И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 44
Текст из файла (страница 44)
(~ма) а (7) условимся понимать предел и.. ( ~ею (и.. )и~а). а Для существования этих интегралов в силу леммы 1 необхо- димо и достаточно существование пределов и и' У М' ч ( ( вр, чаю* ~ и ( ( в[~,,>юа,). ~'" '+ -и -и' а а часто определяют как с. к. предел интегральных сумм и Х ь(г,ь) ог,ь М„,=(„~., „'а'=~„,<(.,< ... <~.„=Ь. Для существования с. к. предела этих сумм в силу леммы з' необходимо и достаточно существования предела М Ь((..)б~.. Х~(..) Л~. = Е й В((., ~.,)б:а., при и, т — со, т. е.
интегрируемости по Риману функции-. В(1, з) (а «(, з «б). Таким образом, данное определение ин- теграла является более узким по сравнению с первоначальным,. но зато оно не связано с понятием измеримости процесса. Легко. убедиться, что, когда применимо последнее определение инте-- грала, оно приводит (птод Р) к тому же результату, что и ис- ходное. Действительно, ь л 2 м ~~р)(( — „"'~((„,)л~„= й ь! л л '~ь гильввгтовы слтчкиные етнкцнн 253 Для стационарного процесса в широком смысле )с(1, з) = = !т(1 — е).
Так как тт т Р (! е)йдз т ~ с (1)~! ~ ~ )й о о -т то получаем следующий результат. Т е о р е м а 2, Если Ь(1) — стационарный в широком смысле процесс, то для выполнения равенства т !й.т.— ! ь(!) й= МТ(!) (10) о необходимо и достаточно, чтобы т Вш — ' 1)((!)(1 — !Н) й=О. (11) т -т В частности, условие (1!) выполняется, если среднее значение корреляционной функции равно нулю: т ! т- 2Т !1ш — ~ !т(з) де= О. -т Выразим условие (11) через спектральную функцию процесса. Имеем т т — ~Р(Г)~! — — )й= ~ Р(ди) — „~еи (1 — ф)й, -т -т откуда т ~ )((1)(1 ) й ~,, Р(д ) =Р(0)+ 1 2(1,гт"! Р( ), где Р(А) = Р(А' (0)), (0) — множество, состоящее из одной точки и = О, Нетрудно видеть, что при Т- оо последний интеграл стремится к нулю. Поэтому т — , '1)1(1)(1 — —,"!) = (О). т+ -т Таким образом, имеет место 254 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ Ч Теорем а 3.
Для стационарного в широком смысле процесса равенство (10) имеет место тогда и только тогда, когда его спектральная функция непрерывна в точке и = О. Дифференцирование. Пусть (ь(Г), [ен(а, Ь))„— Оо < а <[ «= Ь ~ + сс, — ГИЛЬбЕртОВ СЛуЧайНЫй ПрОцЕСС. О п р е д е л е н и е. Случайный процесс (~((), [ ее (а, Ь)), с. к. дифференцируем в точке [о (дифференцируем в среднем квадратическом), если существует ь'«) — 1[[и " ' ( [+й~(а Ь) о-оо ь Случайная величина ь'((о) называется с. к.
(среднеквадратической) производной случайного процесса в точке [о. Легко найти необходимые и достаточные условия с. к. дифференцируемости случайного процесса. Так как М й ([о+ ь) — й «о) ~ ((о + ьз) — й ([о) ь ь, ь [, (8«а+ Ф [о+ Ь[) В«о (о+й[) В«о+В оо)+ Д «о [о)) [ то в силу леммы 1 для с. к, дифференцируемости процесса с„([) в точке Гр необходимо и достаточно, чтобы существовала обобщенная смешанная производная В ([о + А, [о + ау) — В ([о.
[о + Ь!) — В «о + Ь, [о) + В «о' [о) !ип ьь А, О,-ОО 1 Из с. к. дифференцнруемости процесса в точке г' и неравенства ~М(~() — '«+"' '"))~~~М~~'«) — '"+"' '") ) ~'и следует (13) М~'([) = г М~«), причем производная справа существует. Если процесс Г([) с. к. дифференцируем в каждой точке интервала (а, Ь), то производная ь'([) образует гильбертов случайный процесс на (а, Ь). Т е о р е м а 4. Пусть (~([), ( ~(а, Ь)) — гильбертов слу,чайный процесс и обобщенная производная доВ «, [') .' 1,, ГИЛЬБЕРТОВЫ СЛУЧЛИНЫЕ ФУНКЦИИ существует при каждом значении ( еи(а, Ь). Тогда процесс г'(() с. к. дифференцируем на (а, Ь) и Вся'«1) в)а (14) а) (15) где Вг г «, !') = Мь'«) ь' «') — ковариация процесса ь'«), а Вс с «, !') = Мь'«) ь «') — взаимная ковариация процессов ~' «) и ь«).
В доказательстве нуждаются лишь формулы (14) н (15). Имеем Вс,«, !') = М~«')~'«) = =1!ш Мг,«') ~ —, с 4()+«) — й()) х . в()+«, у) — й(ц у) ) =!пп « «~О И Следовательно, производная ' существует и взаимная вв(и и) ковариация процессов ь'(() и ь(() дается формулой (15). Далее, Всг «,!)= !Цп М (й( +') г( ))(й(+ «,«О «'« в («+ «, у+ «') — в (ц у+ «') — в () + «, у) + в (о р) 1пп ««' «,« .«О Отсюда вытекает существование обобщенной второй производной дгВ (г у) (в условии теоремы предполагалось только, что эта производная существует при ( = У) и формула (!4). ° Если процесс ь(() стационареи в широком смысле, то В ((, У) = !1(( — У) и из теоремы 4 вытекает С л е д с т в и е 1.
Для с. к. дифференцируемости стационарного в широком смысле процесса Ь(!) (( ~ Т) необходимо и достаточно существование обобшенной второй производной корреляционной функции В(() при ( = О. Если это условие выполнено, то существует обобщенная производная — „, и г(гй (П г(гй (() )зс'с' «О (О+ !) шг (сс с «О+ ! (О) =)(с с «) = — „, ей (() Аналогичные результаты имеют местс, и для с. к. производных высших порядков.
256 лнпинныи пгиовилзовлния слхчлпных пгоцассов игл. и С л е д с т в и е 2. Если ь(Г), 1 еи ( — со, со), — процесс, стационарный в широком смысле, и ~ и'Р (ди) < со, где Š— спектральная мера процесса, то процесс г,(~) с. к. дифференцируем, процесс (ь'(1), Ь(Г)) стационарен в широком смысле и его матричная корреляционная функция )с'(1) имеет вид Разложение случайного процесса в ортогональные ряды. Пусть (Ь(г), г еи [а, Ь)) — измеримый с. к. непрерывный гильбертов процесс. Его коварнация В(1ь гг) является непрерывным неотрицательно определенным ядром в квадрате (а, Ь) 'х((а, Ь). Согласно теории интегральных уравнений ядро В(~ь 1г) может быть разложено в равномерно сходяпгийся ряд по своим собственным функциям р„(Г): В(бн Гх) = Х ХЛ„(1)Ф„(1 ), л где Х„<ь„(() = ~ В ((, ю) ~Г„(в) йв, ~ <р„(1) ~р„, (Г) Ж = Ь„,„, причем собственные числа Х„положительньь Положим Этот интеграл сугцествует (теорема 1), и в силу следствия из теоремы ) ь ь МЫ = ~ ~ В (Г, е) Ь (Р) Ч„(в) Ж йв = д„б„, а а ~ еи'и'Р (Ии) — ~ е '!"Ьиир(йи) ~ е "шр(йи) $ ен"Р (ди) ГильвеРтовы случдиные Функции 257 т.е.
последовательность случайных величин $„(п *= 1, 2, ...) является ортогональной. Далее, МЬ(1) ~„~ В (1, з) ~ра(з) йз =А„<р„(1). а Отсюда следует, что М ь(1) —,Х вдЧьд(1) = В (1, 1) — 2 Е ч,(1) М~ (О 1, + Х Р„~ ч, (1) Г = л =В(1, 1) — Е)ь,[р,(1)Р О при и -+ ьо равномерно по 1 в силу теоремы Дини. Т е о р е м а 5. Измеримый с. к. непрерывный гильбертов процесс ь(1), 1 ен [а, Ь), может быть разложен в ряд 1(1) — Х амид (г) д-1 сходядцийся в жд при каждом 1~ [а, о). В этом разложении $д — ортогональная последовательность случайных величин, М1тд1д = Лд, Хд — собственные числа, фд(1) — собственные функции ковариации процесса. 3 а м е ч а н и е. Если процесс ~(1) гауссов, то его с.
к. прод изводная и интегралы вида ~ [(1)~(1)й1 являются гауссовыми а случайными величинами. Поэтому, если ь(ь) — вещественный гауссов процесс и Мь(1) = О, то коэффициенты $д ряда (16) являются независимыми гауссовыми величинами и ряд (16) сходится с вероятностью 1 при каждом й Действительно, независимость величин ад вытекает из их ортогональиости и гауссовости.
Для сходимости ряда (16) с вероятностью 1 достаточно, чтобы сходился ряд ~, МЯдЧьд (1))д = д 1 = К Хд! ~Рд(1) 1д. Но Уже Упоминалось, что этот РЯД схоДитсЯ д-1 (и его сумма равна В(1,1)). В качестве примера рассмотрим разложение в ортогональный ряд процесса броуновского движения на отрезке [О, 1].
При этом Ь(0) = О, МьЯ О, Рь(1) = 1, В(1, э)= Мь(1)ь(э)= = тп)п(1, э). Собственные числа и функции ядра В(1, э) легко 258 линаиныа пэаовэлзования слтчхиных пгоцессов ~гл. ч находятся. Из уравнения Л„ф„(1) = ~ щ(п(1, з)ф„(з)Нз= ~ яр„(з) гЬ+ ~ Ьр„(з) сЬ имеем Ч~ (О) = О, Дифференцируя по 1, получим Л„ф„'(Г) = 1 = ~ ~„(з) дз, откуда Ч~„'(1) = О. Повторно дифференцируя, придем с к уравнению Л„ф„" (4'= — у„(1). Нормированные решения последнего уравнения, удовлетворяющие граничным условиям е (0)=0, ~р',(1)=0, имеют вид ф (4=1/2з(п(п+-)п1, Л,~=(п+ — ) и', п=О, 1..., Таким образом, (17) где $„— последовательность независимых гауссовых случай. ных величин с параметрами (О, 1).
При фиксированном 1 этот ряд сходится с вероятностью 1. Другое разложение процесса броуновского движения может быть получено следующим образом. Положим Г(1) = Ь(1) — 1Ь(1). Тогда $(1) — гауссов процесс с ковариацией В~ (1, з) = = гп)п(г, з) — 1з и ва$(1) = О, Собственные числа и функции ядра В~(1, з) находятся так же, как н в предыдущем случае. Мы приходим снова к уравнению Лр„"(г) = — ф„(г) с граничными условиями ф (0)= ф„(1)= О, решения которого имеют вид ф„(1) =~/2 з(плпГ, Л„' = и'и', п=1, 2,... Таким образом, СО И) = 1(1) — 11 (1) = 1/2 ~', $л — „„ где $„(п = 1, 2, ...) — нормированная последовательность независимых гауссовых случайных величин, причем 1 $,=1~2 ~ $(1) з(ппптсй.
о стохлстические меРы и иг!тегРАлы Так как Мь(1) =1, Мьа(1) =1, М$аь(1) = ~/2 ~ М (ь(!) — гь(1)) ь(1) з!пни(й! =О, о то, положив ~ь = ь(1), получим ь (г) = ф~ + х/ 2 ~~~ ~$„—, (18) а ! где $ь $» ..., $„..., независимы и имеют нормальное распределение с параметрами (О, 1). Характер сходимости ряда (18) таков же, как и у ряда (!7). $2. Стохастнческие меры и интегралы В ряде вопросов важную роль играют интегралы, записываемые в виде ~ ) (!) йь (г), а где Г'(!) — заданная неслучайная функция, а Ь(!) — случайный процесс.
Реализации процесса ь(Г), вообще говоря, являются функциями неограниченной вариации, и интеграл (1) нельзя понимать как интеграл Стилтьеса или Лебега — Стилтьеса, существующий почти для всех реализаций ь(!). Все же и в этом случае интеграл (1) можно определить таким образом, чтобы он обладал свойствами, присущими обычному интегралу.
В настоящем параграфе дается определение и рассматриваются свойства интеграла, соответствующего интегрированию по случайной мере. Такие интегралы называются стохастическим и. Пусть (11, 6„Р) — вероятностное пространство, 2'2 —— = Я2(Я, 6, Р), е — некоторое множество и л) — полукольцо подмножеств Е. Предположим, что каждому Ь ~ е!1 поставлена в соответствие комплекснозначная случайная величина ь(Ь), удовлетворяющая следующим условиям: 1) 1(Ь) ЕБ'е2, 1(я) =О; 2) ь (Ь! 0 Ь2) = ь (Ь!) + ь (Ь2) (щей Р), если Ь, () Ь2 = 0; 8) М ь (ь !) ь ( ~2) = н! (ь! ! ! ! !2) э где о2(Ь) — некоторая функция множества на е!1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
