И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Очевидно, наконец, что ~(!) является неубывающей функцией. Из сказанного выше вытекает, что всегда ь(!+ О)— — ~(С вЂ” О) = !К((+ О) — К(! — О) [. Поэтому, если а!к~(!) представляет собой сумму всех скачков ~(!), превосходящих е и происходящих на [О, !), то ~~к)(!) = ~ (х!т(г, о(х).
~к!>к Из монотонности процесса ь(!) вытекает, что ь (!) = у (!) + 1!ш ~~м (Е) = у (!) +! пп $ ! х!э (г, дх) о-»о 6.+о !к~>е Зтл ПРОПЕССЫ С ПСЗ1ЬЧ!СПМЬПП1 ПРПР1П1ГППЯМП ~Г.П (поскольку ь(0) = 0), где у(1) — вариация непрерывной состав- ляющей процесса $(Г). Кроме того, [ х ] П (1, с(х) = М [Ь (() — С«' (,')] < оо, 1х1<1 Наконец, заметим, что если Со(1) — непрерывная составля1ощая процесса в(1), то ]50(Г) — йо(0) [==чагВ,(1) =у(~) Ко т1 и, значит, [50(~) — ~о(0), а) [<у(1)]а]. Но нормально распределенная величина с положительной дис- персией не может быть с вероятностью 1 ограничена какой бы то ни было постоянной (не зависящей от случая).
Следователь- но, при любом х 0 (х, ао(() — оо(0) ) = О, т. е. В(с) = О. Таким образом, у(1) является вариацией функции а (1) = ~ хП (1, йх). 0<1х1<1 Так как чаг ~ хП(1, с(х)< ~ ]х]П(Т, йх) конечна, Ок т1 0 < !х1<1 о<1х1<1 то и вага(1) < оо. Й ~о, т! 3 а м е ч а н н е.
Из хода доказательства необходимости выте- кает следующее утверждение: если процесс Ь(1) определяется соотношениех1 $(1)=а(0)+а,(с)+ ~ хт(г', 1(х), 1к1>0 то ь(1)=чаг$(з)=чага,(е)+ ~ ]х]ч(1, с(х) !0,П 1о. 11 )к1>0 и характеристическая функция величины Ь(1) дается форлулой Ме1хСп1 =ехр~йтага,(е)+ ~ (е1х1х! — 1)П(с, ах)~. Го. ц 1х1>о Рассмотрим теперь однородный процесс со значениями в Я1. Нас будет интересовать поведение $(1) при 1',[0 и 1-«оо. Функцию д(1), непрерывную и монотонно возрастающу1о при 1) О, будем называть функцией регулярного роста, если существуют такие функции й1(Х) и йо(к), что й1(к)-«оо при Л-«оо, Йо(Х) -«1 при Х-«1 и й,®д(1) <д(Л() <йо(Х)д(1).
свопств» ВыБОРОчных Фунюн!п Функция регулярного роста д(1) называется верхней функцией для процесса ~(1) при 1Т оо (1~ О), если Р (!!го —,> 1~=! (Р (!!гп — > 1~ = 1), и нижней функцией при 1) со (1 ) О), если Р ~1!гп — "', < 1~=1 (Р ~1!т — ' ( 1~ = 1). Р( ьнр ((1)) с)(2РД(Т)) с). о«с ..т (3) Доказательство.
ПУсть слУчайпые вели.ины Бь $м ...,,"„независимы и симметрично распределены, 5» = Б1 + ... + Б». Тогда Р (Бир 5, > с) (2Р (5„> с). (й) » Действительно, зак как 2Р(5 — 5» = О):= 1, то Р(зир5» > с1 —— ~ Р( Бнр 5;(с, 5» > с) < » ;..-.» . 11 ( ~ Р( Бцр 5;(с, 5» > с)2Р(5„— 5»~)0) = »-«' «»-.: л =2 ~ Р( зцр 5;(с, 5» > с, 5„— 5»)0). »-1 ~:.
» — ' События ( анр 5; (с, 5, > с, 5„— 5» ) О) несовместимы, и О:» — ! каждое из них Влечет событие (5„> с). Поэтому Л 2Р(5„> с)~>2 ~~ Р( БнР 5~<с, 5»> с, 5в — 5» и0)~> ;«»-1 =в Р (Бир5» ) с) В первую очередь рассмотрим верхние и нижние функции для симметричных однородных процсссов с независимыми приращениями, Затем будут рассмотрены верхние и нижние функции для ($(1) ~, где $(1) уже пе обязательно симметричный процесс. Процесс ь(1) называется симметричным, если процессы В(1) и — К(1) имеют одинаковые копечномерные распределения.
Нам потребуется следующая Л е и м а 1. Если $(1) — сииметричный сепарабельный стохастически непрерывный процесс с независимыми приращениялги, то 37а ПРОПЕССЫ С ПЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАШЕППЯМИ [тл Р! Формула (4) установлена. Применим теперь формулу (4) к ве- личинам ~,=~Ят) — д( — '' т), ~,=-к( — „). знр Р ( «„) > с ~ «~ 2Р (в (Т) > с ~ . Тогда Переходя к пределу при и-ь со и учитывая, что $(!) с вероят- ностью 1 пе имеет разрывов второго рода, так что Р(!пп знр ~ ( — ) = зпр $(!)~ =1, -а [<«<а а а<[аст Р(АА)(2РЦ(а«) > д(а«+!)). Но при ! еп[а«„а"+') будет д(!) С д(а«+!), 2Р($(!) — ~(аа) =» ) О) > 1, поэтому Р(АА) ~4Р(ь(а) > д(!))Р(К(!) — к(а)>0)~(4Р(~(!) > а(!)). Следовательно, аь !.! а«+' г с — Р (АА) й1(4 ) — Р (Р (!) > в (!)) й! а« аь (Аа)~ — [па ~ ! Р($(!) >д(!))й!.
А-! Из леммы Бореля — Кантелли следует, что с вероятностью 1 происходит лишь конечное число событий Аы т. е., начиная с некоторого (вообще говоря, случайного) номера, события АА не мы получаем (3). ® Теорема 3. !Треть $(!) — симметричныи однородный сепа'рабельный стохастически непрерывный процесс с независимыми приращениями, а д(!) — функция регулярного роста, для которой [ Р Ц (!) > й ([)) й! ( ! Тогда для л[обого Л > 1 функция Лд(!) будет верхней функцией для процесса е(!) при [-Р со.
Доказательство. Пусть а ) 1. Обозначим через АА событие, заключающееся в том, что знр 5([) > д(аа+!). Тогда на осноО<[<а" ванин леммы 1 свонства вывогочных еянкцпи зтт происходят. Значит, Р( 1пп +, зцр а(!)<1~=1. г ь и (а'+'),ь-1~1< аь При 1ен [а~-1, аь! $0! 1 ь (,1) (,! <~ ь ( 1) (,ь- 1) з"р 5 (1) < ( 1, 1) зп р $ (!). а~ ~1~а а~ '<1~а Поэтому Лд(!) при любом а > 1 и Л > ят(ат) будет верхней функцией для а(!). И Очевидно, что утверждение теоремы справедливо и для неоднородного процесса в((), так как при доказательстве теоремы однородность не использовалась. Теорема 4.
Пусть "„(!) — симметричный однородный процесс с независимыми приращениями, а д(!) — функция регулярного роста, удовлетворяющая условшо для всех а > 1 ряд ~„Р (К (аь) > д (аь)) расходится. Тогда Лу (!) будет нижней 1-1 функцией для процесса Е(!) для л1обого Л~(0, 1) при 1-ьоо. Доказательство. Рассмотрим два случая. 1) Пусть !цп Р (! $ (!) ! < д (!) ) = 0 1 Тогда найдется такая последовательность !ь — аоо, что Р (! аь (!ь) ! < а (!1)) < 2 Следовательно, в силу леммы Бореля — Кантелли Но тогда, каково бы ни было Л ~(0, 1), 2) Пусть 11 гп Р (! $ (1) < у(1)) > б > О. Тогда для всех достаточно больших 1 Р (! ~ (!) ! < а (!)) > б. Рассмотрим независимые события Вь — — (ьь (а'+1) — Ь (аь) > д (аь+') — У (а")), 378 ПРОПГГСЫ С НЕЗАВПЛ1МЫМП ПРПРА1ПГПИЯ»1И 1гл 11 где а > 1.
Тогда а(а») Р(В»)) ~ Р(в(а»+') — г) д(а»+ ) — д(а»)) РД(а») ен !4г)) -«(а») а(а») ) Р ($ (а»+ !) ) и (а»э!)) ~ Р (я (а») ян а!г) = -к(а ) =Р(в(а»+) > д(а"+')) Р(($(а»)((а(а»))) ) Р («(а»Р!) ) д (а»" !)) б для достаточно больших й, Следовательно„ряд ~ Р (В») расходится, и поэтому ва ос»-! новании леммы Бореля — Кантелли с вероятностью 1 произойдет бесконечно много событий Вга Заметим, что событие В» влечет одно из событий ( — $(а') ) й(а»)), (~(а»Р!) > д(а»Р!) — 2д(а')). Поэтому с вероятностью 1 происходит бесконечно много событий Ц к(а») ( > д(а') — 2д(а» ')). Выбирая а так, чтобы Н(а») — 2!7(а» ') = д(а») [1 — » 1)~ 28(а~ !) 1 д(а ) ))д(а")(1 — ~ > Хд(а ) (О ().
(1) (возможность такого выбора а обеспечивается регулярностью роста д(()), убеждаемся, что и в этом случае выполнено (5). Введем события Тогда из (5) вытекает, что Р(С 0 Р) = 1. Из симметрии процесса $(() заключаем, что Р(С) = Р(Р). Наконец, из «закона нуля и единицы» (теорема 7 8 4 гл. П) следует, что Р(С) и Р(Р) могут равняться лишь нулю или единице. Значит, Р(С) =— = Р(Р) = 1, так как в противном случае Р(С) = О, а значит, и Р(С () Р) = О, что противоречат (5).
1 3 ам еч а н не 1. Не меняя доказательства теорем 3 и 4, беря лишь а ( 1, убеждаемся в справедливости следующих утверждений; СВОТ5СТВА ВЫБОРОЧНЫХ ФУНКПНИ е 51 зтв пусть тр(!) — функция регулярного роста; а) если З(8) — симметричный сепарабгльный однородный стохастичгски непрерывный процесс с нгзависимь5ми приращениями, Ври(!)>Ф(!и <-, ь то при Л > 1 функция Лч(!) будет верхней для процесса Ц(!) при 1~0, т, г, б) если 2(1) — однородный симметричный процесс с независимыми приращениялш, для которого ряд г„Р($(аь) > 52(а )) ь ! расходится при л>обом а < 1, то при Л < 1 функция Л~2(!) будет нижней для С(!) при т) О, т. е.
Применим полученные результаты к процессу броуновского движения. Этот процесс является симметричным. Используя оценки = ) г ми с(и< — г! — е "неба==в "и (г > О) е = ) г ""йи> = ) г ""с(и>=е '+'И" (г > О) убеждаемся в справедливости неравенства м /т =ехр!1 — ~=+ 1) . — ~ < Р (ю(!) > г) < ~/ — — е Покажем, что (1+в).ЛУ2!!п1п! и (1 — е)~/2!(п!п1 при любом е ен(0, 1) будут соответственно верхней и нижней функциями.
Действительно, Р(5в (!) > (1 + е) ут2!! и 1п ! ) < ! ( (1+в!.2!В !е Т ~ 0((1П!)-Н+еи) 1/2п(!+ е!'2 !и 1п Т ( 2 380 ПРОЦГССЫ С ННЗЛВПСПМЫМИ ПРНРЛП1ГННЯМИ [гл. Р> и> а интеграл ! „„, Нри с) 1 сходится. С другой стороны, Р (ш (а ) > (1 — в) ~/2а~! и !п а» ~ ) 1 1 » /, =ехр~ — — ((! — е) 2!п!па + 1/ ~= — >и = = ехр ! — (1 — е)» ! и ! п ໠— (1 — е) л/2 1п! п и" ) ) Л/Ъ л/ - нг ) (!па") "= — — ', »« ' где с, — некоторая постоянная, если только а ) (1 — г)' + (1 — е)» >'— Очевидно, что для достаточно больших й можно взять а (1.
Следовательно, ряд ~,Р (ш (а») > (1 — в) ~/2а»1п1п а» ) расхо- дится. Таким образом, доказана Теорема 5. Если в(1) — сепарабельный процесс броунов- ского два>кения, то Используя замечание 1, можно установить, что справедлива Теорема 6, Если ш(1) — сепарабельный процесс бройнов- ского движения, то Р ) 1нп —. =! =1. > .+ 0 21!и !ив 1 Теоремы 5 и 6 пазынают «законе»и повторного логарифмах При изучении верхних и нижних функций для ~8(1) !, где ~(1) — процесс с независимыми приращениями, используются не- которые вспомогательные предло>кения.
Лемма 2. Пусть 8>...,, а„— независимые с:гйчайные вели- чины, о» вЂ” — а>+ ... + $» и при некоторых а < 1 и с ) О Р(!о„— 5»! > с)(а, юг=1,2, ..., и. Тогда при а > О Р (81Ч>!5»!) а+с)» (1 — а Р(!Е"!>а)' Доказательство. Имеем Р (О К знр!Е> ! -=а+ с) П(1Е»! > а+с)П » >~»-! П (! 3» — Е» ! <» с)) ) (» Р (! Е„! > а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
