И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Задача построения многочлена М(г), удовлетворя ощего условиям (22), является обычной задачей теории интерполяцнн и всегда имеет единственное рещение в классе многочленов степени и — 1. Найдя многочлен М(г), мы тем самым найдем частотную характеристику оптимального прогнозирующего фильтра с((и)= —. М (си) Р ((и) З1О ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [Гл. У Можно предложить еще следующую методику определения функции с(г). Разложим функции Р(г)Я-'(г) и М(г)Я-'(г) на элементарные дроби. Пусть О (г) . .. , (г - гд)' Е (д) . ..
, (г - ед)' ' Для того чтобы функция ф~(г) не имела полюсов в точках йд, й = 1,..., г, необходимо и достаточно, чтобы — (г — гд) дф1(г)~ =О, 1=0, 1, ..., рд — 1, зд ид -причем а, '~;~ ~~х~~~ сдгд — тд! д 1у ~ (г — Ед) 'Простой подсчет показывает, что ад-! ч1 —— сд1+ Н сдыы+ —,сд1+д+ ... + р ., сда 1с Зная коэффициенты удц мы можем написать выражение для с ((и): к ад » ад тдг ~( д) ХХ(,"„), П р имер Э.
Предположим, что наблюдается процесс ~(з) (з (1), но результаты измерений величины ь(з) искажаются различными помехами, так что наблюденные значения дают некоторую функцию $(з), з ( 1, отличную от ~(з). Примем, что величина помехи (нли, как говорят, шум) Ч(1) = ь(1) — ь(1) является стационарным процессом со средним значением О. Желательно по результатам наблюдений процесса $(з) = ь(з) +; + Н(з), з ~ й оценить значение ~(1+ д). Такие задачи называются задачами фильтрации нли сглаживания (говорят, что от процесса $(1) нужно отфильтровать шум п(1) или что процесс $(1) нужно «сгладить», т.е.
вычесть нз него нерегулярный шум). При этом для д ) О мы имеем задачу фильтрации с прогнозом, а при д < Π— задачу фильтрации с запаздыванием. т с) прогноз и еильтвгция стгционлниых процессов зп Предположим, что шум з)(з) и процесс ь(з) не коррелиро ваны и имеют спектральные плотности рте(и) и (»»(и). Тогда )Ъ(() =)~»»(()+ ВЫ()> ~ы(и) = ~»»(и)+ Ъ(и). Так как Кд()) =асс(1), то существует взаимная спехтральная плотность процессов ь(г), ч(() и рс) (и) =)сс(и).
ПУсть ~СС(и) = з з з з'»»(Г)= з ' з . Тогда сз (из+ уз) 2 сзаз "(" сф гЫ(и)=( з з)(, рз), сз — — сз+се, Для функции зр(г) мы получаем выражение — с>езе (гз — рз) + сзс (г) (гз — уз) ( ' — ')( ' — р') Пусть д ) О. Функция ф(г) должна быть аналитической в ле- вой полуплоскости и принадлежать Мг . Для этого нужно, чтобы числитель обращался в нуль в точках г = — а н г = = — (з. Это приводит к равенствам с, е "е(аг — рг) с( — р)=0, с( — а)= — ',, (23) Кроме того, с(г) должна быть аналитической в левой полупло- скости (и по условию б) — в правой), за исключением точки г = — у, где она может иметь простой полюс. Таким образом, с(г) = —, ф (г) г+у' где ф(г) — целая функция.
Из условия конечности интеграла ~ (с(ш) г'~тт(и) сзи следует, что ф(г) — линейная функция, ф(г) = Лг+ В. Из (23) получаем с(г)=А —, Л= — — е-аа г+р сз р+а г+у' сз у+а Поэтому формула оптимального сглаживания с прогнозом имеет вид ~ ()) =А ~ еим —. Уз(с(и). Вспоминая, что (си+ у) ' является частотной характеристикой физически осуществимого фильтра с импульсной переходной 312 линейные пРеОБРА30ВАния случАЙных пРоцессоВ (гл Р функцией е — т', получаем ьр)= —" — ' (т(и.~.э — у) ( " 'т()е ~.
(24) При д ( О формула (24) неверна. Формально это связано с тем, что функция ф(г) в этом случае не ограничена в левой полу- плоскости. Функция ф(г) при д ( О может быть определена из следующих соображений. Пусть ф, (г) = — с,ееч(гт — рт) + + с,с(г) (ге — у'). Тогда с(г) должна быть аналитической в левой полуплоскости, кроме точки г= — у, и ф~( — а) =ф~ ( — р) =О. Так как т)~ (е) + с,е'е (е' — Р') с(г) = (' —,('- ) и с(г) аналитична в правой полуплоскости, то ф1(г) — целая функция и (25) ф (у)= — с,ете(ут ат) Положим ф, (г) = А(г)(г+а)(г+ 5).
Функция А(г) должна быть целой. Из условия а) теоремы 3 следует, что А(г) = сопз( = А. Значение А определяется из уравнения (25): А=с ете а+у Отсюда с1 (а + у) (и + р~) е~"е — е"е ( — у + р) (ги + а) ((а -1- р) с (ш) (а+ у) (ит+ у') Для прогноза и фильтрации стационарных последовательностей применимы методы, аналогичные тем, которые были изложены для процессов с непрерывным временем.
Ограничимся одним примером. П р и м е р 4. Рассмотрим стационарную последовательность $((), удовлетворяющую простейшему уравнению авторегрессии аД(()+ аД(г — 1)+ ... + арР.(( — р) =т)((), (27) где т)(() — стандартная некоррелированная последовательность и $(() подчинено т)((). Пусть и т)(()= ~ ен'аь(и) — спектральное представление последовательности т)(г), ~(и)— процесс с некоррелированными приращениями и структурной о о1 пРОгноз и ФильтРАция стАционАРных пРОцессОВ З1З функцией — 1(А П В), где 1 в мера Лебега.
Спектральное пред- 1 ставление последовательности 3(1) должно иметь вид $(1) = ~ ен"ф(и) о(Ь(и), где ~ ~ ф(и))оаэи < ао. (28) Подставляя (28) в (27), получим л л ( е р р ) ф ( и ) л ь ( ц ) ~ е р р л д ь ( ц ) где Р(г)= ~ аьгр. Отсюда следует, что А-а ф (и) = — (шоо( 1). 1 и (оои) Предположим, что функция Р(г) не имеет нулей в замкнутом круге ~г !~(1. Тогда, если А-о то и мы получили представление последовательности $(1) в виде реакции физически осуществимого фильтра на некоррелированную последовательность Ч(1). Так как В(1)= — — 1аД(1 — 1)+ ...
+арР(1 — р)+т1(1)), (29) то оптимальный прогноз е(1) по данным 5(1 — п) (и = 1, 2, ...) имеет вид г(1) = 1 [аД(1 — 1)+ ай(1 — 2)+ ... +Прз(1 — Р)1 Минимальная средняя квадратическая погрешность прогноза равна Повторное использование формулы (29) позволяет получить оп- тимальный прогноз на несколько шагов вперед. ГЛАВА Ч! ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ Процессы с независимыми приращениями уже рассматривались в $ 4 гл. 1. В настоящей главе будут исследованы свойства выборочных функций таких процессов, а также рассмотрены различные функционалы от процессов с независимыми приращениями. Начнем с простейшего примера — однородного процесса с дискретным временем — случайного блуждания.
$ 1. Случайные блуждания на прямой Пусть йь $ь ... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Под случайным блужданием понимают последовательность сумм ьо=О, 1„=$!+ ... +$„(п=1, 2, ...). При этом ~ называют положением блуждающей частицы в мо.мент и, $„— и-м шагом блуждания.
Иногда рассматривают блуждание, начинающееся в точке х, тогда ьь=х, ь =х+ +в1+ ... +з . Мы в этом параграфе будем рассматривать лишь блуждания, начинающиеся в точке О. Будет также предполагаться, что величины $к целочисленны. Тогда и блуждание называется целочисленным. ! Максимальное целое число Ь, при котором величина также целочисленна, называется шагом решетки блуждания. Если Ь = 1, то блуждание называется перешетчатым. Очевидно, что А совпадает с наибольшим общим делителем тех й, для которых Р(В1 = й) ) О. Обозначим через !р(г) характеристическую функцию величин $к.
Лемма 1. Если гь — минимальный положительный корень уравнения 1 — 4~(г) = О, то Ьгь — — 2п, где Ь вЂ” шаг решетки блужчтанил, СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ НА ПРЯМОЙ Доказательство. Обозначим рА — — Р (з1 = й), й = О,:й1, '~2, ... Тогда О = 1 — ~р(хо) = ~~ рг(1 — е'А*) = о его = ~~' рг (1 — соз йхо) = ~~ рг2 з(п' — '. 2 Пусть й!' =(й: рд ) О). Тогда при й еыЧ' число — „' — целое 2л Аг,, Если й — наибольший общий делитель чисел из й1', то — „'— также целое число, поскольку Ь представимо в виде й=га,й, + ...
+той„, г Ьго 2а где т1 — целые числа, й, ~ Ф . Значит, — ) 1, Ео» )—,. С другой стороны, гг „ ~р( — )= ~~ рое " = ~ рд — — 1, А ы М' гав' поскольку — — целое число при йенй! . Поэтому — — поло- А г 2л Ь Ь 2л жительный корень уравнения 1 — ~р(х) =О. Значит, го( —. И Следствие. Если блуждание нереигетчатое, то существует.
такое а > О, что йе (1 — ~р (г)) ~» агг, г ~ ( — а, а). Пусть р, Ф О. Тогда )те(1 — ~р(е)) ) 2р, з!и' — »2р1( — ) ( — ), !г ! л го если ~ — ~< —. А при — <!Е)~<а функция ц (! )! непрерывна (в силу леммы 1 знаменатель не обращается в нуль) и„ значит, ограничена.
Легко видеть, что достаточно изучать нерешетчатые блуж- < 1 дания, так как таким будет последовательность а=О, 1, . ~, где Ь вЂ” шаг решетки блуждания. Позтомувдальнейшем блуждание будет предполагаться нерешетчатым. Введем случайную величину тл (х — целое число) — момент первого попадания случайного блуждания в точку х: т =1и1!а) О ~ =х) 316 пРОцессы с т!езАВисимыми пРиРАшениями ' !Гл. «! (если ~„Ф х 1га, считаем «„= + оо). Блуждание называется ВОЗВратНЫМ, ЕСЛИ Р(«ь < + оо) = 1.
ИССЛЕдуЕМ уСЛОВИя ВОЗ- вратности случайного блуждания. Для этого нам понадобится преобразование Лапласа величины «„. Лемма 2. При1Х!<1 (Х+" считаем равным О). Доказательство. Имеем РД„=х) = РЯ„=х, «„<и) = и и = ~„Р(~„=х, «„= й) = ~ Р(~„— ~А =О, «„= й). и-! и-! Очевидно, что ܄— ЬА не зависит от события («„= й).
Поэтому и и Р (~„=х) = ~, Р («„= 1г) Р (~„ — ~2=0)=~ Р («„ = й) Р (~„ 2=0). Умножая это равенство на 1«" и суммируя по и, получим Х"Р (~„= х) = ~„й~Р («„= й) 2„1!"Р (~„= О). ° Сл едствие. Для возвратности блуждания необходимо и достаточно, чтобы ~ Р (й„= О) = + оо. Действительно, Р («ь < + оо) = 1нп ~~! Л Р («о = й) = Аи! = 1 — !Ип 1 1— ! А"Р (йи — 0) ~ Р (си = 01 и О Сформулируем условие возвратности случайного блуждания через характеристическую функцию одного шага. Теорема 1. Для того чтобь! нерешетчатое случайное блуждание было возвратным, необходимо и достаточно, чтобы Ке 1 1 — !Р 12) ух=+ 00, СЛУЧАЙНЫВ БЛУЖДАНИЯ НА ПРЯМОЙ $ и З12 Доказательство. Достаточность.
Имеем л л ~ Л"Р (~„= 0) = ~~> Ли — ~ МеыС Б1г = — ~ ~~ Лири(г) О(г = и О ЛО -Л -ли О л = 2л 3 1 — Лф(,) "г= 2 Не 3 1 — л, (,) Бг= = — ) Ке О!г. 2л 3 1 — Аф (и) -л В силу теоремы Фату и ~ Р(ьи=О) =(!Пт~ Л"Р(ь„=О) =!Нп — 1 Ке аг,'~ л „л и и О -л ~ ~— ~ !!и! 1Г,!1Г1 О(г= — ) Йе а1г.
2л ~ АО ~ ! — Лф (и) 2л,) 1 — ф (г) Ке — и'г < ио. ! 1-ф( ) -л (2) Пусть хчь О. Рассмотрим при 0 < Л ( ! выражение ЛОР (~„= О, т„> и) = = ~ ЛиРЯ„=О) — ~' ЛОР(~„=0, тл(п)= и и = 2: Л"Р (~л = 0) - 2: Ли ~ Р (тл - Ц Р (~л А = - х) = и О и О и ! = ~ ЛОР Д„= О) — ~ Л'Р (т„= Ц Х ЛОР (~„= — х). Из (!) и следствия леммы 2 вытекает возвратность случайного блуждания. Необходимость. Будем доказывать от противного. Предпологкнм, что блуждание возвратно, но 818 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [ГЛ. Р1 о силу леммы 2 последнее выражение имеет вид ~ Л Р(Е„=О)(1 — МЛ МЛ )= л О = ~Л"Р(~„=0)(2 — МЛ "— МЛ "— (1 — МЛ х) (1 — МЛ Х)). л О Поскольку МЛ "< 1, МЛ "< 1, то Х Л Рйл=О, тх > и) л=.
Е Л Р(~0=0)(2 — МЛ х МЛ'-х) = Х Лл(2РК.=О)- Р(~.=.) — Р(Г„=-.Д л О (мы снова использовали лемму 2). Поэтому Ю л Х" .— ° -Х".. Л~Р(~0=0, тх >п)(~~ЛΠ— ~ (2 — е 'х ЕСХХ)срл(г)дх л=О л О -л = — ~ (1 — созгх) Г 1 1 — )лр (2) ох. (3) Из следствия леммы 1 вытекает, что функция 1 СОО 2Х 1 — Ю (2) 1 е(2) ограничена. Кроме того, функция ! ограничена при О«=Л(1 и гы( — и, и], поскольку (<р(г)((1, а функция —, ограничена, если Лен(0, Ц, а и меняется в единичном круге комплексной плоскости, так как она непрерывна, если ее положить равной 1 при Л = 1, и=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
