И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 56
Текст из файла (страница 56)
— последовательные скачки процесса $(1), а т!, ть ... — промежутки между моментами, когда они произошли; тогда все эти случайные величины независимы е совокупности. Действительно, поскольку Чв !)м ..., тъ тм ... полностью определяются процессом с!(1), то з)!, т, от этих величин не зависят и, кроме того, независимы между собой. Так как $!(1) точно так же выражается через пг, Чз, ..., тм тм ..., то э1в тт независимы и не зависят от !1г, ..., тм . Вводя последовательно процессы т„(1) =$„— !(г+ т ) — ь -!(т ), убеждаемся, что для всех п величины т[„и т„независимы и не зависят от !1„ !, т ь Пусть т(1) — число скачков процесса В(з) на отрезке [0,1]. Так как !!! ! +! ° о (!)=-,, Е,(!< Е, (ь-о).
! ! ! то процесс т(1) выражается через тм и = 1, ..., и, следовательно, не зависит от Чм й = 1, ... Поэтому ч и! $(1) = 2.Ч., (4) где з1!, ..., !1ь — последовательность независимых одинаково распределенных величин, а т(1) — не завися!ций от них однородный процесс Пуассона. Процесс вида (4) называется обоб!ценныл! процессом Пуассона.
Изучим распределение некоторых характеристик для такого процесса в Я!. Пусть а — параметр пуассоновского процесса, а Ф(х) — фУнкциЯ РаспРеделениЯ величин т[м Найдем фУнкцию ззе ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ 1гл. Ап распределения максимума процесса на конечном отрезке. Обозначим Я(~, х) =Р(зпр<(е) <х).
гмл Используя независимость величин ть ~, и процесса е1 (1), можем записать при х ) 0 е(1 ') = Р(т ) 1)+ Р( Вир Ь(з) <х, т <1) = О=О Л =Р(т, ) 1)+ Р(т,<(, т1, <х, зпр ~,(е) <х — П1) =- ' О<. О-Я =е-"+ ~ ~ Р(т, О=О(и, т1, епг(у)Р( Вцр <~(е) <х — у)= О<г<лО Х =е "'+ ~ е '"О(и ~ ЫФ(у) 1;1(1 — и, х — у). При х(0 1,1(1, х) =О. Поэтому, полагая ~ е ланд(г, х)й=д(2,, х), О получим ч (А ~) =, + к +, + л ) Ч (А х — у) с(Ф (у) (5) (д(Х, х) .= 0 для х < 0). Соотношение (5) выполняется для всех х ) О.
Значит, полагая е(х) = 1 при х ) О, В(х) = 0 прп х ~ О, (5) можно переписать в вице — 1 = (х) ~ у (7, - у) ([ (у) - ' , Ф (у)1 . (5) Покажем, как можно решить уравнение д(х) = е(х) ~ д (х — у) г1 (е(у) — + Ф(у)~, (7) ч(х) =О, х<0, где д(х) — некоторая ограниченная функция, у(х) = 0 при х < О. Пусть и~(1) — некоторая фуикпия ограниченной вариации, для которой ОЧ(1) = о,(0) при 1) О. Из (7) находим д(х — 1) О(о, (1) = (х — О ~ у ( — 1 — у) 4 ~ (у) — — Ф (у)~ дг (1) Если х ) О, то в выражении справа под знаком интеграла можно е(х — г) заменить ~а е(х), так как интегрирование склчкооеглзныи пеопесс ЗЗ7 ведется на самом деле лишь по отрицательным й Позтому е (х) ~ д (х — 1) Но, (1) = = е (х) ~ ~ д (х — 1 — у) Ы ~е (у ) — — Ф (у)~ а~о, (1) = = е(х) ~ д(х — у) с(оз(у), где функция ограниченной вариации ол(у) определяется из со- отношения оз(у) = ~ о, (у — 1) с(~е (1) — — Ф(1)Д (8) Пусть теперь оз(у) таково, что ог(у) = 0 при у ( О.
Тогда е (х) ~ д (х — у) йо, (у) = ~ д (х — у) сЬ, (у), так как при х «= 0 ~ д (х — д) Й ,(у) = ~ д (х — у) до,(у) = О. Значит, в том случае, когда существуют функции о~(х) и оз(х) с указанными свойствами, из (7) получаем следующее соотно- шение: е(х) ~ у(х — д) Но, (у) = ~ д(х — д) доз(у). (9) бл(г) = $ е""г(ол(х), <р(г)= $ е""с(Ф(х). Применяя к (8) преобразование Фурье, получим б (г) = б, (г) [! — + л т ( )~ . Но 1 — — — ~р(г) =ехр1!и !! — ~р(г)) ~= а+Л Л Ч а+Л (10) Последнее уравнение относительно д является уравнением типа свертки и может быть решено с помощью преобразования Фурье.
Предложенный здесь метод решения уравнения (7) (такие уравнения называются уравнениями типа свертки на полуоси) принадлежит Н. Винеру. Покажем, как найти функции о~(х) и ол(х) с требуемыми свойствами. Обозначим з!в ПРОЦГССЫ С НЕЗАВИСПМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ !гл. щ Пусть +О !, ! ! = ° ! К -„' ( —.;, )" ] '*! о.!.! [, !! ! ' =-]-йи.;.Л --. [ +о Соотношение (10) в этом случае выполнено. Пусть ~ — „( ) гр (х), х(0, Н (х)= ~ ~" — '( — '„) 0„(0), >О. 1 и (1 1) (12) Тогда д! (Е) = 1+ ~~ —, ~~ е"" ЙН (х)~ = =]г [.Р! Ын'-"4~] А-! где Н!')(х)=Н (х), Н!А!(х) = ~ Н!А-п(х — д)йН (у). Очевидно, что функция о ! (х) = е (х) + ~ —, Н'А! (х) имеет ограниченную вариацию и о, (х) = о,(0) при х «О.
Ана- логично устанавливаем, что ьы=]" [.ы+Х вЂ” ',",нг!.)1. А-! где О, х~(0, ~~!~~ — ( — ) [О!„(А) — Ф„(0)], х > О, И ! Н!+И(х) =Н+(х), Н!А!(х) = ~ Н'А П(х — у) ЙН (у). Имеем !р" (г) = ~ е"" ЮР„(х), где ср„(х) — функция распределения т1! + ... + и„. склчкооеглзиып пгоцвсс заа Функция ))е оа(х) =е(х) + ~~ — „' Н(е) (х) (13) Переходя к преобразованию Фурье, находим '+ — — де (г) ~ е"'" еО) (Л, х). Учитывая, что о, (0)=о,(+ аа)= д,(0), —,'- ( ( —.;.И-.'- )-Х1( —,) ~ а=1 находим 0 Е (0) ! ч ) г а ~а1 е йд(Л, х) = — =ехр =Л а,(г) ~ 2 а (.а+Л) ~— л-~ +а --,'-~ К-'( —;,)'( ( вал~~.
(~-ж„~а-111. а-! +а Окончательно ""Ф~а. ~=~ р К вЂ” ( ',) )~'" — аю.(а~ аа а-1 а Используя представление (4), можем записать Р($(() <х)=е(х)+ ) — „, е "Ф„(х). (15) л 1 также имеет ограниченную вариацию и пе(х) = 0 при х ( О. Перейдем к определению функции п(Л, х). Из (6), (?) и (9) вытекает соотношение е(х) ~ Ио1(у)=~у(Л, х — у)Но (у). Поскольку при х ) 0 левая часть совпадает с л, то (13) а~ (О) эквивалентно равенству е (х) а, (О) — ~ д (Л, х — у) й~ (у). 340 ПРОПЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРЛ!ПЕИИЯМИ ,гл, ч! Заметим теперь, что Поэтому, обозначая Р!(х)=Р($(!) <х), будем иметь (в силу того, что ~ (е"" — 1) йе (х) = О) о -м г — ) (е ' — 1) йР»(х)й= о о ь.'"--~ (-,' !!!" -ои,Ы~.
ь а .(18) -Ыь! =~ $ е "' —,е»! $(е'»' — 1)й!й„(х) й= ь юь о 1 ( + ) ~ (е»» — 1) !1!„(х). ь-! О Следовательно, мы можем выразить правую часть (14) непо- средственно через распределение ~ (!). Теорема 4. Пусть Е(1) — обобщенный процесс Пуассона, Г, (х) = Р ($ (1) < х). Тогда для функции д(А, з) =1 1 е м+""йР(знрь(э) <х) й »~! имеет место представление сЬ, )= —,' Р ( — ',"~!'*' — ЧЫ,Ь)а~. <16! ь о Следствие. Для того чтобь! Р( ре(1)<+ )=1, г>о необходимо и достаточно, чтобья Ю ~ —,' Р(~(1) >О) й< (17) о Если это условие выполнено, то распределение величины 4+ — — зпрв(1) определяется характеристической функцией: с>о скьчкоозРАзнып пгопесс $21 341 Действительно А из теоремы 2 5 1 вытекает, что последняя вероятность равна 1 тогда и только тогда, когда — (1 — Ф„(0)) < ою.
Воспользовавшись соотношением (!5), убеждаемся, что Формула (18) может быть получена из (16) предельным пере- ходом, законность которого следует конечности меры на (О, оо), вытекающей из (!7). Пусть х~)0. Обозначим т" = 1п! [й З (1) > х), у, = ~ (т" + О) — й (тк); т" называется моментом первого перескока через уровень х, у„ — величиной первого перескока через уровень х. Если зпрз(з)~ х, считаем т'=+со; у„в этом случае не опредес< лено.
Найдем совместное распределение величин т' и у„. Обозначим со'(1, и, х) = Р (т ( 1, у„) сс). Очевидно, если с1с > х, т" =то У„=т1, — х. Если т1, з"х, то .ч тх — ь+т где т", у„— соответственно момент и величина перескока для процесса $с(с) =$(1+ т,) — З(тс). Используя независимость $,(1) от т, и т1с, полУчаем следУющее УРавнение: сУ(1, У, х) = Р(т, < 1) Р(т1с)»х+ и)+ с х + ~ ~ ае осМ(! — з, у, х — и)<Ж(и)йз.
(19) (гл. е! ПРОЦЕССЫ С ИЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРХЩЕИИЯМИ 342 Пусть п(А, у, х) = $ е-~к!1!!к'(1, у, х). о Применяя к (19) преобразование Лапласа, находим к п(Х, у, х)= + [1 — Ф(х+у)]+ — $ п(Л, у, х — и)а!Ф(и). (20) Это уравнение можно рассматривать при фиксированном у. Будем считать, что п(2„у, х) =0 для х ( О. Тогда его можно переписать так: е(х) — [1 — Ф(х+ у)! = =е(х) ~ п(Х, у, х — и) !4[е(и) — + Ф(и)~. (21) Это уравнение вида (7).
Поэтому для него справедливо соотношение (9): е (х) ~ е (х — и) + х [1 — Ф (х — и+ у)] й~! (и) = =~ п(А, у, х — и) !4о,(и). Умножая это соотношение на е Р" и интегрируя по х от 0 до оо, получаем ~ е (х — и) —" [1 — Ф (х — и + у)] е-Рк!(о (и) !2х о о = ~е-Р"Йо,(и) ~ п(Х, у, х) е-Рк 4(х. о о Из (12) вытекает, что ОЭ о!= ! — ~-'( — „',) ]*- "ко.о![, о о ! о Поэтому Ю О !к, к *)* "к -ы! К вЂ” (~) ] -"ко„! )[Х о к-! о О Ъ Х '] е-Рк ~ + [1 — Ф(х — и+ у)] о(о! (ц) !(х. о о скА'!кооБРАЗ!!ып пооцесс З4З Воспользуемся теперь тем обстоятельством, что преобразование Лапласа свертки двух функций есть произведение преобразо- наний Лапласа, и равенством ) ехр(~ — ( + ) )(е оо — 1)а!Ф„(и) [=Х ~е-~"Мд(Х, х), л ! о 1 о которое вытекает из (!4); находим ""'у'")="""~.(+ ) Р"'Г о Х ~ ~ [1 — Ф(х — г — и+ у)[ г(о! (и) гЦ(Х, г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
