И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 57
Текст из файла (страница 57)
(22) Пусть д (Х, х) определяется равенством О ~ е"" Ау (Х, х) = —,„схр ~~ — „( „+ ) ~ (е"" — 1) о(Ф„(х) 1. (23) о ! Легко убедиться, рассматривая процесс — й(!), что д (Х, х) = ~ е "Р (!п( $ (з) ( х) а!1, (24) Функция д (Х, х) выражается через о,(х) в силу (11) следующим образом: Р( Х ( +~) ~ а!Ф„(х)~о~(х). !!=! Подставляя выражение о,(х) через а (А, х) в (22) и воспользовавшись равенством ехр, ~~ — ( — ') '=ехр( — 1п(1 — ' ) ~= .1 и ! 1 а+А а !— а+А находим окончательно и(Х, у, х) = Ха [( [1 — Ф(х-1- у — и — г)[ г!а (!о, г) На()., и). (2б) Используя еще раз то обстоятельство, что произведение преобразований Лапласа есть преобразование Лапласа свертки, 344 пгоцнссьс с назлвпсимыми пгнглпгениями 1гл.
ос можем обратить (25). При этом заметим, что Лс1 (Л, г) = — ) С;1 (1, х) Ые л' = о М = СЧ (О, х) + ~ С4 (1, х) е-лс Ж = е (х) + ~ е лсс)Я (1, х), о о где Я (1, х) =Р(1п1$(з) < х). о(с Поэтому ~ Лс1 (Л, г — и) с(д(Л, и) является преобразованием Лапс ласа функции ос'(с, г)+ $ $ с'1 (с — з, г — и)сс„ссД(з, и). Значит, о йс(1, у, х) = а $ (1 — сй (х+ у — г)] асД (1, г) + + а $ (1 — сР (х + у — г)] с(, $ $ Я (1 — з, г — и) ас,с(Д (з, и). (26) о $ 3. Непрерывные процессы. Винеровский процесс В этом параграфе рассматривается непрерывный процесс с независимыми приращениями $(1), определенный на некотором отрезке (О, с] и принимающий значения из Я .
Будет доказано, что в этом случае приращения процесса имеют гауссовы распределения. Будем обозначать через х".+(Я ) множество линейных неотрицательных симметричных операторов в Я'. Теорем а 1. Существуют такие непрерывные функции аЯ и В(1) со значениями в Я'" и 2'о(Я ) соответственно, при этолс В(1) не убывает (В(1с) — В(1с) я 'Рл(Я' ) при 1, (;, со) что характеристическая функция приращения з(со) — э(сс) (сс ( 1з) имеет вид Мехр(с(г, $(1,) — $((с))) = 1 =ехр(с(г, а(со) — а((с)) — —,(]В(Цо) — В((с)]г, г)~. (1) Доказательство. Для того чтобы установить (1), достаточно показать, что з(1о) — в(1с) имеет нормальное распределение.
При этом можно предполагать, что В(0) = О, 1с = 0 и процесс принимает значения в Я' (вместо процесса ч(1) можно рассматривать процесс ($(1), г)). Возьмем последовательность разбиений 0 = = 1оо(, ... (, 1„„=1 такую, что щах(1„л — 1„л с) — ~0, Из не- е НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОЦЕССЫ. ВИНЕРОВСКИП ПРОЦЕСС 345 4»! прерывности процесса вытекает, что для всех е ) О 1пп ~з„'Р(1$(1„») — $(1„» 1) ! > е)=О (2) л+» 1 (см, теорему 4, гл. 1»г, $ 5).
Из (2) вытекает существование такой последовательности е„ 4 О, что 1пп ~~' Р(1Я„») — ~(г„»-1)1> е„) =О. л+ю» ! Положим Я„») — $(1„» 1), если 1е(1„») — $(1„» 1)1~(е„, О, если 1~(1„») — з(1„» !)1) е„. т. ° Р(!!!1~ »1.)мхе!!1!!..! — !о..—,!!>.!)..-' »-1 Х »-1 чит, Х $„» сходится по вероятности к ~(!). »-! Из центральной предельной теоремы для схемы серий выте- кает, что (Хь,— м Х1„.)(о г! имеет предельное невырожденное нормальное распределение, л если только !!гп 0 ~х' с„» ) О. Но тогда и величина »-1 (1!!! — м х!.,)1о х„ будет иметь предельное нормальное невырожденное распределе-' ние, что возможно лишь в том случае, когда $(!) имеет нормальное распределение.
Если же для некоторой последовательности и, л 1пп 0 ~ 5„»-+ О, ,.+ то л л М~~., О »-1 по вероятности, поэтому и л. оо(!) М Холл»- О »-1 346 пгоцессы с ннзхвиснмыми пгинхщнниями [гл. ч по вероятности, что возможно лишь в том случае, когда $(1) с вероятностью 1 постоянна. 9 Если с(Г) — однородный непрерывный процесс, то существуют аенЯ и В сна'ч.(Я'") такие, что функцни а(Г) и В(1), входящие в формулу (1), имеют вид а(г) = га, В(1) = 1В. Однородный процесс ю(1), для которого а = О, В = У (! — единичный оператор), называется винеровским процессом. Если Внз обозначает (неотрицательный) квадратный корень из неотрицательного оператора В, то процесс а (1) = !а + Внзю (1), где ю(1) — винеровский процесс, будет однородным гауссовым процессом с независимыми приращениями, для которого М ехр(1(з, $(1))) =ехр) г'(з, а) — — !(Вг, г) ~.
Через винеровский процесс можно выразить и процесс с характеристической функцией (1), если только функция В(!) днфференцируема. Для такого представления понадобятся стохастические интегралы по вицеровскому процессу вида г ~ л(г) йг(г), (4) о где 2(г) — некоторая операторная (неслучайная) функция. Выберем в Я"' некоторый ортонормированный базис (е„..., е ). Положим юь(1) = (ею ю(!)).
Так как м ~( г~, .е) — м р( (Е~.*., (~>)~= ь-и / ч =- (-Ф"" ~"")1=- 1 — 'Е'1 ь-1 ь-1 ь-1 то процессы вь(Г) — независимые между собой одномерные вннеровские процессы, Каждый из этих процессов является, очевидно, процессом с ортогональными приращениями; при Г~ ( С: 1з ( М (юь (гз) — ща (1а)) (~да (гз) — юь (Г~)) = М (юь (ГЗ) шА (12)) (М (%Ф (12) и а Р1)) кроме того, М) аЪ (Гз) — юь (1~) (' = Гз — (ь Поэтому определены интегралы т ~ 1(з) М(з) о для всех г ~ 5~2 (О, т) (см. гл.
1т, з 3). Интеграл (4) определяется с помощью соотношения т т Т2) Т ')ТО)ш.а)=2'(Т ')(2(~)...,)ш.,(~)).. (2) о 2-) 1-) О Этот интеграл определен для всех измеримых операторных функций т',(1), для которых т ~ 5ргЯг" (() ((< о (здесь У' — оператор, сопряженный 7, Бра.* — след оператора гг ). Легко убедиться, используя (5) и независимость процессов в;(1), что т м ~ т. (У) т(те(0 =0, о тт т т М~~Л,(() (шР), ~г,(~) Ь(0~=~5рг,(~)ЛР)Л, о о о (6) т' т 12 Т М~~ у,,(() (шц, г) = ~я,(~)г1(~)з,.)а. о о Кроме того, интеграл (5) имеет гауссово распределение (поскольку он является пределом интегралов от простых функций, которые линейно выражаются через приращения винеровского процесса и позтому имеют гауссово распределение). Д П2 Пусть теперь С(~)=( — В(1)) . Тогда процесс $(~) =а(~)+ ~ С(з)((н)(з) а а з! ПЕПРЕРЫВПЫЕ ПРОЦЕССЫ.
ВПНГРОВСК1Ю ПРОЦЕСС зчт 348 пзоцвссы с ннзлвисимыми пгиглщаниями [гл. чс будет гауссовским; в силу (6), (7) М$(1) =а(1), с 2 ссссрс — Ф, с=м() с()с с ~, ) = =~(( — „" В(з))'"( —,' В(з))н'г, г)бз= о с = $ ( — „В (з) г, г) = (В(У) г, г) — (В (О) г, г). о Следовательно, приращение процесса $(1) имеет характеристическую функцию (1). Заметим, что всегда можно указать строго возрастающую функцию Я,(1) такую, чтобы В(1) было абсолютно непрерывно относительно Х(1). В качестве такой функции можно, например, взять Я, (1) = с + Бр (В (1) — В (О) ). Так как для неотрицательного оператора В выполнено неравенство 1) В |1 ( Зр В, то при 1с < г, 9~ В((з) — В(1с) Н(ЗР (ВЯ вЂ” В(Ус)) (Я. (Го) — Я.
(1с). (8) Если теперь сР(1) — функция, обратная к Я (с); Я,(ср(с)) = 1, то процесс К(с) = Ц(сР(с)), будет иметь характеристическую функцию приращения м-р( (, йа-йв)) = ехр ( с(г' сс (го) а(сс)) 2 ((В(сс) В(сс)) г~ г) ~, где д(1) = а(ср(с)), В(с) = В(сР(1)), при этом в силу (8) 'о В (гз) В (гс) о » ~Я (сР (сз)) " ('Р (гс)) = гз гп т. е.
В(1) уже абсолютно непрерывно. Так как 5(1) = С(Я,(1)), то можем утверждать, что всякий непрерывный процесс с независимыми приращениями может быть получен из суммы непрерывной неслучайной функции и стохастического интеграла вида (5) с помощью непрерывной монотонной (неслучайной) замены времени. Винеровский процесс называется также прас)ессозс броуновского движения, Это название объясняется следующим обстоятельством. Рассмотрим движение достаточно малой частицы, взвешенной в жидкости, под влиянием соударений с находящн.
«з1 нвпвягывныв пгоцвссы. випнвовскнп пгоцвсс зла мися в хаотическом тепловом движении молекулами жидкости. В физике это явление носит название «броуновского движения». При вероятностном изучении этого явления естественно считать скорости молекул, с которыми соударяется частица, случайными, причем для однородной жидкости нужно считать, что распределение скорости не зависит от положения молекулы (оно может зависеть лишь от температуры, а она всюду одинакова). Если предположить, далее, что скорости различных молекул независимы между собой, пренебречь инерцией частицы, то тогда смещение частицы нз любого положения за некоторый промежуток времени не будет зависеть от положения частицы и ее предыдущего движения. Следовательно, процесс $(1) в Я', описывающий положение частицы в момент времени 1, будет процессом с независимыми приращениями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
