И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Доказательство. Пусть )' = (5) — счетное множество сфер в 8, введенное в доказательство теоремы 1, У = (Ом й = 1, 2, ... ..., и, ...) — множество сепарабельности случайной функции у(0, а), й[ — исключительное множество значений а, фигурирующих в определении сепарабельности, и Л вЂ” произвольное всюду плотное множество точек в 6. Пусть В(5, а) обозначает замыкание множества значений д(0, а), когда точка О пробегает Л () 5, а Л[(5, й) — событие, состоящее в том, что д(0», а)~ а В (5, а), если О» ен 5. События М(5, й) илеют вероятность О, Действительно, пусть у„, т = 1, 2, ..., п, ..., — произвольная последовательность точек из Л П 5, сходящаяся к 0», Тогда Р(д(0», а) Ф В(5, со)) (Р ( !!щ р(д(О», а), д(у„, со)) > 0) ( /.» ( ![и[ Р ( !1[п р(д(О», а), д(у„а)) > — ~ ( л-» (!!гп 11п[ Р~р(д(0», а), д(уо а)) > — ~ О. »-» Пусть М'=() () )у'(5, (г), тогда Р(й[')=О.
Если аФЛ[()й[' зе»з н я(у, и) енР для всех уев ЛП6, где 6 — некоторое открытое множество, а Р сХ замкнуто, то для любого О» ен 6 и 5 такого, что О» ен5с6, имеем д (0», а) я В (5, й) с: Р. Из определения множества (О») отсюда вытекает, что д(0, а)ен ен Р для всех 0 ен 6 н а ф [»[[) [[['. Таким образом, множество Л удовлетворяет условию определения множества сепарабельности случайной функции. ф ИЗМЕРИМЫЕ СЛУЧАЯНЫЕ ПУНКЦИИ й 3. Измеримые случайные функции Пусть 9 и Х по-прежнему обозначают метрические пространства с расстояниями г(9„9э), р(хь ле) соответственно, д(О,Ы) — случайная функция со значениями в Х и с областью определения 6, а — элементарное событие вероятностного пространства (Й, Й, Р).
Допустим, что на 9 определена а-алгебра множеств Ж, содержащая борелевские множества, и на Ж вЂ” некоторая полная мера гп. Через о(м Х Я) обозначена наименьшая а-алгебра, порожденная в 8 Р', 11 произведением о-алгебр м и З, а через б(й Х чт) — ее пополнение относительно меры и,х', Р (см. гл. П, з 2). О п р е д ел е н и е, Случайная функция д(0, ы) называется измеримой, если она измерима относительно б(м' ХЗ).
По определению случайная функция у(О,ы) при любом 9» 0 Я-измерима. Если же случайная функция измерима, то в силу теоремы Фубини д(0, ы) й-измерима, как функция от О Р-почти для всех м. Иными словами, ее реализации й-измеримы с вероятностью единица. Рассмотрим теперь условия, обеспечивающие сушествованне для данной случайной функции стохастическн эквивалентной, измеримой и сепарабельной функции. Теорем а 1.
Пусть О и Х вЂ” компакты и мера тп конечна. Если для т-почти всех О случайная функция у(0, в) стохастически непрерывна, то существует измеримая сепарабельная случайная функция д'(О, в), стохастически эквивалентная функции д(0, а). В силу теоремы 1 $ 2 для функции д(9, ы) существует стохастически эквивалентная сепарабельиая случайная функция д(0, а). Пусть ! — множество сепарабельности функции д(0, в). Как прежде ($2), Л(6,в) обозначает замыкание множества значений у(0, а), когда 0 пробегает множество 6 П.(, и А(0, ы)— пересечение всех множеств вида А (5,в), где 5 — произвольная открытая сфера из $' ($2), содержащая О.
В силу сепарабельности у(0,в)»А(О,м) почти наверное (т. е. прн мфЛ', где Р(й) = 0). С другой стороны, если функция у'(О, а) такова, что у'(О, ы) — уе(0, ы) при 0»1 и д'(О, ы)» Я(О, м) (~ ф Л", Р(й') = 0), то д'(О, в) — также сепарабельная случайная функция (лемма 1 О 2). Построим функцию д'(О, ы), обладаюшую только что указанным свойством, стохастически эквивалентную функции у(0, м) и измеримую относительно о-алгебры а(Ю;к', Я). Расположим точки Т в последовательность (9Н Оэ, ..., О, ...), и пусть г„= пнп(г(хм х,), й, з = 1, ..., п). Для каждого и построим конечное покрытие множества 9 сферами 5",, ..., 5~, Радиус которых равен г„/и, с центрами в точках 01. При этом СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ 1гл ш предполагается, что 0~ = 81 при у = 1, ..., и, а остальные точки Ог ((=а+ 1, ..., ]„) выбраны из У произвольно, лишь бы соответствующие сферы образовывали покрытие тт.
Положим д„(6, в) =й(ОИ в) при 1'еи5», й =1, 2, ..., а (эти сферы не пересекаются, так что приведенное определение корректно), и й„(9,в) = д (6~, в), если О еи 5," ', [] 5в / = » ! =и+ 1, ..., г„. Заметим, что и„+ (9„, в) = д(6„, а), д„(0, в)— борелевская функция аргумента О при фиксированном в и о(ЯХЖ)-измеримая функция по паре аргументов (О, в). Кроме того, р(к (О а) д(0 в)] р[к(0» а) д(0, в)1 г[9», О) < — '". причем Р (д (О, в) М д (8, а)) = О. (2) Положим теперь д*(8, в) =д(9, а), если 8 ы.:1. или если (О, в) аи К; Л'(О, в) =д(8, в), если О ФЕ и (О, в) ей К. функция д" (В, в) совпадает с д(О, в) т Х Р-почти для всех (О, в), и поэтому она а(йХЖ)-измерима.
Далее, а" (О, а)=д(9, в) при О вил, так что А*(0, а) =А(6, а), где А*(0, в) — ранее определенное множество А (8, в), построенное по функции д (О, в) Ясли положить б„р(8) = Р (в: р (д„(6, в), д„+ (9, а)] > е), то в силу условий теоремы и-почти для всех О О„р(0)-» О при а — »оо для любого е > О. Поэтому (т Х Р) ((О, а): р (д„(8, в), д„+р (О, в)] > е) = = ~ О„р(0) т(г(9)- О при п- оо е для всех е > О, т. е.
последовательность п„(9, а) фундамен- тальна по мере т Х Р. Из нее можно выделить подпоследова- тельность д„(6, а), сходящуюся т х Р-почти всюду к некото- рой аф Х е)-измеримой функции д(9, в). Множество точек (О, в), где эта сходимость не имеет места, обозначим через К. Из построения следует, что можно считать (Оь в) ф К. Очевидно, что при (О, а) ф К д(6, в) ~ Х(8, в).
Далее, если ь — множество точек О, в которых функция д(0, в) не является стохастически непрерывной, то из (1) следует, что при О ей». 227 ИЗМЕРИМЫЕ СЛУЧАЛНЫЕ ФУНКЦ!!И ч э! н множеству 1, и д'(О, ы)ЕЕА(0, в)=А" (О, ы). Таким обра- зом, функция д'(О, ы) сепарабельна. Учитывая (2), получаем р (а'(О, ы) чь д(0, ы)) = 0 для всех О ы ЕР, т.
е. д (9, в) и д(0, ы) стохастически эквивалентны. ° Приведем ряд замечаний, обобщающих теорему 1. 3 а м е ч а н и е 1. В теореме 1 требование компактности про- странств 6 и Х может быть заменено требованием локальной компактности н сепарабельности, Действительно, компактность пространства Х нужна была только для возможности сослаться на теорему 1 5 2. Теперь можно ссылаться на теорему 2 5 2. При этом сепарабельное и измеримое представление д*(0, ы) функ- ции д(9, ы) принимает, вообще говоря, значение из некоторого компактного топологического расширения пространства Х. Да- лее, если пространство 9 локально компактно и сепарабельно, то его можно представить в виде суммы счетного числа компак- тов. К каждому такому слагаемому в отдельности применимы предыдущие рассуждения, откуда следует утверждение теоремы и для объединения.
Более того, прн этом мера т не обязана быть конечной, достаточно, чтобы она была а-конечной. Замечание 2. Утверждение теоремы 1 имеет место для того случая, когда 6 и Х вЂ” евклндовы конечномерные простран- ства н мера (т, зг) есть лебегова мера в 19. Заметим теперь, что доказательство теоремы 1 упростилось бы, если не требовать сепарабельностн измеримого представ- ления заданной случайной функции. Множество 7 при этом не привлекалось бы к рассмотрению.
Из свойств пространства Х использовалась бы только полнота пространства. 3 а м е ч а н и е 3. Если Х вЂ” полное метрическое пространство, -чт — локально компактное сепарабельное пространство, т — о- конечная мера на о-алгебре, содержащей борелевские множества 6, то случайная функция у(0, в) со значениями в Х, 0 ее 8, ы еп 11, стохастически непрерывная т-почти для всех О, стохасти- чески эквивалентна измеримой случайной функции. Следующий результат, имеющий важное значение, непосред- ственно вытекает из теоремы Фубини.
Теорема 2. Пусть е(0) =д(О„Ы) — измеримая случайная функция, аринима1ощая действительные значения. Если ~ М~ЦО) ~т(йО) < е то для любоео множества В ен й ~ Ме(О)т(с(0) = М ~ $(0) т(йО), в в Последнее равенство означает перестановочность знака ма- тематического ожидания и интеграла по параметру. слхчхпныа Функции 1гл цт 228 5 4. Критерии отсутствия разрывов второго рода Функции без разрывов второго рода.
Пусть $(1),1еп [а, Ь],— случайный процесс со значениямч в полном метрическом пространстве Х. О и редел ен и е. Если с вероятностью 1 выборочньле функции процесса для каждого 1 ен (а, Ь) имеют пределы слева и справа, а в точке а (Ь) предел справа (слева), то говорят, что процесс не имеет разрывов второго рода на отрезке [а, Ь].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
