И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Л ем ив 4. Если л((,з) и Ь(1) — борелевские функции, ь ~! д(1, з) ~»йгп(бз) < оо, ~ !Ь(1) ~»й< оо, (12) ь — ортогональная стохастическая мера на (Я',6'), то ь Ю О ~ й(() ~ д((, з) ~ (бз) й = ~ д,(з) ~(бз), (1З) где а (з) = ~ й (() а (~, з) й о линвиныя пввовгьзовхния слтчхиных пгоцвссов ~гл. ч ' 266 Доказательство. Математическое ожидание квадрата модуля интеграла в левой части равенства (13) равно ьь / > [[ьгьад~[1 ась ьиь,. и еь)л,е,— л я ь 2 ~ Ь(1)д(1, з) д1 т(дз) (» ь ($[Ь(1) га1 ° ~ $ [ у(1, з) 1'сУт(с(з). ~ й(г) ~ а(1, з) ~Уз) д1 = ~ 1,(з) ~Из), ОО СЮ ОЭ (14) где 1 (з) = ~ й(1) у(1.
з) аг. Доказательство непосредственно вытекает из того, что левая часть равенства (14) является с. к. пределом левой части равенства (13), и из возможности перехода к пределу под знаком стохастического интеграла в правой части формулы (13). ® Рассмотрим теперь обобщение предыдущих результатов на векторные стохастические меры. Ограничимся простейшим случаем интегрирования скалярных функций, мало чем отличающимся от интегрирования по числовым стохастическим мерам. Для математического ожидания квадрата модуля в правой части равенства (13) имеем неравенство, указанное во второй строчке последнего соотношения. Следовательно, правая и левая части равенства (13) непрерывны относительно предельного перехода по последовательностям д (1, з), сходящимся в Ы'г[Ф), где Ф вЂ” прямое произведение лебеговой меры на меру т в полосе [а, Ь) Х( — со, оь). Далее, множество функций д(1, з), для которых (13) верно, линейно и содержит все функции вида л' сьХль(1)Хвь(з).
Следовательно, оно содержит все функции из 2г[Ф), ° Заме чан не. Если условия леммы 4 выполненьс для кагкдого конечного отрезка (а, Ь) и существует интеграл Ю ь ~ й(1)у(1, з)Ж= 1пп ~й(1)у(1, з)сИ О ь-»+ в смысле сходимости в 2',(вь), то СТОХАСТИЧЕСКИЕ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛЫ $и Пусть 2 обозначает некоторое комплексное векторное пространство размерности р.
Для простоты будем считать, что некоторый базис в этом пространстве фиксирован. Допустим, что каждому Ь ый поставлена в соответствие векторная случайная величина ь(Ь) со значениями в ХР, ь(Ь) = (ь'(Ь), ь2(Ь), ... ..., ~Р(Ь)). Через ~~(Ь) ~ обозначим норму вектора Ь(Ь), О К(Ь)Р= Е~~'(Ьн. Предположим, что 1) М~~(Ь)~2< о, ~(0)=О; й) 1(Ь1()Ь2)=~(Ь1)+~(Ь2) (шойР), если Ь,ПЬТ=Я; 3) М12(Ь)и(Ь)=тй(Ь ДЬ~), Ь енй)1, 1=1, 2; й,!= = 1 ° ° ° р.
Семейство случайных векторов (Я(Ь), Ь чей будем называть элементарной векторной стохастической (ортогональной) мерой, а матрицу т (Ь) = (тА(Ь)) Мь (Ь) ь'(Ь) — структурной матрицеи. Отметим, что, как функция от Ь~ и Ь2, матрица т(Ь~ ЙЬ2) обладает свойствами корреляционной матрицы векторной случайной функции. Кроме того, если Ь| ПЬ2 = О, то (Ь,()Ь,)= (Ь,)+т(Ь,). Отсюда следует, что диагональные элементы матрицы т(Ь) яв- ляются предмерами. Кроме того, из неравенства ~,' (ч ~ к ~янган (15) следует Ц~тт(Ь,)~е (х' тАА(Ь,)2„т1(Ь,)~'и, (!6) и, значит, функции множеств тА (й, 1=1, ..., р) имеют ограниченную вариацию на Ь.
Положим тс(Ь) = Зрт(Ь) = ~„тА(Ь). Из (16) следует также, А-~ мн 3Вн Чта ЕСЛИ 2, т,(ЬД вЂ” «О При ЬГ-«са, тО И ~~тТА(Ь„")~ -«О. Г ,1 Отсюда вытекает, что функции т" (Ь) могут быть продолжены до счетно аддитивных функций множеств на В, если функция «22(Ь) полуаддитнвна на И. В дальнейшем матричные функции, полученные путем такого продолжения из структурной функции элементарной 268 линвиныв пэвоволзовлния слтчхиных пооцвссов сгл, ч ортогональной стохастической меры, будем называть положительно определенньсми матричными лерами. Выше 6 обозначало пополнение о(й) относительно продолженной элементарной меры то(Ь).
Простоты ради для продолжений функций то, т, и матрицы т на 6 сохраним первоначальные обозначения, причем в дальнейшем будем считать, что то(Ь) полуаддитивна на й. Определим на 2'о(й) стохастический интеграл с помощью формулы о т! ~ ) (х) ь (с(х) = ~~> еьь (Ьь), ь ! (!7) Отсюда следует равенство М ~ ~ 7 (х) Ь (ссх) ~ = ~ ! 7'(х) (с псо (ссх).
(19) Введем в Ыо(й) скалярное произведение (7, д) = ~ 7 (х) а (х) то (Их). Формула (!7) устанавливает изометрическое отображение о! = = ф(7) пРостРанства 2'о(й) на 2оо(Д, если в 2'оо(Д скалЯР- ное произведение элементов т!с и о!о определяется как Мц,'и,. Замыкание пространства случайных величин 2'о(ь) обозначим через 2'о~ (Д, а пополнение 2',(й) — через 2'о(й). Аналогично неравенству (16) выводится неравенство $ ! 7(х) ! ~то~(с(х) (( $ ! 7(х) !тф(сЬ) $ ! ~(х)~~т',(с(х) ~, (20) л если 7(х)= ~, со!!д (х), Ь„ы й (й=1, ..., п).Значением этого о ль интеграла является случайный вектор (столбец) со значениями в хо. Через 2'оо (Ь) обозначим совокупность всех случайных л векторов т! вида (17). Если д(х) = ~, с( )(д (х), то ь-с М (~ ~ (х) ~ (Их) (~ д (х) ~ (Нх)) ) = ~Ч ' сает (Ьь), ь-с что можно записать в виде М ($ 7(х) ~(ссх) ($ д(х) ~(асх)) ) = $ 7(х) й'(х) т(с(х). (18) А 3! ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАЕЛГНИЯ ГЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ ЭЕВ где ~л4,' ~(А) — абсолютная вариация функции т~4.
Из неравенства (20) вытекает существование и непрерывность интеграла ~ 1 (х) д (х) т~ (с(х) как функционала от 1 н д в Ыз(лт4). Исходя из этого, изометрическое соответствие т1 = ф(1) пространства !е'4(И) иа 2~,'(с) может быть продолжено до изометрического соответствия Ыз(Щ на .е.'4Р(Д. При этом случайный вектор т1 называют стохастическим интегралом и пишут 4) =- ~ 1 (х)," (Г(х), где 7(х) ен Ж(гпо).
Аналогично понятию стохастнческой меры в скалярном случае может быть определена векторная стохастическая мера ~ (А). 5 3. Интегральные представления случайных функций Используя результаты предыдущего параграфа, можно получать различные представления случайных функций с помощью стохастических интегралов. Предположим сначала, что р-мерная векторная случайная функция $(0), 0 ен 6, может быть представлена в виде Е (8) = ~ д (8, х) Г (А(х), (1) где ь" — стохастическая мера на измеримом пространстве (Х, 6) со значениями в ХР и структурной матрицей л4(А) (мы используем здесь обозначения предыдущего параграфа), я(8, х)— скалярная функция и при каждом 0 ен 6 а (О, х) ен 2', (тэ) = Ы', (Х, 3, тэ), пц (А) = Бр т (А).
В силу формулы (18) $2 ковариационная матрица случайной функции е(0) имеет внд В(ОЦ 0 )= Мй(0,)$" (О~) = $ н(ОН х)д(ОГЕ х)т(с(х), (2) а из (19) 0 2 следует, что М~*(ОМ(8,) = ~ д(8,, х) д(О„х) ,(1х). (Э) Напомним, что (Х, 6, тч) — пространство с полной мерой, ~з(ГЕА) — гильбертово пространство 6-измеримых комплексно. значных функций с тэ-интегрируемым квадратом. йтв ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ У Через 2'2(й) обозначим замыкание в 2'2(то) линейной обо. лочки, порожденной системой функций (д(0, х), 0 ен 6).
Тогда 2'2(д) есть линейное замкнутое подпространство 2'2(то). Если Ы2(д)= 2'2(то), то система функций (й(8, х), 0 ~ 6) называется полной в 2'2(то). Пусть Д(9), О ен 6) — гильбертова случайная функция со значениями в ХР, 2'о(Е) — множество всех случайных векторов о [1 = 2, сД(82), п= 1, 2,..., 02 ен6, (4) А ! где сд — произвольные комплексные числа, н 2'2Д) — замыкание 2'о(а) в смысле средней квадратической сходимости случайных векторов. Определение. Семейство случайных векторов (т[, аен яА), т[ еи 2'2(12, 6, Р), называется подчиненным случайной функции Д(0), 9 а=- 6), если т[ ен 2'2(Ц, с! ~ А. Т е о р е м а 1. Пусть ковариационная матрица случайной функции Д(0), 0 ~ 6) допускает представление (2), где т— положительно определенная матричная мера на (Х, 6), й(О, х)еи2'2(то), 8 ~ 6, и семейство (й(0, х), 0 ен 6) полно в 2'2(Х, 2', то), Тогда $(9) представимо по формуле (1), где (ЦВ), В ~ 6) — некоторая стохастическая ортогональная векторная мера, подчиненная случайной функции $(0) со структурной функцией т( ), и равенство (1) выполняется с вероятностью 1 при каждом О.
Доказательство. Каждой линейной комбинации ((х)= ~; сей(82, х), Ооенб, А-! поставим в соответствие случайный вектор 2[, т[ = ф()), с по- мощью соотношения (4). Через 2'о(д) обозначим множество функций вида (5). Определим в 2'о(й) скалярное произведение с помощью соотношения ([! [2) 1 [! (х) [2 (х) п[о (йх) (О) Соответствие т[ = ч!()) является изометрическим отображением 2'о(й) на 2'о(з). Следовательно, оно может быть продолжено до изометрического отображения 2'2(й) на 2'2(Е). Если В ~ 6, то 1[в(х)ыЯ'2(то) = 2'2(д) в силу полноты семейства функ- ций (й(0, х), 8 ен 6). ПОЯОжим ~(А)= ф(дл).
Тогда ~(А) Яв- ляется векторной стохастической мерой н ее структурная функ- ция совпадает с т: М~ (А) ь (А) = $ Х, (О) у„(0) и (йО) = [и (А, П А ), интвгглльныв пввдстгвлвния слтчлиных етнкции вт1 Определим теперь случайную функцию $(О) с помощью стокастического интеграла $(0)= ~у(8, х)~(йх). Так как МВ(О)~*(А) = $ д(0, х))(„(х)пг(йх), то из изометричности соответствия ц =ф(1) следует равенство М$ (О) $' (О) = $ д (О, х) д (О, х) и (йх). Отсюда получаем МД(0) — $(0) Р= = МВ*(ОД(0) — МВ'(0) В(0) — МВ'(0) К(0)+ М~'(0) В(0) =О й(1п 1,) =)с(1, — Цг)= ~ егчиь ьвР(йи), (7) где Р( ) — неотрицательно определенная матричная мера (спектральная матрица процесса).
Выражение (7) является частным случаем (2), в котором функции д(О, х) соответствуют е'"~, 0 1, х- и, причем совокупность функций (е'"', — со ~ = и ( оо) является полной в 'Гг(т,), где ть — любая ограниченная мера на прямой. Таким образом, применима теорема 1 и мы получаем следующий результат. Т е о р е м а 2, Векторный стационарный с.
к. непрерывный случайный процесс Ц1) ( — со ( с ( со), Мс(1)= О, допускает представление $(1)= $ еы'~(йи), (8) где Ь(А) — векторная ортогональная стохастическая мера на 6, подчиненная $((). Между 2'г[з) и 2'з(Рь) где Ро(.) = ВР Р('). существует изометрическое соответствие, при котором а) $(г)»е'", ь(А)ч-»)(л(и); что и доказывает теорему. ° Приведем ряд примеров на применение доказанной теоремы. Ради краткости условимся до конца настоящего параграфа писать «стационарный процесс» вместо «стационарный в широком смысле».
Корреляционная матрица стационарного и с. к. непрерывного процесса может быть представлена в виде (см. $5 гл. 1) 272 линвйныв пРЕОБРАзовлння случлиных пвоцвссов [гл. ч б) если тц~-+у~(и) ((=1, 2), то ч ~ = $ Ь (и) ь Ни) М т1,п, = ~ д', (и) д, (и) Р (и). Формула (8) носит название спектрального разложения стационарного процесса, а мера ь(А) — стохастической спектральной меры процесса. Из теоремы 2 следует, что М~(А,) ~'(А,) = ~ Г(г(и) = Г(А, Д Аз), А~ПА1 т. е. Г( ) является структурной функцией векторной стохастической меры ь( ) 3 а меч ание 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
