И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Поэтому в (3) можно перейги к пределу при Л Г 1: Р(ь„=О, тх > и)( л О ( — ') (1 — совах) 1 Г лг 1 Г 1 1 — е() а ( — ~ (1 — соз гх) Йе с(х. 1 — е (2) Из (2) вытекает, что 1пп ~ созгх)те с(2=0 1 х+ 1 — е (г) СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ НА ПРЯМОЙ зра в силу теоремы Римана — Лебега, Далее, поскольку у„-~.ео при х- оо, то ! Пп Р (."л = О, тх > и) = Р (~„= 0). х -л:.* Значит, для всякого т И$ Л 1нп ~~ РД„=О, тх >и')= ~ Р1, =О)( — ~ Йе, ' !(г. л О л О л Позтому н л Р(О„=О) - — ~ Йе !(г< Оо л=О л (в предположении (2)), что противоречит возвратности блуждания. !в1 Пусть х > О. Обозначим через тх момент первого попадания в множество (х, ао); Кроме того, Р (тх = 1, ух = й) = Р (~~ — — е + х) = р Таким образом, Л е'А'Р (тх = т, ух = Л) = Юл ! А ! =Л ~1,е'Ар.х+ ~ р ~ Л е~*Р(т„-1=т — 1, у -1=11) й-1 1~х л! О А ! или их(Л, г) =Лд„(г)+Л ~ р,их,(Л, г), 1<» (4) тх = 1п1[и: 1,„ > х) (если ~„(х для всех х, полагаем тх =+ со).
Если тх конечно, положим ух = ~, — х. Будем искать совместное распределение величин тх и ух Пусть ~Л~ < 1, ген[ — и, и). Положим их(Л, г)=Ме'" 'Л"Х(к < 1= К е™Л Р(тх=т, у»=Ц. А=1, ~и-! Пусть р, = Р(~! =1). При т > 1 имеем Р(тх=п1, ух=й)=Р(Г!(х, ..., Г !(х, 1,„=й+х)= = 2 Р (~! ~«х ° ° ° ~ 1л~-! ~~х, ~л — — !О+ х, Б! =1) = 1<х ,о, Р (!и — Г! ~ (х — 1, ..., Г.„! — Г ! (~ х — 1, ~,„— !.! = 1<к = й+х — 1) = 2', рР(сх,=т — 1„ух, =11).
!<х СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ ИА ПРЯМОЙ за 321 Значит, ((-Р2 р, "')2 ло = р( — 2 — 2 Р((„=Р! в*~. (Р! л ! А ! Точно так же как и вьппе, можем установить, что выражение в правой части разлагается в ряд Фурье лишь по е'А' при положительных Ь. Поэтому при Ь < 0 БА — ).ЕР,Б (это коэффициент левой части при е' '). И 3 а меч ание. Из соотношения (9) вытекает, что при Ь)0 сх — Х~ р,со,=Ьы (10) где ЬА определяются из соотношения гол *= *р( — г р гр(! =р! *~. (((! А-! л=! А-! Вернемся к уравнению (6). Имеем ~ Сои„о=~:Боях А+А~„Р(~,САих ! Ы или ~, Бобах А — — ~, (со — ~, р,с, ~их А. Из леммы 3 и замечания к ней вытекает, что о Боях-А= Е Ь.их-о А-- А-О (12) Следовательно, рр Х р «.— Х р Ь Е р Е "а.— х-О А-О Х-О А- рр Заметим, что при х < 0 правая часть обращается в нуль, значит, и левая также обращается в нуль.
Пусть теперь х~~О. о Тогда в ~ сод„о входят лишь Ьр с неотрицательными индексами, которые нам известны. Умножая соотношение (12) на р", где ~ р ~ < 1, и суммируя по х, получим ~, рх х, соя', А — — А~, рАЬА,'р, рхих. 322 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСПМЫМИ ПРИРЛЩЕНИЯМИ (гл, ч( Заметим теперь, что функция * (-2.— '„"2. ((.-Р(р'~ й-( аналитична при ) р ~ ( 1 и непрерывна при ! р 1 (1.
Так как при р=ерк Г 2,"*р.— *р( — 2 — '„2 р(р„-р("*'~, й о к-( й-( то т р'р, - -р ( — т †' ~ Р ((, - р( р' ~ . о р( й-о к-( й-( Таким образом, Кр*ъ- р(К вЂ” '„Кр((.=р(р'1Кр" К р.—,. (рр( к-о к-( й-( к к Из этой формулы определим ио.
Для этого нужно положить р=О: ио = ~ сйд „. Для того чтобы найти ио(А, г), нужно вместо о-= д й подставить 1од (г): рр ((о(Х, г) =Х ~ сй ~ р(,е(('. й — р / 1 Введем операцию [ ] Р, ставящую каждому тригонометрическому ряду ~, айе(й' в соответствие тригонометрический ряд ~~ айе'~'1 = й айе(~'. Тогда й>о ио(1(, г)=Х~ ~, сй ~' Р1 йе~('~ =Л~Хем*ейч((г)1 Ьй--~ й-- Л+ Е й + = — Ц„сое(й'(1 — Ьр (г))1 ей + поскольку Ц сйе'й'1 =О. Используя соотношение (9) и равенство йй .( с - (-к — '„'к «.-м"")- ]— к-( й~( + р( — 2 — „2 Р((„— Р(,"~ — Р, о СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ НА ПРЯМОН $ и 323 находим Полагая в (15) г=О, найдем производящую функцию ть.
(16) Теорем а 2. Для того чтобы блулсдание бь(ло ограничено сверху, т. е. чтобь! Р(зпр~„< + оо) =1, необходимо и достаточно, чтобы (18) Доказательство. Из (16) вытекает, что Р(т, =+ оо) =1 — 1нп М)" = ль! !)л 1 (! р — т — Р(р„>Р)1= *р( — т — Р(р„>Р)~ АЬ! л ! л ! (считаем е =0). Значит, если выполнено условие (17), то Р(зпрь„<+ о) >Р(т =+ оо) > О, л Но в силу закона 0 или ! Колмогорова (см. гл.
11, 5 4, теорема 7) Р(зпрь„<+со) может принимать лишь значения 0 или 1, Поэтому в этом случае выполнено (17). Пусть Р(т,=+ со) =О. Это эквивалентно соотношению — „Р(~„> 0) =+ л 1 Бслн Р ($! > )0) = 1, то Р(зп ь„+ )=1, (19) 324 пгоцвссы с нвзлвисимыми пгссглщаниями сгл. ссс так как с вероятностью 1 ~ $л = + оо. Предположим, что о ! Р ($! < 0) ) 0 и сп < О таково, что рм ) О. Тогда для всех п имеем Р(з! — — пс, ..., з„=пс, зпр (ь„+л — ь„)«< — поп) «( о~о <«Р (зпр ьс «< 0) = Р (т, = + оо) = О. с Но левая часть этого соотношения равна (р )" Р(зпр~,< — ).
Поэтомудлявсехп Р(зпрс,о < п) =О. Значит, выполнено (19). И Используем теперь соотношение (14) для определения распределения величины ~~ =зпр~„. л~о Очевидно, что Р(ь+=пс)=Р(т ! <, т„=+ )= =Р(т„- < ) — Р(т„< ). Поэтому Р(~+=си) =и,(1, 0) — сс„,(1, 0). Пусть 0 < р < 1. Тогда ~ Р (ь = сп) р" = ~ р" [исо ! (1, 0) — и (1, 0)) + Р (~+ = 0) = = 1 — Р (то < оо) — ~. р"и, (1, 0) + р ~„ р и,„ (1, 0) = П1 ! б3 о = 1 + (р — 1) ~, р и (1, 0). (20) Воспользуемся теперь формулой (14), учитывая, что для получения ~ р и (1, 0) нужно в правую часть подставить а=О, т о а затем перейти к пределу при Л (' 1. Числа д„в силу определения при этом будут равны Ыз=" Е Рл+о л-! сл))члиныв влуждлния нл пвямои 325 Поэтому (Р-()2'Р"«,.(!.Р)- Р 2' — 2;Р(!.-ОР')Х л( О л-! О-! л Р Г х з,(Р*" -Р ) К,х,-.= *Р( К вЂ” '." К Р(!.-)) Р'))х х О О-- л-! Х[ — ~,Ы, +х Р х, (Х*- — — Х*- )~= О -л х ! Ф -а =.*Р ( х.' — ' 2; Р (!.
= ) 1 Р' ~ х лл Х~ — Ов(а,а))-!т'Р' т' ЛР.,~. х-! О- -~ Воспользовавшись замечанием к лемме 3 и формулой (11), можем записать 7 л ~~) Рх ~~~ с Рх О = — ~ Ь,Р' = 1 — ~~ ЬХРх = Х-! Л-- Р «-! х-О Ю вЂ” )(-2 '„'2 РО.=))Р'~ л 1 А ! (поскольку формула (!1) верна при )р ~ =1„она верна и при 1р! <!). Следовательно, учитывая (16), получим (р — 1) ~~ р~и' (з,, 0) = о) Π— .*Р ( ~ †'„' ~ Р (!. = )) Р' ! ! .*Р ( — т †'„' Р (!. > О) ~- )л ! (! ! л ! .„( Х „"с,'Р(!.
о, )) л-! О-! " Лл " --)1Й вЂ”. Й Р((.-)) (Р'- о~- ло л-! О-! зга ПРОЦЕССЪ! С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАШЕНИЯМИ [гл. ч! Теорема 3. Если Р(зир1„( оо) =1, то распределение л величины Ь" = зир ~„определяется соотношениел! и Лр"Р(! = )= .р Л вЂ” г,Р(2„=.4)(р' — !)~. (22) 04 О Ал ! А ! Для доказательства достаточно перейти к пределу при Л 41'1 в (21) и воспользоваться формулой (20). Возможность перехода к пределу вытекает из теоремы 2. ф Замечание.
Формула (22) справедлива и при 1р1=1, поскольку обе части этого равенства определены и непрерывны при ~ р ~ (1. Следствие. В условиях теорел(ы 3 Р (зир ~„= О) = л "! 1Г Г *р( — Л вЂ” Р(4,>0))1( — р( — Л вЂ” Р(4„=0))). (22) 1 1 л-! 1 Действительно, Р ( зир ~„= 0) = ~ р Р (ь" + = й) = А-о = — ~ р(е)') Р(Й+=й)е'"де= — и А-О и Г = —,', ) 0().*Р(К-„'КР(2.-0)(. -!)14*- — л п ! А = — "-11"'*' ' *0(Х вЂ” 'ХР(!.=4! *)4- и л-! А-! + — )4 р( — Лр„р(2„>0)~. л=! Воспользовавшись соотношениями (9) и (7), можем записать 1 . ! Г Л Р(зир ь„=0) = — 11гп — З1 ~1 — ехр1( — ) — Х г )4 — и п ) Х Л Р((„=4! '")~)0 р( — à — „РО,>0)~.
(24) А<о ) л з л СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ НА ПРЯМОЙ о )1 327 Поскольку "Р( К КР)) ЧР ) =я)( — Л вЂ” Р)), о)~, л-) А<О «р=о «) ТΠ— ) *)1-К вЂ” К Рк.=о" ~~*= 2и З ( и -л л ) А~О ~ ( — 2„— Р () „= о) ~ . л ) Подставляя это выражение в (24), получаем (23), 3 амеч ание. Ряд ,' — „' Р(~„=О) (25) л сходится.
Пусть $) — $, имеет решетчатое распределение с шагом Ь, тогда ~ )р(г) )' = Ме" "' ш — функция периодическая с периодом —. Поэтому з' и л)л Р(ь =О) = а ~ р" (г) й « -л)А Используя следствие из леммы 1, убеждаемся, что существует такое о) О, что ~ р(г) Р~(е "-" при ) г!~(н/Ь. Поэтому л)А «и г ла -л)Л где С вЂ” некоторая постоянная. Из этой оценки и вытекает сходимость ряда (25). Выше мы нашли лишь совместное распределение величин то и уо. Для нахождения совместного распределения т, и у„можно использовать следующее рекуррентное соотношение: Р (т„= т, у„= Ь) = Р (то = )и, у, = х + Ь) + + Х Р(.=,у.=)Р(.-= —,у.-=Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
