И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Действительно, всякий допустимый физически осуществимый фильтр по определению или имеет вид (11) или является предельным для фильтров такого вида. Условие с. к. сходимости фильтров вида (11) с импульсными переходными функциями а, (!) состоит в следующем: !а„(з) — а„(з)!зс(з-+О при п, и' — ~со. о Но если это условие выполнено, то существует !.!.ш. а„(!) =: а(!) (относительно лебеговой меры на (О, со) ) и 1ллп.
т1„(!) =1.!лп. ~ а„(з) сЦ (! — з) = ~ а (з) д$ (! — з). о о Таким образом, предельный переход в фильтрах вида (11) не расширяет класса фильтров. Формулу (11) можно переписать следующим образом: т1(!)= ~ а(! — з)йв(з), а(1)=0 при !<О. Следовательно, корреляционная функция процесса т)(1) равна Я (!) = ~ а (! + з — и) а (з — и) йи, или Я(1) = ~ а(1+ з)а(з)йз.
(12) о Л е м м а 2. Для того чтобы стационарный (в широком смысле) процесс и(!) являлся реакцией физически осущестВи- ФИЗИЧЕСКИ ОСУШЕСТВИМЫЕ ФИЛЬТРЫ 293 Ь(!и) = ~ Ь(з)е '"'йз, ~ )Ь(з) гйз < ьь. (14) о о Доказательство. Необходимость. Пусть процесс т) (!) допускает представление (11). Положим и ((и) = = ~ а(з) е-"" йз. ! о В силу равенства Парсеваля О О Я(1) = ~ а(1+ в)а(з)с)з= ~ е'"'~ Ь()и) !Фйи, т, е.
спектр процесса абсолютно непрерывен и спектральная плотность имеет вид (13), (14). Достаточность. Пусть выполнены условия леммы. Рассмотрим спектральное представление процесса т) (!): т)(1)= ~ е'"'ь(йи), и стохастическую меру р(А) = ~ хл(ь) Ь(йи). (15) Стохастический интеграл (15) имеет смысл для произвольного ХА !") ограниченного борелевского множества А, так как — ".
еи ь (ги) ен.к', (р), где с — спектральная мера процесса Р (А) = $ ! й ((и) Р йи. Легко заметить, что )з(А) является ортогональной мерой, причем М)з (А) р (В) = ~ йи. Апв мого фильтра на подчиненный процессу белый и!ум, необходимо и достаточно, чтобьг процесс з)(!) обладал абсолютно непрерывной спектральной мерой и его спектральная плотность г(и) допускала представление 1 (и) = ! й (Ьи) !З, (13) 224 линвяныв пявовгхзовхния слччлиных пгоцвссов ~гл.ч Положим +О» Г -ЫЬ е-ЫЬ х (1,) х (1,) = — ~ и(Йи).
Ю (16) Очевидно, что стохастический интеграл (16) существует. Случайная функция интервала с(Л) = $(гх) — 4(11), Ь = (Гь 12), является элементарной мерой, соответствующей стандартному процессу. Действительно, М$(Ь) = О. Далее, используя равенство Парсеваля для интегралов Фурье, получим Г е-Ыи е-ЫЬ Еии еми МВ(А)й(Лг)= — „, ~, ', ' уи= О где Ь1= (1ь 1з), Лз =(Гм 14), 1 — лебегова мера на прямой.
На бсновании леммы 1 $2 и формулы (15) получаем т1 (г) = $ еы'Ь (Еи) 14 (ди). О (17) Заметим теперь, что если Ь(Еи)== ~ а(з)е'"'Из, где ~ ~а(з) Рдз < со, 'т/2д то Ю $ Ь (Ги) уа(еХи) = $ а ( — а) в (е(з). (18) О ыбх ыаь а( — з)й(дз) = — ) ~ сь,„14(г1и), О 72 1, Действительно, так как пространства Ыз(р) и Ых(Д изоморфны пространству Ж(1), где 1,— лебегова мера на прямой ( — оо, оо), и преобразование Фурье не меняет скалярного произведения в Ыр(1), то формулу (18) достаточно проверить для простых функций. Пусть а(г) = ~„сь1( (1), где Лд — интервал (или полу- интервал) (ам Ьх). Тогда ФИЗИЧЕСКИ ОСУЩЕСТВИМЫЕ ФИЛЬТРЫ 295 что является частным случаем (18). Итак, формула (18) установлена.
Из (18) вытекает, что Ю ~ е'и'Ь(1и) Йи= ~ а(з) ~ф(1 — з), (19) откуда Ю +, ди > — оо. !и 1 (и) 1+ и' (21) так как умножение меры Е( ) на еии в силу формулы (18) при- водит к сдвигу аргумента функции $( ) на й Из (17) и (19) получим >1(1) = $ а(З) Си(1 — З), ГдЕ а(Г)= — $ Ь((и)Е-'и'С(и. И 1 з/Еи Пусть задана спектральная плотность 7(и) процесса т>(г). Возникают следующие вопросы. Когда спектральная плотность допускает представление (13), (14) (или, как говорят, факто- ризацию)? Как найти по функции 7(и) функцию Ь(?и) (а сле- довательно, и функцию а(1))? Ответы на этн теоретико-функ. циональные вопросы можно получить, сведя их к уже решен- ным вопросам для случая факторизации функций на окружно- сти.
Введем преобразование и> = 1, отображающее круг 1+и 1> = (г; )г( < 1) в правую полуплоскость П+ = (сп Ке о> ) О). На границе соответствующих областей (и> = >и, е = е'з) это о преобразование имеет вид и = С1п — .
Пусть ) (и) допускает 2 ' факторизацию (13), (14). Положим д(г) =(1+ о>) Ь(о>)= — й ( — ''), 1 — и 1 — и (20) 7'(0) =1(и)(1+ ии), Функция 7(0) допускает факторизацию (~(0) (= (д(е'з) 1', где 8(г) аналитична в 1? и интегрируема на ( — и, и), ~ 7(8)с(0=2 ~ 7'(и)си < оо, т е. д(г) ен Нг. В силу теоремы 1 — < ~ (п)(0) (0=2 ~ '"""'+'""+и' ( 1+ и~ Ф 296 ЛИНЕЯНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАПНЫХ ПРОЦЕССОВ (ГЛ, Р Допустим теперь обратное. Пусть )(и) неотрицательна, интегрируема и удовлетворяет соотношению (21). Определим ((9) с помощью (20).
Тогда 1(9) интегрируема и Из теоремы 1 следует, что )(9) допускает факторизаци!о 1(9)=!д(е!Е)/', )г(г)=2 а„г", ~, !ал(и(оо. Положим Ь (О') (~~~ ал 1 1 ) л-О Тогда функция Ь(о!) аналитична в правой части полуплоскости и )(и) =16((и) 1', а(!и)=~ а„ (1 + /и)"+! (22) (1 + !и)л Ы (1 + !и) л+1 , (А — 1)1 4 так что 6(!и)= ~ е-!л!Ь(()!((, где Ь(!)= ~~ а„В„(!).
о л-О При этом надо иметь в виду, что частные суммы ряда (22) представляют собой преобразование Фурье (с точностью до и множителя) функций, равных ~а„В„(!) при (~~0 и равных Учитывая, что функции =е'"з образуют полную ортонор! Ч)2л мированную последовательность в 2'з( — и, и), нетрудно увн- 1 )л деть, что последовательность = „ является полной (1 + ги)л+! ортонормированной последовательностью на Ыз( — оо, оо) относительно лебеговой меры. Поэтому ранее написанный ряд для 6((и) сходится в среднем квадратическом. Заметим теперь„ что за ПРОГНОЗ И ФИЛЬТРАЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ 297 нулю при 1 О.
Так как преобразование Фурье не меняет нормы функции в и,"з( — оо, оо), то из с. к. сходнмости ряда (22) следует с. к. сходимость ряда для Ь (1) и СЮ $(Ь(!) 1ЕЖ ( оо. о По поводу единственности полученной факторизации функции 1(и) можно сделать замечания, аналогичные тем, которые были сделаны о факторизации функций на окружности.
Выражение для Ь(!ь) можно получить из формулы (9), заменив е на !ь и произведя соответственную замену переменных под знаком интеграла: 1 1 1п)(и) !+ив (23) Теорем а 3. 1(ля того чтобы неотрицательная интегрируемая функция 1(и) ( — со:и < оо) допускала факторизацию (13), (14), необходимо и достаточно, чтобы ди ) — оо, 1и 1 (и) 1+ и' При дополнительных условиях Ь(ы) ~ 0 (Ке ы ) 0), й(1) ) О функция Ь(ы) единственна и определяется формулой (23).
Теорем а 4. Для того чтобы стационарный процесс !)(1) ( — со ( 1 ( оо) допускал представление (11), необходимо и достаточно, чтобы он имел абсолютно непрерывный спектр и его спектральная плотность 1)довлетворяла условию (24). 2 6. Прогноз н фильтрация стационарных процессов Одна из важных задач теории случайных процессов, имеющая многочисленные практические применения, заключается в следующем; требуется наилучшим образом оценить значение случайной величины ь, наблюдая некоторое множество случайных величин (й„, а ~ А) Таким образом, нужно найти функцию !Я (аенА) от множества переменных $„, аенА, с наименьшей ошибкой, удовлетворяющей приближенному равенству ЬевЬ=)(зи~аен А).
(1) Примером такой задачи является прогноз (экстраполяция) случайного процесса. В этом случае требуется оценить значение случайного процесса в момент времени 1' по его значениям 29В ЛИНЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЯНЫХ ПРОЦЕССОВ ~ГЛ.ч на некотором множестве моментов времени, предшествовавших 1'. Другим примером является задача фильтрации случайного процесса.
В простейшем случае она состоит в следующем: в моменты времени Р ен Т' с Т наблюдается процесс 3(1) = «((()+ ;+ Ь(1), представляющий собой сумму «полезного» сигнала Ь(т) и «шума» т((1); требуется отделить шум от сигнала, т. е. для некоторого 1' ~ Т нужно найти наилучшее приближение ь(1) вида ь (р) ь = ~ ($ (1') ( 1 ен Т'). Постановка задачи пока еше не закончена, так как не указано, что означает «наилучшее приближение». Разумеется, критерий оптимальности зависит от практического характера рассматриваемой задачи. Что же касается математической теории, то в ней преимущественно развиты методы решения поставленной задачи, основаннме на среднем квадратическом уклонении как на мере точности приближенного равенства (1).
Величина б=(МК вЂ” (й.(. А)Г)п« (2) называется средней квадратической погрешностью приближенной формулы (1). Задача состоит в определении функции 1 такой, что (2) принимает минимальное значение. В том случае, когда А — конечное множество, под )(Е„(а ~ А) мы понимаем измеримую по Ворелю функцию аргументов В„, а ее А. Если же А бесконечно, то этот символ обозначает случайную величину, измеримую относительно о-алгебры 5 = о(е„, а ен А), порожденной множеством случайных величин (е„, а ее А). В дальнейшем предполагается, что и ь и )(Е„(а ~ А) обладают моментами второго порядка. Положим у=М(1(6).
Тогда о' = М (~ — Д' == М (~ — у)'+ 2М ф — у) (у — ~) + М (у — ~)'. Так как величина у — ь 5-измерима, то М К вЂ” у)(у — ~) = = М М И вЂ” у) (у — С) ( Я = М (у — В) М ((~ — у) ( Я = (). Таким образом, б'= М(1 — у)'+ М(у — 1)'> откуда следует Теорем а 1. Приближение случайной величины Ь, имею- и(ей конечный момент второго порядка, с минимальной средней 9 61 пногноз и фильтвхния стхционхтных пгоцвссов 299 «вадратической погрешностью при помои(и 5 = о($„, а ен А)- измеримой случайной величины Ь единственно (шод Р) и дается формулой 1=М(1)Я. 3 а м е ч а н и е. Оценка ь = у случайной величины ь является несмещенной, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
