И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 60
Текст из файла (страница 60)
= =(г1'1, гй10)р,'А,, 1=1, ..., йГ, что А' являются суммами Л", При этом множества б~ возможно подобрать так, чтобы при различных ! как отрезки Ра1, 1Я, так и множества А, либо не пересекались, либо совпадали. В этом случае независимость т'(б)) является следствием независимости т(1,А;) при различ- ных А~ и независимости приращений т((,А;). Из независимости т*(Л*,) вытекает независимость ъ'(А)). Эти величины имеют распределение Пуассона, как суммы независимых пуассонов- ских величин. Для доказательства остается заметить, что о (дл) = юй. Обозначим через $,(!) процесс, полученный из $(1) после вы- брасывания скачков, превосходящих по абсолютной величине е: $,(г) = з(г) — 6(г, Х,), Процесс 6, (1) будет стохастически непре- рывным процессом с независимыми приращениями, скачки ко- торого не превосходят е. Можно ожидать, что при е-й0 $,(1) будет сходиться к некоторому непрерывному процессу с пеза- висимымн приращениями.
Это оказывается верным, если из ~,(1) вычитать специально подобранные непрерывные неслучай- ные функции. Для доказательства этого факта потребуется сле- дующая Лемма. Пусть Е,(0) =0; тогда М ! 6,(1) 1й < со, Доказательство. Пусть 0 = Гль < !л, « ...
1лл = 1 и !!гп птах(1лй — !л,й,)=0. Положим $„й =ййзй(л,(глй) — ай(1л й,)), л.+ й где фл(х)=х при ~ х!(а, йК,(х) =0 при ~ х ~ > а. Легко видеть, что с вероятностью 1 л 5,(!)= 1нп 2„$„й. (3) Заметим, что все слагаемые в этой сумме не превосходят по аб- солютной величине 2е. Обозначим (хь ..., х ) ортонормированл ный базис в Х. Если бы 2. 0(з„й, х,) была неограничена при й| некотором й то можно было бы выбрать такую последовательл ность а, чтобы 2 0(1„й, х,)- со.
В таком случае величины й-~ (1 й — М$ й х1) Члй л 1 0($л, х,) удовлетворялн бы условиям центральной предельной теоре- мы, Тогда сумма 2, т1„й имела бы нормальное предельное й ! 362 пгопессы с нвзйш!с!!мыми гч пгмпгппямп ~гл. гл распределение, так что для любого я г и / л й Р(е й,,! < — ~! е !!й„й;! ! х !!4!.,.;!)= л.+ г — '! е ""'-' г(и. ~/зп -! Последние соотношения противоречат ограниченности по вероят!! ности ~, ('„й, х!), которая вытекасг пз соотношения (3). Таким й-! л образом, ~„0ф„й, х!) ограничена дчя всех !. й-; Заметим, далее, что на основании неравенства Чебышева л л ) 1ЗХ (ай ') ~~', Ф м «!) ~~', М (а ю х!) й л Отсюда и из ограниченности по вероятности величины ~ Я„й, х,) й-! !! вытекает ограниченность М ~ (й„й, х,).
Так как й=! и!~а.,/ = фф!!.,.;!) = — й!1й х <!., *,! !-(й! е !!....,!Л. л то ограничено М 2„з„й, а значит, и М1з,(1) 1', поскольку )й-! !! !2 М1~ (1) 1й(1!т М Х Е ! И !!+ й ! Пусть последовательность е„монотонно стремится к нулю. Обозначим через Лй множество тех х, для которых а!, )х~( !! / л 1ип Р~У. (й„й, х;) ) а'~/! ~ Оф„й, х,)+ и -+ :с=! ХЖй х!)~= й=! 1 — ~ е мг(!! ч за !! Гтвов!и!в Огип!х пвонессов З 41 збз =.- е!, „ /г = 2, 3, ..., а через Л! — множество тех х, для которых (х() еь Заметим, по ьм а,,(/)=ЕВ(/,Л,)+:, «) и слагаемые в правон части независимы на основании след- ствия 1 теоремы 1.
Позтому при любом х т Е С.(, ) ) (.() Тогда последовательность Х (', (/, Л/) — М= (/, А/)) / (4) будет с вероятностью 1 равномерно сходиться к некоторому ри /с -э са. Дс!!ствительно, мз ! ! [3(/, Л/) — Мз(/, Л/))— / пределу п Р зпр о<!а.г — С.сссь, ь! — мьсь.ьс! > —,',~< Г ( ) Р з зпр (омс<г ~ й(/, Л/) — М1(/, Л/), х;) / пь-ь! ( ~~ !ип Р зпр с-! К (1( /,Л,) — Мо(с, Л/), х,) / иь+! ох+, 2 ~</ ь ьм С ест,ь! — асс!,ь!,*,! <ь. с-! '"~ / ма+! (здесь использовалось неравенство Колмогорова, гл.
1Н, $1, за- мечание к теореме 5). и, значит, при любом х сходится ряд ~~' 0 (З(/, Ль), х). Выберем такую последовательность пь (и! — — 2), чтобы 0(с(Т, Л/), х;)~ — „,. при /=.1, 2, ..., г. оо 364 ПРО!!ВССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИГАЩЕ1И1ЯЛ1П !Гл. Ч! тл 22 Так как ряд р —, сходится, то по теореме Бореля — Кан- 2-1 телли члены ряда ль+, (~(1, Л,) — М-,(1, Л,)) 2-1 !-лз+! с вероятностью 1, начиная с некоторого номера, мажорнру!отея ! членами сходящегося ряда ~ —,. Отсюда и вытекает равно2=1 мерная с вероятностью 1 сходнмость последовательности (4). Поэтому существует процесс $2(1), являющийся равномерным пределом последовательности 6, (!) — Х Рй (1, Л,) — М~ (1, Л,)').
Так как з(1, Л!) — стохастическн непрерывный процесс и М!2(1, Л,) (2 ( 611( з(Т, Л,) (2 ( со, то на основании теоремы о предельном переходе под знаком интеграла !Ип Мз(1, Л ) = Мз(з, Л!) 1-+2 и, значит, М$(1, Л,) непрерывно по й Следовательно, процесс л1, 6, (1) — ~: (6 (1, Л,) — М~ (1, Л!)) 1 2 с вероятностью 1 не имеет скачков, по абсолютной величине ПрЕВОСХОдящИХ Ел, а 62(1) (раВНОМЕрНЫй ПрЕдЕЛ таКИХ ПрО- цессов) с вероятностью 1 непрерывен.
Заметим, что ряд ~ ', ф~ (1, Л,) — М~ (1, Л,)) ! 2 сходится по теореме Колмогорова (гл. 111, $2, следствие 2 теоремы 1) ввиду сходимости ряда >, 0(6(1, Л!), х) при каждом х. Сумма ряда х 16(1, Л!) — М$(1, Л!)] при каждом 1 совпадает ! 2 ль+~ (тод Р) с суммой ряда х„х„[$(1, Л!) — М$(1, Л;)]. Таким 2-1 г-Л*+! образом, справедлива стгогппг. огщпх иго~~тесов заб 5 41 Те о р е м а 2.
Для всякого сепарабельного стохастачески не- прерывного процесса с независимыми прираи1ениялш существует такой непрергявный процесс Цг(!), что В(г) =Ко(1)+ ВЧ, 6~)+ Х ('(г, 6|) — МЕ(~, бг)1 3 а м еч а и и е. Процесс $г(1), как предел процессов с, (1)— и — ~, (е(1, 6,.) — Мв(г, 6)1, не зависит от каждого из процессов ! г ~(П 6,), 1 = 1, 2, ..., и.
Так как ~.(1)+ ~. (Ф 6,) — МЦ1,6,)) =~, (1) и М1$, (1) /'( со, а слагаемые в правой части независимы, то и М1Во(1)1'~ оо. Рассмотрим стохастические интегралы по мере т(1,А). Как уже отмечалось, т(1,Л) является счетно аддитивной неотрица- тельной функцией множества А на о,. Пусть измеримая функ- ция гс(х) ограничена на каждом компакте пространства Х и равна нулю при ~х ( а (е — некоторое неотрицательное число). Можно обычным образом определить ингеграл (ч(х)т(П йх), Это вытекает нз конечности меры т(1,А) на Ю„а также из того, что т(1, Хр) = О, где Х,— множество тех х, для которых (х(>р, а р = гпах 1 ~(з+ О) — ф(з — О) ~, о<гмс так что на самом деле рассматривается интеграл лишь по множеству (е ( ~х~ ( р), на котором н функция ц~(х) ограничена. Покажем, что $(1, А) = ~ хч(г, йх).
(б) Действительно, если Л= () В„, где Вя= попарно непересея=~ кающиеся множества, диаметры которых не превосходят 6, а хяяВы то )~(1, А) — ~ хгч(г, Вь) ~~(~)$(г', Вг) — хяч(1, В„) )( ~(бл, ч(1, Вь)--.бт(1, А) (5(1, Вк) представляет собой сумму т(г, Вх) скачков, принадлежащих Вк и, значит, отличающихся от хк не более чем на 6). Отсюда и вытекает (б). пеоцвсгы с цсзевпспмымп пгиглщгннямп [гл. ю Так как М /~(1, А) — ~ хет(Г, Ве)/ <бМт(Г, А), М /Ъ (1, Л) — Х хат (Г, Ве) ! ~ (бОМ (т (1, А))з, О то М~ (1, А) = 1ип М ~~ хет ((, Ве) == ~ хП (1, Их), л 0($(Г, Л), г) = ~ (г, х)'П(Г, О(х) л для всякого ограниченного множества Л, лежащего на положительном расстоянии от точки нуль пространства Х, Рассмотрим, далее, случайную функцию множества т(1, А) =-т(Г, Л) — П(Г, А).
Эта функция обладает следующими свойствами: Мт(г, А) =-О, М (ъ. (Г, А) 9 (1, В)) = Мт (1, Л П В) = П (Г, А Д В). (6) Равенства (6) позволяют использовать общую конструкцяю сто- кастического интеграла по ортогональной мере для построения интеграла ~ 1 (х) 9 (г, г(х) для всех измеримых функций 1(х), для которых 1!1(х)! П(1, 1х)< (см.
гл. Ч, $ 3). В предыдущем параграфе было установлено, что ~, 0(й(1, Ье), г) < ОО. Так как 0 ($ (1, бе), г) = ~ (х, х)' П (1, г!х), то при любом вен Х !!щ ~ (х, г)'П(1, дх) < ОО. в в в <! «1~е, Следовательно„ и !пп ~ ! х ~П(1, дх) < Оо, е-+О ес! х!~в стРОГнпГ Овн!пк пРОнс!.СОВ зат Поэтому существует ху (1, с(х). ас!х!<в Заметим, далее, что (ев(Р Ле) МЯ, Ле)) = ~ ху(1, т(х), е о еп+,<!р!.
е, и, значит, ряд ~ (в(1, Л,) — Мй(1, Ле)) сходится по вероятности к ~ хй(1, йх). Принимая во внимание равенство ас !х! <е, $(Г, Л,) = ~ хт(1„йх), !х!>е, получаем из теоремы 2 и замечания к ней следующий результат (для определенности положим е, = 1). Теор ем а 3, Если В(1) — сепарабельный стохастически не- прерывный процесс с незаеисилрылни поиращениями, то сущест- вует с вероятностью 1 непрерывный с независимыли гауссовыми приращениями процесс ео(1), не зависящий от леры м(1, А), та- кой, что имеет место следурощее представление: й(1) =«о(1)+ ~ хт(1, йх)+ ~ хт(1, йх).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
