И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Оказывается, что для частного случая процессов с слтчкиныв отнкции !гл, !ч независимыми приращениями условия теоремы 1 являются также и необходимыми. Т е о р е м а 4. Если процесс $(!) с независимыми приращениями непрерывен, то условие (1) выполняется для произвольной последовательности (т„ы й = О, ..., т„), п = 1, 2,..., разбиений отрезка [О, Т), для которой Х„- О.
доказательство. Положим Ль = эпр р [е(!!), е (!е)) В си чу !!~-!1!<ь непрерывности процесса 5(!), Ль- О при й- О с вероятностью 1. Поэтому !пи Р(Ь„> е) =О. С другой стороны, если к„< й, то ь-ьо Р (Ль > е) ~> Р (впр р [е (т„ь), $ ((„ь !)[ ) е) = =Р(р[в(!ы) В(! о)) > е)+ Р(р[$(! !) В(!ло)) <е) Х т — ! о Х Р Ы((а) 1(! )[ > е) + ° ° ° + П Р (р[1(!ль) $(!чь-!)) <е) Х ХР(р~$(!. „),$(1„,„„!Ц>е)=» И\ )Р(Льве) Е Р(р[ч(!оь), $((,ь-!)1 >е), ыо откуда ~~ Р(рК(1„ь), в((„ь !)[) е)< р "< — О при й — О и ь-! любом е > О. ° С л е д с т в и е.
Случайный процесс $(!) с независимыми прираи!ениями непрерывен тогда и только тогда, когда е(!) является процессом броуновского двилсения с непрерь!вным средним а(!) = М5(!) и непрерывной дисперсионной матрицей В(!). Это следствие вытекает из теоремы 4 и теоремы 1 2 3 гл. 1. Условие Колмогорова непрерывности случайного процесса. Докажем одно удобное прямое (т. е. не использующее предположения об отсутствии разрывов второго рода) достаточное условие непрерывности случайного процесса.
Оно основывается на упрощенном варианте лемм 3 и 4 $4. Л е м м а 1. Пусть $(!), ! ~ [О, Т), — сепарабельный процесс, удовлетворяющий условию: существуют неотрицательная монотонно неубывающая функция д (!!) и функция д (с, !!), Ь ) О, такие, что Р(р($(!+ й), $(!)) ) Сй(!!)) (д(С, й) (3) б= ~д(2 "Т)< оо, 1;)(С)= Х2"у(С,2 "Т) < оо, (4) нвпгегывиыв пгоцвссы фи 241 Р 1 р р (5 (1'), В (1ь)) > Со И!аз — 3 ) 1 ( ((~(~1а — 2~ с). (6) где 6(т)= 2, а(2 "Т), Я(т, С)= 2 2"д(С,2 "Т).
(7) Для доказательства этой леммы достаточно повторить в упрощенном виде рассуждения из доказательств лемм 3 и 4 3 4. Ограничимся самыми краткими указаниями. Вводим события Аль=)Р($( 2ь Т) ° в(2ь Т))(~са(2 Т)~, Й=0,1,..., 2" — 1, а=0,1,2,..., н полагаем 1У = П П А„ь. Тогда ь ы 4 О Р(П„)(~(п, С). Из 1)„вытекает, что для любых 1' и 1" из Х рф(1'), 5(1")) ~(2СО; если же, кроме 0„, выполнены неравенства 0 «.. 1" — 1'( 2- Т, то р($(г)), $(Р')) .. 2СП(п). Рассуждая так же, как и при окончании доказательства упомянутых лемм $ 4, получим требуемое. При этом следует иметь в виду, что из ус'ювий (3) и (4) вытекает стохастическая непрерывность процесса 5(1).
° Те о р ем а 5. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда процесс 5(г) непрерывен. В качестве частного случая, когда условия (3) и (4) оказываются выполненными, рассмотрим процесс, удовлетворяющий условию (5(),5( И (8) где р > О, с > О. Положим а(Ь)=Ь' н', где 0 < с'<г. Тогда С(~1азЯ)(К1а'". а Я([!а2 1 С)(~с ьКзем ', где К~ и Кз — некоторые постоянные. Из теоремы 5 вытекает Тогда Р ( зпр р(ь(1'), ~((ь)) > У) -Я(д ) (5) случлнные Функции 242 1гл.
!ч Следствие 1. Если сепарабельный случайный процесс е(!) удовлетворяет условию (8), то он непрерь!вен. Приведем еще одно условие, обеспечиваюшее выполнение предположений (3), (4), более общее, чем (8). Пусть Мрь [$ (1), $ (1+ Ь)] (,„,, р < т. (9) !1Ел!Л|!'"' ' Если положить д(Ь) =!!и,! Ь ! ! ' 'Р, где р < т' < т, то получим Поэтому ! Р(!$(1+Ь) — $(1)!) Сд(Ь))= е ' Ж, Ч/2п д где а = Сд(Ь)о-!((, Ь). Воспользовавшись неравенством О в-в!2 й( ( е-пчг 1 -а а (! 0) которое нетрудно получить, применяя к левой части неравенства интегрирование по частям, получим с*в~ !л! Р(!а(1+Ь) — 5(1)!) Сд(Ь))(= — 'е гы!' "!.
(11) .Ч2п Сд (6! Т е о р е м а б. Если гауссов процесс удовлетворяет условию К от(л, Ь)(, р, (12) то он непрерывен. Доказательство. Положим й(Ь) ==! !и!Ь !! Р, где р' — любое число, удовлетворяющее неравенству 1 < р < —. Тогда р — 1 С л ед с т в и е 2. Если сепарабельный процесс $(!) удовлетворяет соотношению (9), то он непрерывен. Гауссовы процессы. Применим предь!душие результаты к одномерному сепарабельному вещественному гауссовскому процессу $(1), !ее(0, Т], с корреляционной функцией Д(1) и средним значением О. Разность $(1+ Ь) — $(1) имеет дисперсию ог (1, Ь) = ь! (1+ Ь, 1+ Ь) — 2Я (С 1+ Ь) + Я (1, !). СУБМАРТИНГАЛЫ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА 243 можно принять д(с, й) = ~, . 5к н""') с~(Б)А~) "- ' и ряды (4) будут сходиться.
Отсюда вытекает утверждение тео- ремы. ° й 6. Субмартингалы непрерывного аргумента Субмартингалы (супермартингалы, мартингалы) были введены в $ б гл. П1. В настоящем параграфе будет показано, что при весьма широких предположениях субмартингалы (а следовательно, супермартингалы и мартингалы) обладают непрерывными справа модификациями. Прн этом теоремы о существовании сепарабельной модификации не будут использованы.
Отметим сначала, что установленные в $1 гл. П1 неравенства для субмартингалов последовательностей без труда переносятся на субмартингалы С(Г), заданны на произвольном счетном множестве 5 с: [О, оо). Пусть (б,, Ген 5) — некоторый поток а-алгебр, С ) О. Если (В(1), бн 4 ен5) — субмартингал, то Бор МБ (О Р( прй((»С) ="' 5аэ а) б) пусть у([а, Ь1, 5) — число пересечений отрезка (а, 01 сверху вниз функцией 1(() = В(Г, Го) на множестве 1ы 5.
Тогда 5БР М(5(Г) — Ь) МУ([а,ь1,5)( ' ' С (2) в) если при некотором р > 1 М[Ц+(1)) ( со, то Маврам+(1)3'(0'зпр МГд+(1)3', Доказательство такое же, как и в случае, когда 5 — последовательность 5 = (1, 2,..., а,...). Рассмотрим субмартингал (В(Г), еь Г ен [О, оо)). Предположим, что )уо содержит все множества вероятности О. Покажем, что прн довольно широких условиях существует модификация процесса в((), выборочные функции которой с вероятностью 1 имеют пределы слева ((.Р 0) и непрерывны справа для любых т ) О.
С этой целью выберем некоторое счетное всюду плотное на [О, оо) множество 5 и рассмотрим сужение в(() на 5. СЛУЧАИНЫВ ФУНКЦИИ !гл. ту Положим Мввв=(еи т((а, Ь), 5П (О, п) ) =со), рВ(г) =+, 1 =5П(О, п] ), Е =(ви 1п1$(1) = — ФФ, 1еи5П(0, п) ). Из неравенства (2) следует, что Р(1т'„вь) = 0 для любых п, а, Ь.
Так как Р (Е.") «< 2: М 11 пт т (( — й, — пт), 5 П [О, и) ), в-! А+а то в силу того же неравенства (2) Р(Е,) < 7 Вт ('1 ~+'1 =О. Хв А„Ь вЂ” Вт ' А>Ф Наконец, из неравенства (1) следует, что и Р(Е,) =О. Пусть )У = Ц И Ц й„.,) () Ев() Е„") где а и Ь пробегают множество рациональных чисел. Тогда Р(й() = О. Нетрудно теперь увидеть, что если ьт И ту, то в любой точке 1 В(з), з ~ 5, имеет пределы слева В(1 — 0) и справа $(1+ 0).
Действительно, если бы при некотором 1 хотя бы один из этих пределов не существовал бы, например В(1 — 0), то величины Ь'=11щй(з), а'=1пп$(з) были бы конечными и не 8 «т <т в<! равными друг другу. Но тогда для произвольной пары рациональных чисел (а, Ь) таких, что а' < а < Ь < Ь', число пересечений отрезка (а, Ь) процессом $(з), з я 5, з < Е было бы бесконечным, что противоречит условию ьт ф ЬЕ Положим для любого 1) 0 т1(1)= ~(1+0), если ет Фтт', и т1(1)= К(1) при ьт еи тт'. Тогда при ет тте 1т' функция т1(1) при каждом 1) 0 непрерывна справа и имеет предел слева (т1(( — 0) = $(1 — 0)). Введем о-алгебры 6,+, 1) О, положив бт+ — — П б,.
Очев>т видно, что (5,+, ~ ) 0) образуют поток о-алгебр, йт+ содержат все подмножества вероятности 0 и т1(~) 8,+-измерима. Покажем, что (т1 (1), 8~+, т ) 0) — субмартингал. Так как последовательность $(з„), з, зт ~... ) з„ )..., з„) з, равномерно интегрируема и сходится к т)(з) в 2'ь то в неравенстве )ть.~вв<)1м~вв, *„<в в в„ а сувмАРтинГАлы непРеРНВнОГО АРГумГПТА можно перейти к пределу при и — Оь.
Получим ~ т) (в) й ~ ~ ~ (!) Л . Аналогично убеждаемся, что в правой части последнего неравенства можно заменить в(!) на т!(!). Получим ~ т! (В) дР ( ~ т! (!) »(Р. (4) в в Это доказывает, что (т!(!), ттс+, ! ) 0) — субмартингал. Т е о р е м а 1. Пусть (в(!), 6», ! ) О) — субмартингал, 5,+ = !ус и функция а(!) = Мв(!) непрерывна справа для всех ! ) О, Тогда существует модификацня (»1(!), 5„! ) О) процесса в(!), выборочные функции которой с вероятностью 1 при каждом ! непрерывны справа и имеют пределы слева. Доказательство. Достаточно показать, что ранее построенный процесс (т!(!), 5„! ) 0) является модификацией заданного процесса.
Аналогично неравенству (4) получаем ~ й(в)йР() т1(!)»(Р 7(1, В), !)в„ВЕЕ5„ в в или $(з) = М(т!(!) !тт,), з = й Так как величина т!(!) 5,-измерима, то $(!) ч- М (т1(!) ! 5») =т! (!) =$(!+ 0) (псоб Р). В силу равномерной интегрируемости последовательности ~(1„) при 1„4 ! М (~ (! + 0) — $ (!)) = !Нп М ($ ((„) — ь (!)) = !нп (а ((„) — а (!)) = О, с„тс с„т» что вместе с предыдущим неравенством дает ~(!+0)=~(!) (Нсоб Р). 3 а м е ч а н и е. Условие !Ус+ = — !Ус было использовас»О только цля того, чтобы иметь возможность утверждать, что »1(!)— Вс-измеримая случайная величина.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
