а(х — О) а)О, х > О.
(15) о З А! ПРОГНОЗ И ФИЛЬТРАЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ 305 Уравнение (15) того же типа, что и уравнение (9), с тем лишь существенным различием, что функция а(1) обращается в нуль для отрицательных значений й Записав (15) в виде Ь (д + х) = ~ с (О) а (х — О) 1(О, х > О, (16) мы можем непосредственно решить это уравнение с помощью преобразования Лапласа. Умножая равенство (16) на е-'" и интегрируя от 0 до со, получим Вц (г) = С (г) Ь (г), где В (г)== ~ Ь(д+х)е цц1(х, С(г) == ) с(!)е-ц1Ж. ! Г ! Таким образом, Вц (г) 1 Г 1ц1 Вц (и) причем выражение для В„(г), Кег> О, может быть записано в виде ! Г 11() и. В,(г)== з! е'ц'= —.
Ч/Ея А (Рц) г — 1ц Формулировка предположений, при которых выведены формулы (17), (18), весьма громоздкая. Проще при решении конкретных задач непосредственно проверять законность предлагаемых преобразований, приводящих к решению задачи. Г) Метод Яглома. В методе Яглома, в отличие от метода Винера, отыскивается не импульсная переходная функция оптимального фильтра, которая может и не существовать, а частотная характеристика.
Не даются общие формулы решения задачи, а предлагается только метод подбора искомой функции, исходя из тех требований, которым она должна удовлетворять. Во многих важных случаях этот подбор довольно просто осуществим. Пусть двумерный стационарный процесс (с((), ~(1)) допускает спектральное представление зов ЛИНСПНЫЕ ПРВОБРАЗОВАНИЯ СЛУ'1АИНЫХ ПРОПЕССОВ 1ГЛ, М с матрицей спектральной плотности ~та (и) ~гс (и) 1 (сь(и) ~сс(и) ) ' По-прежнему рассматривается задача оптимальной оценки величины ь(г + д) по значениям процесса $(з), з = й Прогнозирующий процесс Ь(1) подчинен $(1).
Поэтому Ь(1) = ~ е'"'с(ги)т1(г(и), ~ ( с(ги) ~г~м(и)г(и < Оо. (19) Уравнение Мь (г+ г)) Д~) = М~ (1) ~ (з), з < 1, определяющее процесс Ь(1), принимает вид ~ е'"'(еы~(С1(и) — с(гн))Ы(и))гги=О, з) О. (20) Кроме условий (19) и (20), мы имеем еще требование, чтобы с(ги) была частотной характеристикой физически осущсствимо1 о фильтра, Эти условия будут выполнены, если а) функция ~ы(и) ограничена; б) с(1и) является граничным значением функции с(а)енЯР+: В) ф(ги)е аг"Чанга(11) — С(ги)71Е(и) ЯВЛЯЕТСЯ ГРаНИЧНЫМ ЗиаЧЕ- нием фУнкЦии 1Р(в) из Мг . Здесь Мг~(ЯХ ) обозначает пространство функций л(з), ана.
литических в правой (левой) полуплоскости, для которых интеграл ~ ~!г (х + г'и) 1' г(и равномерно ограничен при х ) 0 (х < 0). Действительно, из б) следует, что ~ ~ с(ги) 1гг(и < оо, а это вместе с а) обеспечивает выполнение условия (19). Кроме того, нз б) следует, что с(ги) есть частотная характеристика физически осуществимого фильтра. Из условия в) следует, что е'"ч)С1(и) — с(йг))ц(и) является преобразованием Фурье функции, равной нулю при положительных значениях аргумента. Заметим, что, ограничив себя условием б), мы отбрасываем фильтры, частотные характеристики которых на бесконечности могут возрастать.
Такие частотные характеристики соотвст- З ь1 пгогноз и еильтмция сткционьгных пгоцвссов вот ствуют операциям, связанным с дифференцированием процесса $(1), и часто встречаются при построении оптимальных фильтров. Поэтому условие б) желательно заменить менее ограничительным. Предположим, что с(г) — функция, аналитическая в правой полуплоскости, и (с(г) )- оо при )з)- пь ие быстрее, чем некоторая степень з (например, г-я).
Функция с(г] е сп (з) гч.( ен уй2 (+-.')"' Так как ~ с„(г) ~(~ с(г) ~, то !пп ~ ~с„(ш) — с(!и)Р~ы(и)йи=О, если условие (19) выполнено. Таким образом, с((и) является пределом в У,(Г11) частотных характеристик допустимых физически осуществимых фильтров, а поэтому с((и) — также частотная характеристика такого фильтра. Мы получили следующий результат.
Т е о р е м а 3. Если спектральная плотность 111(и) процесса $(1) ограничена, то условия: а) ~ ~ с(ш) (г~зь(и)пи < оо, б) с(1и) является граничным значением функции с(г), аналитической в правой полуплоскости и возрастающей при ~1г~1- ьо не быстрее некоторой степени 1з), з) ф(ш)=е~ "~С1(и) — с((и)711(и) является граничньсм значением функции ф(з) из М,, однозначно определяют частотную характеристику с((и) оптимального фильтра, оценивающего величину Ь(1+ д). Средняя квадратическая погрешность 6 оптимальной оценки равна 4 = (М ~ ~ (1+ у) à — М ~ 1 (1) Г) гп -( *; — 1 ( н«(((и((~ ~ РО П р и м е р 1.
Рассмотрим задачу чистого прогноза процесса 4(1) ($(1)=(„(1)) с корреляционной функцией )с(1)=о'е- (" (а ) 0). Спектральная плотность легко находится: 1ы(и) = о'а 1 = — „, +, . Аналитическое продолжение функции ф((и) имеет зов линвиныв пгвовелзовлния случлпных пгоцгссов /гл, ч внд с Ре) — еее а'а !ь (з) =. (г + а)(е — а) а Функция ф(а) имеет единственный полюс в левой полуплоско.
сти г = — а. Для того чтобы его нейтрализовать с помощью функции с(г), аналитической в правой полуплоскости, достаточно положить с(г) = сопз( = е-а!. При этом условие а) тео. ромы 3 выполняется. Итак, с(!а) =е "е ~(/) = ~ е е!е с~а(//и) т. е. наилучшей формулой оптимального прогноза величины $(/+ //) является следующая формула: ~ (/ +,/) е — ад~ (/) зависящая только от значения $(/) в последний наблюденньш момент времени. Средняя квадратическая ошибка экстраполирования равна б=а),/1 е зе Пологким Р, (а) = ( — 1) А Й (в+ й!)"/, / ! Г /',),(г)-( — 1)"йП( +К/)'/, / ! П р и м е р 2.
Снова рассматривается задача чистого прогноза процесса $(/), т. е. оценки В(/+ //) по наблюденным ве. личинам Цз), з ~ /. Если спектр процесса $(/) абсолютно непрерывен и выполнено условие (24) ~ 5, то спектральная плотность процесса допускает факторизацию: ~)т(и) =~ Ь(/и) )', где Ь(г)сна/ и не имеет нулей в правой полуплоскости. Рассмотрим тот важный для практики случай, когда /г(г) является дробно-рациональной функцией: Ь (г) Я(г) * где Р(а) — многочлен степени и!, /,)(г) — многочлен степени и (/и ~ и).
Допустим еще, что спектральная плотность 7зз (и) ограничена и не обращается в нуль, Тогда нули многочленов Р(з) и Я(г) лежат в левой полуплоскости. Пусть э 6) ПРОГИОЭ И ФИЛЬТРАЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ зов Аналитическое продолжение функции ф((и) имеет вид ф(г) =(е е — с(г)) — — . ее Р (г) Р,(г) е2 (г) е)~(г) Функция с(г) должна быть аналитической в правой полуплоскости, а ф(г) — в левой.
Поэтому с(г) должна быть аналитической во всей плоскости комплексной переменной и может иметь полюсы в нулях многочлена Р(г), причем порядок полюса не должен превосходить порядка соответствующего нуля Р(г). Поэтому с (г) = Р М (г) Р (г) ' где М(г) — аналитическая функция в плоскости г, не имеющая особенностей при конечных г. Так как с(г) имеет не выше чем степенной порядок роста, М(г) является многочленом.
Ввиду интегрируемости квадрата модуля функции с ((и) —. Р (Еи) М ((и) () (си) С) (еи) степень еп, многочлена М((и) не выше и — 1, еп, ( и — 1. С другой стороны, указанный выбор функции с(г) обеспечивает выполнение условий а) н б) теоремы 3. Остается подобрать многочлен М(г) так, чтобы функция !е*еР (г) — М (г)1 Р, (г) Я (г) 4, (г) или, что то же самое, функция е'еР (г) — М (г) $1(г) = ' „,) не имела полюсов в левой полуплоскости. Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства е(УМ (г) ! ВЧ (е*еР (г)) ~ (22) е(г) ~ е) г) е гэ е гь 1 = О, 1, ..., РА — 1, й = 1...,, г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
