И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 61
Текст из файла (страница 61)
(7) ! ". ! > ! !х!<! Найдем характеристическую функшрю процесса $(1), Так как слагаемые в правой части (7) независимы между собой, доста- точно найти характеристическую функциро каждого слагаемого. Характеристическая функция пропесса $а(1) определяется фор- мулой (1) 3 3. Пусть А — ограниченное множество из 6,, Тогда М ехр (! (г, $ (1, А))) = 1пп М ехр1! (г, ~„хат (1, Ве)ц, л.еа где А= () Вм Вь — попарно непересекающиеся множества, е-! диаметры которых пе превосходят Х, точки х„принадлежат Вм Величины т(1, Ве) независимы между собой и имеют пуассоновские распределения с параметрами П(й Ве) соответственно, По- этому М екр(! (г, ~ х„ч(1, Во)11= П Мехр(г(г, хь)м(1, Ве)) = е l! е-, Г! р!а'!"Х вЂ” !!в!!,ер!»р(х! рс'! — раПрр,е.р).
ч ! !.е-! зеа ПРОЦЕССЫ С ПСЗАВИСПмь!МП ПРПРАЩЕ!П1ЯМП !ГЛ. Ч1 Переходя в последнем соотношении к пределу при Х- О, убе>к- даемся, что и.*р!ро,!!р, о!!!- .р(1! ш* — о по. р !). 1,А (8) Формула (8) имеет место и для неограниченных множеств из 8„так как такие множества можно представить как суммы монотонно возрастающей последовательности ограниченных множеств Л„для которых (8) справедливо, и использовать предельный переход по и. Из (8) вытекает, что Мехр(!(г, с(1, Л) — Мй(1, Л))) = =.,р(1! ** — р — р1, !!прр, р,!), (..1 (9) т.
е. м,»р( 1*, 1*;!р, р,рр))-.*р(1!" — р — р!*,*!!и!р, и*!). А р'.) (.А 1(гп ~ !х!оП(1, дх) < оо; е<!х!<! Опять используя операцию предельного перехода по А, убеждаемся, что формула (9) справедлива для всех множеств Л, для которых правая часть этого равенства имеет смысл. Теперь, учитывая формулы (!) 9 3, (8) и (9), можем записать характери.
стическую функцию процесса "„(!); Ме! ' 1 !!и = Ме' !' Е !о! ! ехр (! (а (1), г) — —, (В (1) г, г) + -1- 1 ! ''**' — Во!р р !"; 1 ! '" *' — р — рр, !рр!ррр!). о<!х!>! о<!х!. (10) С помощью этой формулы можно определить распределение в(го) — $(г!), а значит, и все конечномерные распредсления процесса $(1). Поскольку стохастически эквивалентные процессы имеют одинаковые конечномерные распределения и всякому процессу соответствует стохастически эквивалентный сепарабельный процесс (теорема 2 5 2 гл. 1Ъ'), то справедлива следующая Теорем а 4.
Характеристическая функция стохастически непрерывного процесса с независимо!ми прирасцениями имеет вид (10), где 1) функция П(1, А) — непрерывная, монотонно не убывает по 1 при каждом А ри: () Зх и удовлетворяет услови!о сво!чствк выБОРО'!Ных Функций заэ 2) а(1) — непрерывная функция, прин!ьчл!оч(сея значени, из Х; 3) функция В(1) — непрерь!зная и ее значениями слухсзт неотрицательнь!е симметрические линейные операторы в Х, причем В(1в) — В(1!) также неотрицательны при 1! ( 1ь й 5. Свойства выборочных функций В этом параграфе изучаются некоторые свойства выборочных функций стохастически непрерывных процессов с независимыми приращениями. Заметим, что в ~ 2 найдены необходимые и достаточные условия, при которых выборочные функции про.
цесса являются ступенчатыми, а в ф 3 — непрерывными. Пусть теперь а(1) — процесс с числовыми значениями, т. е. Х ивляется числовой прямой. Исследуем условия, прн которых реализации процесса $(1) будут с вероятностью 1 монотонными функциямн. Теор ем а 1. Для того чтобы реализации числового сепарабельного стохастически непрерывного процесса $(1) с независимыми приращениями были с вероятностью 1 неубывающими, необходимо и достаточно, чтобы характеристическая функция величины а(1) представлялась следуюи1ей формулой: и "~и~ и '~н' *!(г~лу!!! ! 1 ! '" !!!!!!,а !ф, <!! о ! в которой мера П удовлетворяет условию ~ хП(1, дх) ( со, а а у(1) является неубыва!ощей функцией. Доказательство.
Необходимость. Если я(1) — неубывающая функция, то процесс в(1) имеет лишь положительные скачки, значит, П(1, А) = 0 для всякого множества А, лежащего на отрицательной полупрямой. Заметим, далее, что в рассматриваемом случае пропесс $(1) — с(1, Х,) также будет неубывающим (выбрасывание скачков не нарушает монотонности).
Монотонным процессом будет и процесс а(С Х,) — $(1, Х!), 0 ( е ( 1, являющийся суммой неотрицательных скачков, причем О » (ь (1, Х,) — $ (!, Х !) ~ ь (1) — в (0) — ь (1, Х!). На основании леммы 1 5 4 МЙ(1) — $(0) — а(1, Х!)] ( оо, поэтому ! М 1а (1, Х,) — а (1, Х!)) = ~ хП (1, йх) =' М (Ь (1) — а (0) — $ (1, Х!)); зто ПРОЦЕССЫ С НЕЗЛВИСИМЫМИ ПРПРЛЩЕНПЯЛП! [ГЛ Р! переходя к пределу при а -иО, убеждаемся в конечности ~ хП(1, с(х), о Заметим, далее, что величины а(!) — $(1, Х,) убывают при е -и О (так как с уменьшением е выбрасываются новые положительные скачки). Следовательно, с вероятностью 1 существует предел !!ш ф(!) — о ([, Х,)] =со(!), причем процесс ао([) с верояте-го постыл 1 непрерывен. Как было доказано в ~ 3, приращения процесса ео(!) будут иметь гауссовы распределения.
Ио процесс оо([), как предел неубывакгщих процессов, сам будет неубывающим, так что Р(оо(!) — аког(0) =.- 0) = 1. Из последнего соотношещгя вытекает, что В($о([) — 1,(0)) = 0 (нормально распределенная величина .', Может быть с вероятностью 1 неотрицательной лишь п том случае, когда !)в =0). Таким образом, -.о(!) =го(0) + у([), где у(!) = М [оо(!) — Ео(0)] и следовательно, нс уоывает. Формула (1) может быть получена из соотношения вг)с"! «г Пш йг)сг~ь «[Маг~о (г хе ), е-го если учесть вид процесса оо(!) и формулу (8) [! 4. !1еобходимость условий теоремы устагювлена.
Достаточность. Покажем, что Р(Е([г) — е([1) = О)= 1. Для этого достаточно показать, что с вероятное!ью 1 неотрицательна случайная величина $, характеристическая функция которой имеет вид и.' — е![] [" — ~[ее[[~. (2) -е![е[1[ег — е[ог[о! г.'" — оегг,е*[~ е при а ~ О. Положим Р (х) = с [6 (х) — 6 (+ 0)], с = [6 (+ оо) — 6 (-]- 0)] !, где 6(х) — монотонная ограняченная функция. Это вытекает из того, что распределение величины С((о)— — «([г) являе;ся пределом распределений величин с характерпстнческон функцией свог|ствк вывогоч»|ях эх»кццн Тогда так что характеристическая функция величины С совпадает с характеристической функцией величины 5,, где 5ь = О, Я„= = я| + +$з' $ь ьь — последовательность независимых одинаково распределенных неотрицательных величин, имеющих функцию распределения р(х), а т — не зависящая от ьь ",м ...
пуассоновская случайная величина. Следовательно, "; неотрицательна. Таким образом, Р($(!|)),ь(у|)) =1 при 1, < !з. Из полученного соотношения вытекает, что событие, заключающееся в том, что для всех пар рациональных точек 1,, 1,, для которых !| !м выполняется неравенство $(1,) = $(!з), имеет вероятность 1. Если учесть, что, кроме того, $(!) с вероятностью 1 не имеет разрывов второго рода и с вероятностью 1 4(!) совпадает либо с $(! — 0), либо с ",(!+0) (ввиду сепарабельности процесса с(!)), получаем, что с вероятностью 1 $(!|) ч= $(!з) для всех пар !ь !м для которых !| ( !ь яь Исследуем условия, при которых реализации процесса ч(!) с вероятностью 1 имеют ограниченную вариацию. Напомним, что вариацией на [а, Ь] функции х(!), определенной на [а, Ь! и принимаюшси значения нз Х, называется величина чагх(!), определяемая соотношением !а, Ы чагх(!) = зцр Е ! х(!|) — х(!|-;~) ! ич» :-О причем точная верхняя грань берется по всевозможным разбиениям отрезка [а, Ь); а = !о ( !| ( ..
( !и = Ь. Те о р е м а 2, 11ля того чтобы реа |изации сепарабельного стохастически непрерывного процесса 5(!) с независил|ыми прпРащениями, определенного на отрезке [О, Т), имели на этом отРезке с вероятностью 1 ограниченную вариацию, необходимо и достаточно, чтобы характеристическая функция величины с(!) определялась формулой (10) ф 4, в которой чаг а (!) < со, |к|| В (!) = О, а л|ера П (1, А) такова, что ! х ! П (1, дх) < ь <! к! ~ | !ГЛ ПРОПГГГЫ С ИГЗЛВИГИМЫМИ ПРПРЛП1ГИИЯЛП1 372 Доказагсооьсгво.
Докажем сначала достаточность условий теоремы. Так как процесс, определяемый соотношением $(Г,Х,)= ~ хт(Г, г(х), будет с вероятностью 1 кусочно посто!к!> ! янным, то его вариация, совпадающая с суммой абсолютнык величин скачков, будет конечной. Функция а(Г) по условию теоремы имеет ограниченную вариапию, поэтому для доказательства ограниченности вариации о(Г) достаточно доказать ограниченность вариапии интеграла ~ хч(Г, г(х) как функции Г (см. форо<!х!<! мулу (7) ~ 4). Расслоотрил1 процесс ~!" (1) = ~ хт(1, дх). е<! х!<! Легко подсчитать, что вариация процесса ~!в!(1) на отрезке [О, Т) будет равна таг$1в1(Г)= чаг ~ хт(Г, г(х)+час ~ хП(Г, дх). !о, г! !о, г! !о, г! е<!х!<! е < ! к ! <! Поэтому та г $РП (!) ~( [о, г! ~х~ъ(Т, о(х)+зпр~ $ )х!(П(Гл,!2х) — П(УЛ и!(х))= е<!х!<! В-! е< !х!<! 1х1т(Т, о(х)+ ~ 1х1П(Т, о'х)( е<!х!<! е<!к!<1 (11гп ~ 1х1т(Т, ОКх)+ ~ (х)П(Т, г(х).
в.во е<!х1<1 О<! к !<! Сушествование 1пп 1 1к1т(Т, о!х) вьпекает из того, что е-ло е<!х! 1 величина ~ 1х1т(Т, г(х) монотонно зависит от е и е<!х!<! М ~ (х1ч (Т, ег'х) ( ~ [х1П(Т, г(х) < оо. в<1х!<! о<!х!<! Можно подобрать последовательность е„, стремяшуюся к нулю при п -е оо, так, чтобы последовательность процессов а('в) (!) сволоте к выгогочнык ео нашит 373 с вероятностно! равномерно сходилась к процессу ~ х9(г', йх). о<!к!<~ Поэтому с вероятностью 1 выполняется соотношение чаг ~ хъ(Г, г(х)( ~ 1х!т(Т, дх)+ ~ !х!П(Т, г(х).
!о<~к!М~ !о, т! о < и» ~ < ~ о<~к!<~ (Легко видеть, что если х„(!) — >х(!) при каждом г, то ! х (гое,) — х (го) ! = 1!гп ~ ! х„((ь ы) — х„(го) ! ~1пп тат х„(!), ь-о к-+ о-о ~.+ ы. 71 а значит, чагх(!)(1!ш ткагх„(!).) Отсюда и вытекает ограни!о, т1 и-> [о, 7'1 ченность вариации ~ хо (Г, Пх). о<!к~<1 Докажем теперь необходимость условий теоремы. Пусть вариация <(!) на отрезке [О, Т) ограничена, Тогда она будет конечной и на каждом отрезке, являющемся часзью [О, Т). Рассмотрим процесс ь(!) = чаг е(з).
!о, о! Этот процесс будет также процессом с независимыми приращениями, так как приращение ~((о) — ~(1~) при (~ ~ !о является вариацией процесса на отрезке [!и го) и поэтому зависит лишь от приращений процесса $(!) на отрезке [гь !к) и не зависит от значений $(!) при г ( !ь а значит, и от значений ~(1) при г(гь 1(!) будет стохастически непрерывным процессом, так как вариация чагх(з) функции х(з) может иметь разрывы р,п лишь в точках разрыва самой функции х(з), а процесс К(г) ввиду стокастической непрерывности не имеет фиксированных разрывов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
