И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 55
Текст из файла (страница 55)
о<«< о<)<л Умножая это соотношение на Л'", е'*А и суммируя по т и Ь от 1 до оо, получим а ил(Л, г)= Х Р(то=гп, уо=х+ Ь)Л"е'"+ «Ь и + 2' и„,(Л, г) Х Р(то — — п, уо=1)Л" о<)<л л ) 328 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ [Гл. ч! Умножим теперь это равенство на р" (~ р ~ < 1) и просуммируем по х от О до оо (при х=О вторая сумма в правой части пропадает). ТОГда получим ~ рхих(Л, г)= ~ р" ~, Р(та=лс, уо=х+)с)Л е"«+ х О х О т,«! + Х Р их(Л е) Х Р(то=с» уо=С) Л Р. (26) х О О,С ! В силу формулы (15) Х "' Лор'Р (т, = и, у, = С) = е,с ! =! — !( — с.— „2' Рсс„=!с! ~ сот! и=! «е ! (поскольку эта формула верна при р=е", она верна и при 1 р ~ ( 1).
Далее, ) ~ Р(то=лс, уо — — х+й)Л е'"рх= хот«! ~~', Л"Р(то=си уо=!) ~ е'*'р = т,с ! «О-х с «>с,х>о е'хс— — Л Р(та=си! Уо С) 1 — Ре " т,с ! !1 — К вЂ”, с, Рсс„=ес!')в х 1 «Э! Ле --О(с-с.— 2. Рс!.=е! Ое с)] е-! «~! (мы воспользовались формулой (27)).
Таким образом, из (26) получаем после несложных преобразований следующую формулу: Росс«(Л, г) = ,.(!- (сК вЂ” К Рсс.-ссс! -""с~). ОО! л" е-! СКА1!КООВРАЗНЫП ПРОЦЕСС й 2. Скачкообразный процесс с независимыми приращениями. Обобщенный процесс Пуассона Пусть К (!) (! ) 0) — стах астически непрерывный процесс с независимыми приращениями со значениями в Я . Такой про- цесс будем называть скачкообразным, если для каждого ( су- ществует конечное число точек 0 < з) < ...
< з„ < ! таких,что $(з) — постоянная величина на интервалах [О, з)), (з), зо), ... (з„,(). Будем считать, что процесс непрерывен справа, $(з) = $(з + 0). Из стохастической непрерывности с(з) выте- кает, что вероятность того, что в точке з $(з) имеет разрыв, равна 0 для всех з » О. Теор е м а 1. Для того чтобы сепарабельный стохастически непрерывный процесс с независимь)ми прираи1ениял)и бь)л скач- кообразным, необходимо и достаточно, чтобь) для всякого ! ) 0 1!гп ~ РЯ(1А) — $(ЕА 1)ФО) < оь, А„-~о А-) О=!о« ... 1„=1, Х„=)пах(!А.„— !А).
Доказательство. Пусть процесс является скачкообразным. Обозначим через ч(1) число скачков процесса З(!) на отрезке [О, 1). Очевидно, что т(1) — также стохастически непрерывный процесс (поскольку вероятность того, что 1 — точка разрыва т(1), равна 0 в силу совпадения точек разрывов о(1) и т(1)). Кроме того, т(!) — процесс с независимыми приращениями: т(1+ Ь) — т(1) — число точек разрыва 5(з) на [1, 1+ й) — не за- висит от поведения З(з) (а значит, и т(з)) на [О, ф Заметим, далее, что Р Й Ю вЂ” $ (!.— ) чь 0) < Р ( (г,) — (1,,) ~ О) (если В(гь) Ф э((д 1), то на отрезке [ЕА-ь !А) $(з) имеет хотя бы один разрыв).
Поэтому для доказательства необходимости усло- вия теоремы достаточно показать, что для всех г ) 0 !Пп ~ Р(т(1А) — т((А 1)ныл) < оо, А„-~о А-) 0=! « ... ! =г, Х„=птах(го+1 — 1А). Но о л и р [ — Е о М,) — )Ч-,) ~ о) [~ А 1 л :в Ц (1 — Р (т ()А) — т ((А 1) Ф 0)) А-1 о =-Ц Р(ч((А) — ю((А 1) =0) = Р (т(у) =-О).
А 1 ззо ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВНСИМЫМН ПРИРЛ1ЦЕЫИЯМИ 1гл. Р! То, что Р(т(1) = 0) ) О, вытекает из того, что т(з) равномерно стохастнчески непрерывна на (О, 1] и, значит, при некотором б)0 Р(т(з!) — т(зи) =0)~)! — е при !я! — зе]< б, но Р(т(!) =0) = Ц Р(т(зи) — т(зи-1) =0))(1 — е)", ь ! где 0 = з, ( г! « ...
гл = ( и зи — зи-! < б. Значит, л ~ Р(т((и) — т((а,)~0) < — 1п Р(т(Г)=0) < оо. А Необходимость условия теоремы доказана. Для доказательства достаточности введем величину т, = = 1п1[э: $(з) чь е(0)], т, — момент первого скачка (он может равняться + оо). В силу сепарабельности процесса он нс имеет разрывов второго рода (см, гл. 1!1, 5 4, теорема 3). Поэтому Р (т! ) 1) = 1!И! Р й ((1) = Ь ((о» Ь ((э) = ~ ((и» - В ((и) = э (Го))~ О = 1, < 1! < ...
( (л = (, !!„= !пах ((,+! — (и), л Р(т, ) () = Ип! Ц(1 — РЯ((и) — ~((ь-1) ФО]). ь„.+о и-! Из стохастнческой непрерывности процесса $(1) вытекает, что !пах Р(а(ги+!) — $(!и) Ф 0) — »0 при й„— ио. Поэтому П (1 — Р ($ (Гье !) — $ (1ь) чь 0)) а-1 и --!( — Х Р!!!И1-!!И-,!И!1Х и ! Х(1+ 0(птах Р (~((и) — ~((и-!) Ф 0)) и и( — й Р!1Ф.! — !!Е,,1, О!1Р ) о. Ф Оценим теперь вероятность события: $(з) на (О, (] имеет и скачков. Обозначим вероятность этого события р„(1), Тогда (точно так, как при оценке ри(!)) имеем р,(~)= и Х ЦРф((,,) — й(г...);во) Х Х П Рй(г,) — ~((,,) =о], ь,~и О = (и < 1! ( ...
< !„= !. СКАЧКООБРАЗПЪПЧ ПРОЦЕСС Значит, гр р,(/)= 11ш ПР(5(/~) — $(/~-~)=0)Х А„-ре А=! г Х Е ПР(Ц/,,) — ~(/,/ ) ~0) ! ''' г (мы воспользовались тем, что Р ($(/А) — $(/А !) = 0) -+ 1 равно- мерно по // при /„-РО), Р В ПРи(/) — В(/.-)= )= (/)=Р( >/)> . А„+О А-! Далее, Е П [(/,)- с«,-) !<!!«...! <л /-! г р г — К |!|А| — !||.,|~Р!) .Р ' А-! + О (шах Р ($ (//) — $ (//,) ~ 0)) Х / рр ° г-1 Х~~ Ра(/,) -~(/,,) ~ 0)) А-! Выше было доказано, что р |О= р[ — ! ь Рач ! — !||-,|~р!). А„-рз А=! Если обозначить А. (/) = — 1п р, (/), то (/) — — е-А !/! Лг (/) г! н ~ р,(/) = ~~' — е А!'!=1. г О г О Это и есть вероятность того, что процесс а(з) имеет на отрезке [О,/) конечное число скачков.
И Следствие. Если $(з) — скачкообразный процесс с независимыми приращениял/и, то т(/) — число скачков процесса а(з) на [О, /) — является стохастически непрерывным пуассоновским 332 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ (Гл. Р( процессол( с независимыми приращениями: Е-А (О хл (0 ы где Х(1) = ЬЬ()) — непрерывная функция. Пусть т) — величина, введенная при доказательстве теоремы 1. Введем совместное распределение величин т( и $(т()— — в (О): (1) ((Кз, А) = — Р (т) ен ((з, $ (т() — $ (О) ~ А). Пусть, далее, п(з, А) — условное распределение величины е(т()— — $(0) при условии, что т) = з: и(з, А) Р (т, ~ (Ь) = Р (т, ее (а, )1), $ (т() — ~ (О) ~ А) = а<а<В = Р($(и) =$(0), и<а, ь(т") — $(а) ен А, т" < р). Здесь т" = )п1(з ) ви $(з) — К(а) ~ О).
Поскольку Р(т( < з) = = 1 — ехр( — Х(з)), то последнее равенство можно переписать так: п(з, А)е-А(')й (з)=е-'виР(й(т') — й(а) ыА, с'<р), а<я<В откуда Р(Р(те) Р(а)еи А т < а)= ~ п(з А)е-Р (В)-Аео)(р„(з) а<8<В Последняя формула позволяет найти характеристическую функцию процесса с независимыми приращениями, Заметим, что при ген Я" 1())е( (е Ф(В)-4(В)) — М)(,, + ( я>В) + Ме'" ((В) 1' "Х(т(В) „„, 0+0(Р(т(р) — т(а) > 1)). Но при условии т(р) — т(а) =1 имеем В(р) — В(а) =$(т") — й(а) и т' < 0.
Поэтому ВАЕ( (* ( (В) Е (а)) МХ(.>В)+Ме ' %(Р(В)- ()-и= — 1+ М~с((. В( )-~ео) 1~Х(, + 0(Р(т(р) — т(а) > 1))=1+ ~ ~(е'' ') — 1)п(з, ((х))~ а<а<В ')('е-('(')-'м(0„(з)+ 0([д(а) - х(а))л) = = ехр( ~ ~ (е' (™) — 1) п(з ((х) (0 (з)+ 0 ((Х(р) — А(а))з)) (. В<В<в СКАЧКООВРАЗНЫИ ПРОЦЕСС ззз Поэтому при и=1ь < 1, « ... 1„=г' М ехр (1(г, $(1) — $(и))) = л =ехр ~~ ~ ~(е'м м — 1)п(з, Ых)й (з)+ А-р ~А р<с<сь рр .ро(г ррррр — рр.,т)~.
А-р Переходя к пределу при птах(1А — 1А р) — р О, получаем следующее утверждение. Теорема 2. Если З(1) — скачкообразный процесс с независимьчми приращениями, то его приращение $(1) — З(и) (и (1) имеет характеристическую функцию: с м.*риь, р(р) — рьян)=-р 1 (р.« — р>,срлррь)~. щ и грРР где е-мр) = Р(тр ) з) — распределение момента первого скачка, а п,(А) — условное распределение первого скачка при условии, что он произошел е момент з.
3 а м е ч а и и е, Из (1) вытекает, что характеристическая функция З(р) — $(0) имеет вид .*р((ь«р, ) — цп,и р), (2) то к имеет такое же распределение, как ~„ПА, где т1А иезависимы р и имеют характеристическую функцию ф(г), а т имеет распределение Пуассона с параметром П(Я ). Значит, Р (а Ф 0) «- Р (т Ф О) ( 1 — е-" (л ). ь где П,(А) = ~ п,(А)Ж~(з) — конечная мера иа Я . Покажем, что о это условие и достаточно для того, чтобы процесс был скачко- образным. Действительно, если величина $ имеет безгранично делимое распределение с характеристической функцией е-п(и )ехр(П(Я ) ~ е'и ' ( 1 = к е п(и )(ф(х))", ь-О ф (г) = $ е' Рь ">П (ах), 334 ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМ!!МИ ПРИРАЩЕНИЯМИ 1гл.
чс Поэтому, если $(1) — $(0) имеет характеристическую функцию (2), то Р а(1,) — ~(г.,) ~ 0) ~~ » (1 — ехр ( — Псл (Я") + Псл, (Я~)) » ~Пс, (Ят) — Пс,, (Ят) Поэтому выполнено условие теоремы 1. Рассмотрим теперь однородный скачкообразный процесс 3(() (см.
гл. 1, $ 3). Очевидно, что в этом случае и процесс ч(() будет однородным. Поэтому функция Х(1) имеет вид И, где Х— некоторая постоянная. Далее, из (1) вытекает, что М ехр(с(г, ь(1+ Ь) — $(с))) = С+и =-р)л 1 (р«р — рл,рср)ак)- с ят рр!л( (рр *' — рр,„,!с*!с, ), Р ят и последнее выражение не должно зависеть от Е Отсюда вытекает, что и п,(А) от з не зависит. Таким образом, в этом случае величины $(тс) — В(0) и т, независимы. Те о р ем а 3. Если $(1) ($(0) = 0) — скачкообразный однородный процесс с незаеисил!Рыис приращениями, то процесс эс(Г) = э(л+ тр) — $(тс) также является однородным процессом с незаеисимылси приращениями, не заеисящилс от тл и 111 = а(т!), Доказательство.
Пусть 0 з, ( ... (зд, г„гь ..., гл Ен ЕЕ Я . Тогда Ме-А" +с !" чсехр(с 2,(гс, $(зс+ т,) — е(тр))) = м.р( — лр р. с*„р,'»л Хр;,!с;л "'1 — !ь'"'р!), Лмо 1 1 (3) где т!"с=пЬ, если $((Ь) =0 для 1=1, ..., и — 1, $(пЬ) ~0. Далее, м р(-л, ~рсе„л! !ллиус., !с.,л.»р-сс. »)- с — Ем..р(-л л-лл1.„1!.лс!.Р м 1 .р л Е 1., ! с*, л.л!- ! ртр!) лр, С 1 скхчкоовтхзныи птоцесс ззэ = М ехр ~ !' ~ (г!, $ (з~)) ~ ~ М ехр ( — Хай+ !. ~-! э ч ! + !(ть $(пй))) Х(,<м „ь) = -и -"" ~ "вм.,р( КЬ,, !!!!). /-! Поэтому, переходя в правой части (3) к пределу, получим и.- "'" з *!( Е!ь!! -:- )-!! !!)- !=! =и,-«.+«, .~м.,р[! К!., !ь!!). ° !. Следствие. ЛУсть т1!, т[м ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
