И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 63
Текст из файла (страница 63)
свопствх вьшоточных еянкцип зв! Поэтому ~; Р (( вцр ! 5с ! < а + с) Л (! 5ь ! > а + с)) Р (! 5„— 5ь ~ (с) < ь с<ь-~ <Р(!5„! >а), ~, Р(( зцр !5; !~(а+с)() (!5ь! ) а+с))](1 — а) (Р(15„~ ) а). ь ~ <ь-1 В квадратных скобках слева стоят Р (эцр ~ 5, ! ) а + с).
И Л е м м а 3. Пусть э(1) — сепорабельный стохастически непрерывный процесс с независимылич приращениями, для которого существует такое и(1, что при 0 ( з ( Т Р(Ц(Т) — С(з) ) ) с) ( а, Тогда для всякого х . 0 Р( зцр !э(з)!)с+х):а- Р(!~(Т)!)х). (6) о<акт Доказательство.
Из леммы 2 вытекает соотношение Р ( зпр ~~( — Т)~)х+ с ~(, Р(!~(Т)!>х). Переходя к пределу при п-ь с, получаем доказательство леммы. И Т е о р е м а 7. Пусть э(!) — сепарабельный однородный стохастически непрерывный процесс с независимььки прираи(ениялаг и д(1) — функция регулярного роста такая, что при любом е)0 !цп Р (!с(1) !) ед(1)) < 1 ~ — Р (! ь (!) ! > у (1)) аг < Тогда при любом Х ) 1 функция Хд(1) будет ч стч~й функцией для (~(!) ), т. е. Доказательство. Выберем а си(1, 2) и в>0. Обозначим через Аь событие (ьпр !~(1) ~ > (1+ 2е) д(аь+')).
Из условий теоремы вы- 1 и ь текает, что существуют такие с > 0 и Т„что Р (! $(г) ~ ) вь (г)) ( (1 — с при 1) Т,. Поэтому для достаточно больших й при 1 < аь Р(!в(аь) — в(1) ~ > еу(амы)) = Р (! ь(аь — !) ~ > ед(ах+')) ( ~ впр Р (! К (з) ! > ву (з)) ~( ь)т, (1 — с, ( вор Р (! $ (з) ! > ву (аь ы)) ) ч<т, 382 ПРОИЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАШЕНИЯМИ 1гл. и так что для всех достаточно больших й на основании леммы 8 Р (ЛА) ( —, Р О ~ (и') ~ > (1+ е) й (и'+'Н. Учитывая, что при 1 ее (а", п'+') имеем 1 — а" ((а — 1) а" (аа н значит Р(~5(1) — $(а")! > Вд(а Н < 1 — с для достаточно больших я, получаем Р (Л,) -= —,.
Р (~ Ь (и'! ~ > (! + ) й (и'+ Н Х Х Р (~ и — З (и') ~ ~ еа (и'+'Н ( —,, Р ц Ь (1) ~ > и (и + Н ~ ~ —,', Р(~И) ~>й(1Н, так что аз+1 Р(Л ) "",', ~ —,' РВ((Н>й((Н аа Р (ЛА) ~ ((!п а) ' с ". ~ — Р (! ~ (1) ~ > д((Н ~Ц. Значит, с вероятностью 1 происходит лишь конечное число событий ЛА. Используя рассуждения теоремы 4, убеждаемся, что функция А(1+ 2е)йз(и )д(1) при Х- 1 будет верхней для ~а(1)~. Так как вз(и)ь.! при а-э1, то из того, что а — 1 и е О могут быть сделаны сколь угодно малыми, и вытекает утверждение теоремы.
И Анализируя доказательства теоремы 4, нетрудно убедиться, что справедлива Теорем а 8. Лусть в(1) — однородный процесс с независимыми приращениями, Если функция регулярного роста такова, что при любом а 1 расходится ряд Хх' Р ( ~ В (а ) ~ > й (а Н, то при всяком О ( Х ( 1 функция Хд(1) будет нижней функцией для 1в(1) (, т. е. Результаты теорем 7 и 8 можно переформулировать для того случая, когда 1- О, аналогично тому, как это сделано в за мечании 1.
ГЛАВА ЧП СКАЧКООБРАЗНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ $ 1. Общее определение марковского процесса В 5 4 гл. 1 уже рассматривались марковские процессы в широком смысле. Там же были введены вероятности перехода марковского процесса Р(з, х, Е Л) — вероятность находиться процессу в момент 1 во множестве состояний 4 при условии, что в момент з он находился в состоянии х. Вероятности перехода позволяют построить при помощи теоремы Колмогорова (гл.
П1, $2) целое семейство вероятностных мер в пространстве функций Р... задаваемых на цилиндрических множествах пространства Е~,,,> всех функций, определенных на [з, со), равенствами: при з ( 1~ ... ( 1к [эг, х (х ( ): х (1~) ~ Ао ..., х (1ь) ен Аь) = = ~ Р(з, х, 1о дх,)...
~ Р(1ь н хь,, 1ы дхь). (1) А, Меры Р,, естественно трактовать как условные распределения марковского процесса, рассматриваемого на промежутке [з, со), при условии, что в момент з он находился в состоянии х. Таким образом, в отличие от обычного определения случайного процесса, когда имелось лишь одно вероятностное пространсгво, при рассмотрении марковских процессов мы будем исходить из некоторого семейства вероятностных пространств, которые будут различаться как а-алгебрами, так и мерами. В гл.
1Ч было показано, что во многих случаях удается построить меру, согласованную с конечномерными распределениями процесса, на более узком функциональном пространстве, чем пространство всех функций. Процессы, выборочные функции которых обладают определенными свойствами регулярности, представляют собой более богатый объект для изучения, и для приложений они более важны. Поэтому мы будем предполагать, что выборочные функции процесса при условии, что он начинается в момент з, принадлежат некоторому функциональному ГКХЧКООБРАЗ1!ЫЕ МАР!СОВГ>СПГ ПРОЦЕ!'СЫ [ГЛ 111 пространству Г, (з ) О).
Функциональные пространства Г, согласованы следующим образом: для всех х( ) еп Г, ограничение фуНКцнн Х( ) На [и, со) (и ) З) НрниадЛЕжнт Г . Наконец, при изучении марковских процессов очень существенную роль играет такое понятие, как «прошлое». Если процесс начался в момент з, то «прошлое» в момент 1 определяется теми событиями, которые можно наблюдать на промежутке времени[а, 1].
Множество таких событий обозначим Б!. Естественно предположить, что !з>! есть некоторая о-алгебра, причем Ь! с: с: !з>1, при 1 (гм и что значение процесса в момент 1 измеримо относительно (О! (зто означает, что значение процесса в данный момент может быть наблюдаемо). Итак, будем говорить, что задан марковский процесс, если заданы следующие объекты: а) измеримое пространство (Х, 6) — фазовое пространство процесса; б) семейство функциональных пространств г"„(з ) О) функций со значениями в Х, удовлетворяющих условию согласования; ограничение функции из Г, на [и, со) принадлежит Г„при и)з; в) измеримое пространство (Й, !О), совокупность а-алгебр б!с:.С, определенных при 0 ( з = 1«- сс, таких, что Ь!",с:Б;,' при [з1, й] с:.
[Бз, 1>]; г) семейство вероятностных мер Р. х. з ~ [О, со), х ~ Х, определенных на о-алгебрах Ь'=[]Ь; д) функция х,(1, с>), определенная на [з, сс) и удовлетворяющая условиям: 1) х,(ы ю)~ Г, при с> я О; 2) х,,(1, Б>) измерима относительно Е1, каковы бы ни были з(и(1; 3) Рьх((с>: хз(з, Б>) = х)) = 4) прп В ~ 8, з < и « 1 Р,, ((ои х, (1, ь>) еп В] ~ Сх) = Рх, с, > ((ен хх (1 Б>) ~ В)) (гпос1 Р, ) ° (2) Марковский процесс, определяемый перечисленными объектами, будем обозначать тх,(1, с>), бс, Рх, х); х,(, Б>) — выборочные функции процесса; сЗ1 — о-алгебра событий, наблюдаемых на [з, 1]; Р, „— распределение вероятностей для процесса, начинающегося в момент з из точки х; (2) определяет основное свойство марковости (марковское свойство) — независимость от прошлого прн заданном настоящем.
ОЬШЕЕ ОПРЕДЕЛЕННГ МЛРКОВСКОГО ПРОНЕССЛ ив Переходные вероятности процесса теперь можно ввести со- отношением " (з х (, В) = Р,, к ((а: х, (~, а) ен В)). (3) Будем предполагать, что всегда выполнено условие 5) переходная вероятность измерима по х относительно о-алгебры 6. Тогда из (2) легко получаем уравнение Колмогорова — Чепмена; при з ( и ( ( Здесь и в дальнейшем через Мь к обозначается математическое ожидание по мере Рьк для 6'-измеримой величины ~(а) Мь .$ (а) = ~ е (а) Р,, „(йа). (4) Соотношение (2) можно записать в терминах математических ожиданий: при з ( и ( г М, „(д (х, (1, а)) ~ к '„) = Ми, „1„, ад (х„(1, а)) (той Р,, „) (5) для любой ограниченной 6-измеримой функции д. Действительно, взяв д(х) = тв(х), где тв — индикатор В, из (5) получим (2).
С другой стороны, из (2) вытекает справедливость (5) для индикаторов измеримых множеств, а значит, и для простых функций, являющихся линейными комбинациями индикаторов; остается заметить, что любая ограниченная измеримая функция является равномерным пределом простых, Заметим также, что Мь.д(х,(1, а)) является 6-измеримой функцией по х для всех неотрицательных 6-измеримых д, Это вытекает из измеримости Мк..хв(х,((, а)), а значит, измеримости указанного выражения при простых д и д, являющихся пределамп простых.
Пусть з ( и ( )1 ( ... ( (и, дн ам ..., д — ограниченные 6-нзмеримые функции. Тогда и, . (Д .. Р, Р., .В ~ и:) = Ми,к 1и, и1 П а.(хи(~ы а)) (шог) Рк, к)' (5) Р(з, х, ~, В) = Р.,((а: х,(~, а) ен В)) = =М„Р..к((них,(~, )~В) ~:Б')=М:,кР.,к.<., 1((: х,(д )енВ))= = М,, кР(и, х, (и, а), 1, В) = ~ Р(з, х, и, Иу) Р(и, у, (, В). 388 скзчкООБРлзныв МАРкоягс'ив ПРОссГссьс !гл ип Действительно, используя повторные условные математические ожидания, получим у л м,,(П х,С,„р,, щв.*)= = и, „(и,, (П з з С*. 8,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
