И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 59
Текст из файла (страница 59)
— В-)-22 (а,— а,) Полагая в первом интеграле под знаком суммы х— — 2/г(а2 — а,) = и, а во втором 2н(а2 — а,)+ 2а2 — х = и, получим формулу (12). И Следствие 1. Соваяесгное распределение величин шах ас(1) 2~(~т пцп (с(1) при а, < О, ат > О дается грорл(улой а~) <т Р( и)!и ш(1) > а„п)ах ш(() < а,) = о~(<т о<)-=т а.
= ~ )ехр( — —.(х+2А(а2 — а)))2~— 2--~ю а, — ехр ( — эг (х — 2а2+ 2й (а2 — а,))' ~ ~ а)х.. (13) стРОе!ше 08!них ПРОнессов Следствие 2. 11ри а ) О, [с, г(] с: [ — а, а] Р( шах [ в(1) [ ( а, ш(Т) ен [с, г(! ) = о<с~г Н ! ! = Х ( — 1)'ехр( — — г(х-2йа)'~ "х (14) $4. Строение общих процессов с независимыми приращениями Мт(1, А) = ~, Мч(1, А») »-1 Пусть $(!) — сепарабельный стохастпчески непрерывный про- цесс с независимыми приращениями, определенный при (ен [О, Т] и принимающий значения из конечномерного евклидова про- странства Х. Тогда он на основании ~ 4 гл.
1Ч с вероятностью 1 не имеет разрывов второго рода. Для каждого е ) 0 с вероятностью 1 будет лишь конечное число таких точек 1, для которых [в(!+ 0) — в(1 — 0) [) в. Пусть Х, = (х; [х[) е), 6, — о-алгебра борелевских мно- жеств, целиком лежащих в Х,. Из сказанного выше вытекает, что для всякого А ен6,число точек 1 из [О, Т], для которых $(1+ 0) — В(! — 0)~А, с вероятностью 1 конечно, Обозначим через т(1, А) число точек з ~ [О, г), для которых 1(з+ 0)— — в(з — 0)ен А. Процесс ч(1, А) нмеет независимые приращения, поскольку т(Г,, А) — » (Гь А) при Г! ( Г» полностью определяются приращениями в(з) — В(1,) при зы [гь 1,], и, значит, прираще- ния т((,Л) на непересекающихся ннтериалах выражаются через приращения В(!) на непересекаю!цихся интервалах.
Кроме того, » ((, А) будет стохастнчески непрерывным процессом (если бы при !' — 1-ьО величина т(!', А) — т(1, А) не стремилась к нулю по вероятности, то тогда бы и Р([»(Г) — В(!) [) е)-~ О, а это невозможно ввиду стохастической непрерывности ~(!) ). Поскольку т(1, А) — стохастически непрерывный скачкооб- разный процесс, все скачки которого равны 1 (н, следовательяо, т(1,А) есть число скачков этого процесса иа отрезке [О, г]), то в силу следствия из теоремы 1 5 2 ч(1, А) имеет пуассоновское распределение. Положим П(1, А) = Мт (1, А), Тогда функция множества П(г, Л) (при фиксированном 1) является мерой на 6,.
Действительно, если А= [] А» и Л» попарно не пересе»-! каются, то ч(1, А) = ~ т(1, Л») и, следовательно, »-1 356 ПРОПЕССЫ С ПЕЗАВПСИМЫМИ ПРИРАЩЕЫИЯМИ [ГЛ. !П ввид)' ТОГО, что 0~ (~т(Г, Аь)(т(Г, А). А Для изучения свойств величины т(!,А) полезно рассмотреть процесс «(г', А), определяемый соотношением ь (г, Л) = г [ь (з + О) — ь (з — О)] АА («(з + О) — ь (з — О)), л<! где тз(х) — индикатор множества Л. Другими словами, 5(1, А) является суммой скачков процесса «(1), которые произошли до момента 1 и погалп в множество А. Если А ен 8„ то число таких скачков с вероятностью 1 конечно, так что '-(г, А) имеет смысл. Из стохастической непрерывности т(1, А) вытекает стохастическая непрерывность ',(Г, А ).
Кроме того, «(Г, А) является процессом с незавнсимымн приращениями. Важнейшее свойство процессов «(1, А) — независимость процессов «(1, А,), ..., $(1, А!,) при попарно непересекающихся множествах А!,Ам ..., Аь— вытекает из следующей теоремы. Т ео р е м а 1. Для всякого А е= 6, прояессь! «(1, А) и «(1)— — «(1, А) явля>отса независимыми процессами с независимь!ми приращениями. Доказательство. То, что «(1) — $(1,Л) является стохастически непрерывным процессом, вытекает из стохастической непрерывности процессов «(Г) и $(1,А). Те же соображения, что и относительно т(1,А), позволяют утверждать, что процесс [«((,А); з(Г) — ь((,А)[ в Х Х Х также будет процессом с независимыми приращениями. Для доказательства независимости процессов $(1, А) и «(1) — «(1, Л) достаточно поэтому установить, что при г! и г, ~ Х, з ( 1 будет Мехр(!'(г„«(1, А) — ф(з, Л))+ + !'(гз, «(У) — «(г, А) — $(з)+ «(в, А))) = = М ехр (!' (г„«(Г, А) — $ (з, А)) ) Х Х Мехр(г(гм «(Г) — «(Г, А) — «(з)+«(в, А))).
(1) Действительно, из независимости приращений процесса [«(г,Л); «(г) — «(1,А)[ вытекает, что для любых 0 =' (ь ( ... ... < Г„=Т, г!!!, г,'м ен Х выполняется соотношение л Мехр т ! г„'г(г!!~!, «((ь, А) — «(1А !, А))+ !, А-! + (гз !, «(1ь) — «(гь, А) — «((А !)+«(ГА !, А)Я) = л — и ! ' ь ! Р, !!!. ~! — $!! -, А!)[х Ч, А ! хи !(Ьй! !",!ь! — !!!.,А! — !!!-,н-!ь-„А!![. $, А-! гтРОгнпе Огших пРОе[гссов 4 4! 357 а это озяачает независимость процессов 5(1, А) н $(!) — в(1, А).
Докажем соотношение (1) сначала для того случа."., когда П(Т, Гл) = О, где Гл — граница множества А. Заметим, что в этом случае у процесса $(!) с вероятностью 1 отсутствуют скачки, попадающие на Г.а. Пусть з = ! !) ( 1,) ( ... ( !ил = =! и 1цп шах (1„й+! — 7„й) = О. л+ й Тогда, если Хз(х) — индикатор множества А, то с вероятностью 1 выполняется соотношение ~(1, А) — ~(з, А) = л = 1нп Х хА(Ь(! й) — в(!л, й- )) [И(г ) В(1, — )) (2) л-+ Положим ~ й = ХЛ (Ь (! й) — Ь (1, й- !)) Ы (!ий) — Ь (! ., й- 1)! Ч.й =а(!ий) — 1(!и й- ) — 7.й Для доказательства (!), принимая во внимание (2), достаточно показать, что аа л и м Р( К(,„1„,)4- К(,„„„,))— и + 4, й=( й=( п ( л ...,(,. (,,,...,,,(, „.,)) ..
4. й, й-1 Воспользовавшись независимостью пар ф„й, Члй) и неравенством (при ~ ай! 1, ( Ьй ~(1) л л ~ и 11 ай — Ц Ьй~~( ~ ! ай — Ьй 1, й-1 й-1 й-1 убеждаемся, что )14 а!4(Е (,4.,)4- Е(М Иь.)))— й=) й-! л и — 14 *а а л ( . 4. )! м а ! а е (и. 4. ) 1(- й-! = Ц М ЕХр (1 (г„$„й) + 1' (гтм Ч„й))— (й 1 — ЦМехр(1(г(, $„й)) М ехр(!(гй, Ч„й)) ( й-1 л ( ~: ! М ехр (! (го $„й) + Е (г„Ч й))— й-1 — Мехр(1(г„$„й))Мехр(1(гй Ч й))1 358 ПРО1!ЕССЫ С ИВ31РИСИМЫМИ ПРИРАЩЕ!!ИЯМИ )ГЛ Ч! Так как (г„$„г)(г„к)„ь)=0 (т.
е. обе эти величины не могут одновременно быть отличными от нуля), то 1(г1,)„г)~11(.„и„ь) 1+ С, (1(гь 5,1)+1(г, Ч,г)) т! т- ! ~д~~ [(! (г~ $иг)) + (! (гг, Чк'!) ~ !(г1,1лг) + 1(г,лл ) т! т! т ! Поэтому ) М ехр (1(г„8„г) + 1(г,, Плг)) — М ехр (1(ки 8„1)) М ехр(1(гк. 1)„г)) 1= =)М схр (1(г„Ц„г)) — 1 ~! М ехр(1(гг, !)„р)) — 1). Но ~ Ма!( Р )лк) 1 ~ ( М ) Е'( г )лг) — 1 ~ ( 2Р () Рл 1 > О)— =2Р(КЯЙ(1,1) — В(1„,1-~)) > 0) и для всякого р > 0 ! Ме'1'г' "лр) — 1)( апр ~ 1 — е'1"'к) /+ 2Р() к)лг)> р). 1к!<р Следовательно, ~.
1Пп ( апр ) е!1*: к! 1)+ 2апрР(11)лг) > Р)) Х л-+ 1к !=.р г и Х 1)гп 2 ~, Р (Кл ф(1„1) — $ (1и к-!)) > О) = и-к = 2 )ип ( ацр 1 е"" к! — 1 1+ 2 апр Р (11) лг ) > р) ) ~ л.+ !к1(р к п Х )ИП М ХКЛ(6(!лг) — 3(!л,р-!)). и.+ 1-1 Так как при р < е (А ~З.) Р()ч а1> р) =Р(~Ь(!.1) — Б(!., -) ~ >р), то из равномерной стохастнческой непрерывности $(!) вытекает, что )ип Р ( ~ к)„г ) > р) = О.
л-+ Учитывая то, что Х Кл Ф (!лг) — 1(!л.г-1)) =7(1~ А) — т(аг А) и+ х-~ СТРОГППГ ОГЩПХ ПРО!!ГГГОВ 359 с есооятностью 1, точно так, как прн доказательстве теоремы 1 ф 2,* находим, что л 1 цп М Х ХА ($ (! ") $ (! , ь !)) рл л- -!' "— !п Р (т (1, А) — т (з, А) = О) = С ( со, Таким образом, !; м..р(р(,„вр„,)А р(л, ~р,)) — м * ( („, К„„,))м„,( (и. К„„,)) Л ~ (2С знр ~ е'!* ! — 1 ), !А!<Р Переходя к пределу при р-э-О, получим (1), что и доказывает тсорему для того случая, когда П(Т, Г„) = О.
Переходя к общему случаю, заметим предварительно, что совокупность множеств а, для которых теорема справедлива, образует монотонный класс (см. Халмош (Ц, гл. 1, 5 6), так как для любой последовательности множеств А„из 6, с вероятностью 1 справедливы соотношения р(С,'ЗА.)=! р(Р !! А). р(Р, ПА,)= !~ р(Р, й А,) и операция предельного перехода не нарушает независимости случайных величин, Легко также обнаружгпь, что в том случае, когда е ) 0 таково, что П (У, Гх ) = О, множества А из 6„ для которых П(Т, Гл) = О, образуют алгебру множеств, Но всякая монотонная алгебра является о-алгеброй (см.
Халмош [1], гл. 1, ч 6), так что эй является о-алгеброй Наконец, заметим, что в л входят сферы с центром в каждой точке со сколь угодно малыми радиусами (поскольку границы сфер 5р(х) с одним и тем же центром х, но разлпчпьрмн радиусами р не имеют общих точек, то не более чем для счетного множества значений р П(Т, Гз !,!) ) 0). Поэтому в л входят все открытые мно- Р жества, принадлежащие 6„так что л содерж!п 6,.
Й Следствие !. Если Ар, Ам ..., А!, Принадлежат 6, при некотором е 0 и попарно не пересекаются, то процессы $(р, А!), $(!,Аз), ..., $((,АА) и а(Г) — ~~(г, А!) независима! ! ! между собой, зао ПРОПЕССЫ С НЕЗАВПГИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ !гл чч Действительно, процесс )(р) — ь)(р,рр) ((р) — )~р, (/ А) / ) / ) р )(~, 0 А).пр р«(((,рр) /=) рр рр ((р.(/А,).- р «р»' /-1 сти не зависят от процесса й(/) — ~„$ (/, Л/).
А/(алогр)ч(/о совокуп/=) ность процессов $(/, Л,:), 1=~ /, ~(/) — ~~' ~(/, А/) полностью опре/ ( делается процессом ~(/) — 3(/, А;), не зависящим от е(/, А,), так что эта совокупность также не зависит от процесса е(/, А;). Таким образом, среди процессов $(/, А/), /=1,2, ..., й; $(/) — ~' [(/, А/) /=( каждый не зависит от совокупности остальных. Отсюда н вытекает наше утверждение.
Следствие 2. Для попарно непересекающихся л/ножеств Аь Лм ..., АА из 6, процессы ч(/, А(), ..., Р(/, АА) независимы между собой. Это вытекает из предыдущего утверждения, поскольку процесс ч(/, Л) полностью определяется процессом $(/, А), Грусть В' — борелевское множество из [О, Т) Ур' ,Х,. Обозначим через ч'(ВР) множество тех /, для которых пара (/; $(/+О)— — 'ч(/ — О)) принадлежит В". Легко убедиться, что ч* является случайной мерой па в-алгебре З,* всех борелевских подмножеств [О, Т);к, Х,. Положим П'(В') = Мч" (В*); П" (В") — конечная мера на ч),*. Очевидна связь между мерами ч(/,А) и мерой т'.
т)*([/(, /з) Х А) =ч(/м А) — ч(/„А). Аналогично П' ([/), /з];рч Л) = П (/,„ А) — П (/(, Л). Следствие 3. Мера ч* является пуассоновской случайной мерой с независимыми значениях(и; характеристическая функция величины ч'(В') дается формулой Мв/А'* (в*> = ехр [(е(А — 1) П* (В*)). Действительно, обозначим через 6, алгебру множеств, порожденную множествами вида [/), /е);к', А, [/„/з) ~ [О, Т[, А а= 8,. ГТРоенне оюпнх Г1РО1 пассов $41 361 Если А,, ..., Ай — непересскаю|циеся множества на й1,, то можно указать такие непересекающиеся множества Л;.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
