И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Кроме того, нз физических соображепяй очевидно, что он будет непрерывным и однородным по времени, если физическое состояние жидкости не меняется со временем. Но всякий непрерывный однородный процесс с независимыми приращениями будет гауссовым. Будем считать, что в начальный момент времени положение частицы совпадало с началом координат, т. е. $(0) = О.
Пусть й4~(О = = а(1), 0 Д(1), г) = (Вг, г), а(1) — вектор из Я',  — симметричный оператор в Яа. В случае однородной жидкости при отсутствии течений процесс должен быть изотропным (поскольку распределение проекций скорости молекулы жидкости на произвольное направление не зависит от этого направления), т. е. (а, г) и (Вг, з) при )з~ = 1 не должны зависеть от г. Это возможно в том случае, когда (а, г) = О, (Вг, г) = с(г, г). Так, используя самые общие соображения, мы пришли к определенному выше процессу броуновского движения, рассматривая физическое явление, носящее то же название. Изучим подробнее одномерный вннеровский процесс.
Пусть а Ф 0 — некоторое число. Обозначим через т, такой момент времени, что в(1)/а ~ 1 при 1 ~ т„а при любом Ь) 0 зцр — ) 1. Если ш(Г)/а ~ 1 для всех Г, то полаю (б -ФМ«+4 гаем т, = +о». т„будем называть моментом первого пересечения процессом ж (1) уровня а. Пусть теперь т', — такой момент времени, что ш(1)(а ( 1 при 1< т,', ш(т',) =-а. т,' будем называть моментом первого достижения процессом ю(Г) уровня а.
Очевидно, что т',<т,. Оказывается справедлива Лемма 1. Р(т',=*т,)=1. Доказательство. Ввиду симметрии процесса гэ(1) ( — в(1) имевт такие же распределения) считаем, что а ~ О. Событие 350 пооцассы с назлвисимымп пшсвлщаниями 1гл, тс (т, <, т,) влечет хотя бы одно нз событий ( шах ю(з)=а), г=1,2, ..., т=!,2, ..., г<.тГ. о<в<— О~ Поэтому для доказательства леммы достаточно показать, что прн а>0 Р( гпах нс(з) =а) =О, о ".я<с каково бы ни было 1; легко вндеть, что при гс (1 Р ( шах ис (з) = а) ( Р ( шах ш (з) = а) + о<с<с о-с с, а + ~ Р(в(1,) си с(х) Р( гпах в(з) — ю(1с) =а — х).
с,<с<с Но Р( шах ис(з) — ы(сс)=з) может быть отлично от нуля не с,-с<с более чем для счетного числа различных а, т. е. Р ( шах нс(в)— с,<я<с — в(1с) = а — х) = 0 почти для всех (по мере Лебега) х. Значит, а Р (ю (1с) еи ах) Р ( шах ас (з) — и (гс) = а — х) = с,<я а х' = ~ Р( гпах нс(з) — пс(1с) =а — х) в " с(х=О, ч2псс о с,<я<с так как подынтегральная функция равна нулю почти вс1оду. Таким образом, Р ( гпах ис(з) = а) ( Р( шах ю(в) = а), о<я<с о<я*<с, т. е. Р( шах ю(з)=а) не убывает при г,)0, и в то же время, о 5'с ввиду непрерывности ш(с), Р( гпах ш(з) > е)-+О при а > О, о<с<с г-с О.
Поэтому Р( гпах ш(з) =а)<!1гпР шах пс(з) > — ~=0. ° о<я<с с, Эо ~о<с<чс Эта лемма позволяет нам в дальнейшем не различать время первого достижения и время первого пересечения уровня а. Мы будем и то н другое обозначать т,. Для изучения некоторых характеристик процесса в(г) будет использоваться следующая Л е м м а 2. Пусть пс (1) — процесс броуновского движения, о -ь 0 и т„— лсомент первого пересечения процессом пс(1) няпггсоывныя пгопессы, виняговскип пгопвсс ЗК1 уровня а.
Опредглим процесс в((1) соотношениями: в((1) = = в (1) при 1 <., т„в, (1) = 2а — в (1) при 1 ) т,. Тогда процесс в,(1) также будет процессом броуновского движения. Доказательство. Положим в„„= в ~ — ) — в ~ — ), в(ю(1) = 'хп) ~ и = Х в„ы в( (1)= х х( — 1)'оо в,м где г„о= О, если зпр ( о<в о<о( (<ь-( (ю ( ( ) (1, и е„о = 1, если зцр " > 1. Заметим, что величины (<о-( ( — 1)' ьв„ь при й =1, 2, ... независимы между собой и одинаково распределены, причем распределения нх совпадают с распределениями величин в„м Это вытекает из того, что в„о и — в„ь одинаково распределены, а в„о не зависит от г м в„, ...
..., в„(, (. Следовательно, в„,( — 1)'"о имеют нормальное распределение со средним О и дисперсией 1(и. Поэтому конечномерные распределения процессов в(ю(1) н в("'(1) совпадают. доказательство леммы получается, если заметить, что в "'(1) о в (1), в("'(1)-~в((1) с вероятностью 1 ввиду непрерывности процесса броуновского движения. Используем доказанную лемму для нахождения распределения таких характеристик процесса, как (пах в(1), ппп в(1), о<(<т о<(<т го ах ] в (1) ]. о<(<т Теорема 2.
При а) О Р ( шах в (1) > а, в (Т) гн [с, а(] ) = о«<т ача х' (оа — ы ча г где а '/ о =и(ах [а, Ь]. Доказательство, Воспользуемся соотношением Р ( шах в (1) > а, в (Т) я [с, с(] ) = Р (в (Т) ен [с, 4 П (а, оо)) + о<с<т + Р ( (пах в (1) > а, в (Т) гн [с, (т] Д ( — оо, а] ) о« -т (справедливость его вытекает из того, что событие (в(Т) ен ен [с, (1] П (а, оо) ) влечет событие ( шах в (1) > а)). Найдем тео<(<т перь вероятность Р ( (пах в (1) ) а, в (Т) ~ [с, ((] П ( — оо, а]). о<(<т Зос пгоцессы с нвзхзисимыми поигхщяниями )гл, т) Пусть н))(1) — процесс, определенный так, как в лемме 2. Тогда событие ( шах н)(1) > а, ю(Т) ~[с, а)]П( — оо, а]) совпадает о~«т с событием ( гпах ш)(1)>а, ш)(Т)он[2а — )с, 2а — с]П[а, оо)).
ося) сят Но событие (ш,(Т) ~ [2а — с(, 2а — с] П [а, со)) влечет событие ( )пах в) (т)>а), поэтому о<;с<т ( шах ш) (1) > а, в) (Т) ен [2 а — с), 2а — с] П [а, со)) = о<)<т =(ш) (Т) ~ [2а — г(, 2а — с] П [а, оо)) Значит, на основании леммы 2 Р( шах в(1) > а, н)(Т) о— : [с, с(] []( — со, а] ) = о<)~т аа — с) Ма х' — е "' дх. (10) 4 2ит а -ока Кроме того, ЛЧа Р (и) (Т) ея [с, д] Д [а, оо)) = 1 — е -'' с(х. Из (10) н (1!) и вытекает доказательство теоремы. [я( Следствие.
При а > 0 (11) Р( шах и)(1) > а) == 1 е " дх. о<) <т а]ьт ~ а Последняя формула вытекает из теоремы 2, если [с,д]= = ( — со, оо). Теорем а 3. Пусть а, (0: а, и [с,)1] с:[а„а,]. Тогда Р ( ппп и) (1) > а„шах ы (1) ( ам и) (Т) ~ [с, 4 ) = о~)<т о<) <т л = ~]ехр~ — т (х+ 2)г(г~ — а)))'[— о — с — ехр ( — — (х — 2а~+ 2Й(ао — а)))'~|с(х. (12) 2т Доказательство.
Обозначим через Чь) событие, заключающееся в том, что процесс и)()) па отрезке [О, Т] пересечет уровень а; раньше, чем уровень а; (1 Ф 1, ),1 = 1, 2), и затем не менее )г раз пресечет отрезок [а), ао] (считается, что функция х(1) е раз пересекает отрезок [а),ат], если функция зяп(х(1) — а))+' +здп(х(1) — аг) /г раз меняет знак), и н)(Т)ен[с,д]. Искомая б з1 нвпгвгывныв пвоцвссьь винвговскнн пгоцвсс 353 вероятность может быть выражена следующим образом: Р(ш(Т) [с, 1[) — Р(3(Л вЂ” Р(Язгз).
Для подсчета Р (ЯУ~) найдем вероятности Р (Я~го) + Р (Яз'.[.,) = Р (%1з ~ [) ЯД <) (1Ф 1, 1, 1' = 1, 2). Событие Яз ()з(з+о как легко видеть, заключается в том, что «з процесс ш(1) до момента Т пересечет уровень а, (не обязательно раньше, чем а;), затем не менее 1з раз пересечет отрезок [аь аз) н прн 1= Т попадет в отрезок [с, 4. Пусть т1 — момент первого пересечения уровня аь тг — первый после тз момент пересечения аь т, — первый после тг момент пересечения аз н т. д, Положим юз(1) = ю(1) при 1 ть ш,(1) = 2зс(тз) — в(1) при 1~ ть шг(1) = ш,(1) при 1(тг, шг(1) = 2гс(тг) — зс1(1) при 1) гг, зсз(1) = зсг(1) при 1( тз, газ(1) = 2шг(тз) — юг(1) нри 1: тз и т. д.
Заметим, что процессы ю~(1) будут процессами броуновского движения, так как т, является моментом первого пересечения процессом шг з(1) уровня а; + (1 — 1) (а; — а~). Если происходит событие Яз" [) Яз(«~ то процесс вз+, (1) прн 1 < Т поочередно пересекает уровни ап а, + (а, — аз), ..., а; + й (а, — а~) и в момент Т попадает в отрезок [с„, с(з), где с, = с+ (й+ 1)(а, — аг), ( с(з =з(+(й+ 1)(а; — аз) ~ сз = 2а, — з(+ й(а, — аз), ) 2а + й(а ) 1 пРи четном )з.
Наоборот, если нзззз(1) удовлетворяет перечисленным условиям, то тогда происходит событие з(зп() Йз(., Так как шз+з(1) — непрерывный процесс, обращающийся в нуль при 1= О, то для того, чтобы попасть в промежуток [сы с(з), шз+з(1) должен последовательно пересечь уровни а,+1(а; — а;), 1=0, ..., й. Поэтому Р(Я)п() з(з.[.1) = Р(шз+з(Т) ен [с, з( [) = Р(ш(Т) ен [с, з(з[). Из непрерывности процесса ш(1) вытекает, что с вероятностью 1 он пересекает отрезок [аь аз) конечное число раз, и, следовательно, Р(з1(зп)-зО прн )з-+со. Переходя к пределу прн и-з оз пгоциссы с независимыми псина(ивгн(ямн (гл.
(о 364 в соотношении Р (Л2'))+ Р (йГ)) =( — 1)"" (.Р(~1'" ) + Р(а'" д1+ + Е( — 1)'0 (ало)+Р(ап')+РФ!)+Р(ай)), получим Р( 4о'1+Р(2(о')= Х ( — 1)" Х (Р(ЯЛ+Р(аь" ))= Гса -с+22(а -а~) = ехр( — Я дх+ 2- )а,-с+22(а -ао 2а.-с-222 (ас-а,) В-не+И(ас-аа + ~ ехр~ — 2г ~а(х — ~ ехр( — —,гг ~а(х— 2ас-Л4-22 (ас-а ) с-2(2+и (а,-ао с)+ 2 (2.(- ) ] (ас - а 1) -(- )"1 с+2(лео(ас-ав Поэтому искомая вероятность равна ГЕ+22(а~-а~) = ехр( — —,, ~с1х— А — сс сс-22 (а,-а,) )ас-с+22(а -ае — "(- )'"1 2а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
