И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 38
Текст из файла (страница 38)
п. Конечно, следует ожидать, что возможность получения представления, обладающего специальными свойствами, определяется конечно- мерными распределениями случайной функции. Аналогичные задачи возникают не только для случайных функций в широком смысле. Случайная функция д(0, г«) можеу обладать «патологическими> свойствами, но для нее может существовать стохастически эквивалентная «сглаженная» функция д'(О, гэ), Р(д(0, гэ) Ф д*(0, гэ)) = О, которая уже не «патологична», В соответствии с принятой точкой зрения на стохастически эквивалентные функции при решении интересующих. нас задач допустима замена такой функции на стохастически эквивалентную регулярную функцию д*(0, гэ). Приведем один пример.
Пусть А — множество рациональных. чисел иа прямой ( — оо, оо), у(1) — индикатор множества А и гэ — равномерно распределенная на [О, Ц случайная величина. Положим д((, в) = у((+ гэ). При любом фиксированном гэ функция д(г, гэ) всюду разрывна. С другой стороны, при случлииые Функции '220 фиксированном 1 функция у(1, га) равна О с вероятностью 1. Таким образом, с вероятностью ! всюду разрывная случайная функция д(1, ы) стохастически эквивалентна функции й*(1, м) = — О. В настоящей главе рассматриваются разли~ные условия, при которых для данной случайной функции существует стохастнчески эквивалентная (или стохастически эквивалентная в широком смысле) функция, обладающая определенными свойствами регулярности.
5 2. Сепарабельиые случайные функции Идея сепарабельной случайной функции была уже введена в О 1. Оказывается, что свойство сепарабельности не является жестким ограничением на случайную функцию. При достаточно широких предположениях, относящихся только к природе области определения 6 н области значений Х случайной функции, существует сепарабельная случайная функция, стохастически эквивалентная данной. Следует, однако, заметить, что при построении эквивалентной сепарабельной случайной функции иногда приходится расширять область значений функции, превращая ее в компактное множество. В настоящем параграфе постоянно предполагается, что 6 и Х вЂ” метрические пространства с расстоянием г(Оь Оэ) и р(х!, хг) соответственно, причем 6 сепарабельно.
Роль классов множеств а и Ю из определения сепарабельности играют замкнутые множества в Х и открытые множества в 6. Таким образом, сепарабельность случайной функции в дальнейшем понимается в следующем смысле. О пределе ни е. Случайная функция д(О, га) называется сепарабельной, если существуют в 6 всюду плотное множество точек (О!), 1 = 1, 2... и в й множество й! вероятности О такие, что для любого открытого множества 0 с: 6 и любого замкнутого множества с с: Х два множества (еи у(об га) еи г, О! еБ а), (ек д(0, гь) еп г" для всех О еи 0) отличаются друг от друга только на подмножество Ж.
Счетное множество точек Оь фигурирующее в этом определении, называют множествол! сепарабельности случайной функции. Теорем а 1. Пусть Х и 6 — метрические пространства, Х компактно, 6 сепарабельно. Произвольная случайная функция й(0, га), заданная на 6 со значениями в Х, стохастически эквивалентна некоторой сепарабельной случайной функции. свпкнлввльныв слччлннын фкнкции 221 Докажем сначала три леммы. Пусть д(9, ы) — сепарабельная случайная функция, ! — множество сепарабельпости и й! — соответствующее исключительное множество точек га. Обозначим через т' класс всех открытых сфер пространства в1 с рациональными радиусами и с центрами в точках фиксированного счетного всюду плотного множества в 6.
Класс (т счетен. С другой стороны, произвольное открытое множество 6 нз гч может быть представлено как сумма (счетного числа) сфер из т'. Пусть А (6, ы) — замыкание ь ножества значений функции у(0, ы), когда В пробегает множество ! П 6, а А(9, гь) = П А(5, ы) Бс т есть пересечение всех А(5, ы), когда 5 пробегает совокупность сфер из )т, содержащих точку 8 в качестве своего элемента. Семейство замкнутых множеств А(5, гь) (0 ~5) является центрированным, т.
е, любое конечное число множеств этого семейства имеет общие точки, и в силу компактности Х их пересечение А(0, гь) непусто. Кроме того, А (О, ы) замкнуто. Из сепарабельиости функции 0'(8, ы) следует (при ы ф й!) у(0, ы) ен А(8, ы). (1) Обратно, если (1) выполняется для всякого ыче Л', Р(!ч) = О, то у(9, ы) — сепарабельная случайная функция. Действительно, если у(8, ы) ен с" для всех Очи ! П5, где г" — некоторое замкнутое множество в Х и 5 я 1', то А(0, ы) с: А(5, ы)с: Р для всякого О ев 5 и, следовательно, у(0, ы) ~ т" для всех 8 из 5.
Если 6 — произвольное открытое множество в 6, то достаточно представить его в виде суммы 6=Ц5ь множеств из )т, чтобы убедиться на основании только что сказанного, что из у(0, ы)я Р для всех 0 я!() 6, геФФ, следует д(О, сь) енР для любого В ен 6. Таким образом, доказано следующее утверждение. Л ем м а 1. Для того чтобы случайная функция д(0, гь) была сепарабельной, необходимо и достаточно, чтобы суи(ествовало множество й!, Р(й!) =О, такое, чтобы при гвфй вьтолнялось (1). Следовательно, чтобы построить для д(0,га) сепарабельную стохастически эквивалентную функцию, достаточно найти функцию д(О,ы), удовлетворяющую (1) и такую, что для любого О~01 Р(д(0, ы). -0(8, .))=8.
случлппыв Функщ1п ~гл. пт 222 Л е м м а 2. Пусть  — произвольное борелевское множество в Х. Существует конечная или счетная последовательность то- чек Оь Оь ... такая, что множество М(0, В) = (а: й'(Ов в)~ В, й = 1, 2, ..., д(0, а) ф В) имеет вероятность О при любом О я 6. Доказательство. Пусть 01 — любое. Если ОьОа ..., Оь построены, то полагаем т = анр Р (д (О„в) ев В, ..., у(Оы а) ен В; у (О, е) ей В).
в-е Последовательность тр монотонно убывает. Если тр = О, то со- ответствующая последовательность построена. Если ть ) О, то пусть 8рм — такая точка, что Р (О (О„е) еи В, ..., д (Оы а) ев В, д (Ох+ ь а) Ф В) > —. Так как множества ~,=(а: д(Оо а) -=В, 1=1,2, ..., й, у(О„ь в)ФВ) не имеют общих точек, то л.г ( ~) 2 с.л 4 ! А ! Следовательно, ть — ьО при й- ро. Таким образом, при любом О' Р(д(Оы в) еи В, 4=1, 2, ..., 6(8, а) ФВ) (!1гп тр —— О. И Из доказанного нетрудно вывести следующее утверждение.
Л е м м а 3. Пусть Ойр — счетный класс множеств, а 02 — класс, состоящий из пересечений всевозможных последовательностей множеств из ОГрр. Существует конечная или счетная последова- тельность точек Оь 82, ..., О, ... и для каждого 6 такое мно- жество У(0), что Р (Л (О)) = О и (а: д (О„, в) ев В, п = 1, 2, ..., д (8, а) Ф В) ~ М (0) для любого В~К. Для доказательства поступим следующим образом. Пусть У вЂ” счетное множество точек из 6, являющееся суммой после- довательностей (О„, и = 1, 2, ...), построенных для каждого Ве=Пр в соответствии с леммой 2, и У(0) = () М(0, В).
Если вы%а В'еи62 и В рВ', В ен Ойр, то (а: у(6„, в) ~ В', О„еи!, у(6, а) фВ) с:(а: у(0„, а) е= В, О„еи К, д (О, в) Ф В) с й( (О, В) с )ч' (О), СЕПАРАЕЕЛЬНЬСЕ СЛУЧАИНЬСЕ ФУНКЦИИ 223 Далее, если В'= Д Вы Влево)(о, то А ! (а; й(0„, а) еи В~, О„я У, й(0, в) ~ В') ~ с () (: д(е„, а) =в', е„иу, д(е, а) Фв,) А 1 О (О, в,) (0), А-С что и доказывает лемму.,ф Теперь нетрудно доказать теорему 1. Фиксируем некоторое счетное всюду плотное множество точек В в Х и под Отсо понимаем класс дополнений к сферам рационального радиуса с центрами в точках В. Тогда О)) — класс пересечений множеств из ойо содержит все замкнутые множества. Далее, для каждого 5 ен )с рассматриваем случайную функцию д(0, а) как заданную только для 0 ~ 5 и строим последовательность У = У(5) и множества Л1(о) = Лсз(0) в соответствии с леммой 3. Пусть У= () У(5), з~у Положим а(О, в)=у(Е, в), если 0 я У или д(о, со) й Лсв; если же д (О, со) сн Мо, 0 ~ з, то определим д(о, в) лсобым способом, так чтобы я'(О, а)ЕЕЛ(0, в).
Так как для точек 9 ен У значения функций я(0, со) н д(0, а) совпадают, то множества Л(0, в), построенные для функций й(о, в) и д(о,в), также совпадают. Из определения следует, что д(0, а) ен Л (О, в) для любого 0 и со. Так как (со, 'д(0, со) Ф д(о, со)) ~ сЛсо, то Р(у(о,со) =д(о,со)) =1. И Теорема 1 непосредственно обобщается и на случайные функции со значениями в сепарабельных локально компактных пространствах.
Т е о р е м а 2. Пусть Х вЂ” сепарабельное локально компактное пространство и Π— произвольное метрическое сепарабельное пространство. Для любой слу саиной функции д(0, в), заданнос1 на О и со значениями в Х, существует стохастически эквивалентная сепарабельная случайная функция й(0, в), принимаю- и(ая значения на некотором компактном расширении Х пространства Х, Х:э Х. Доказательство вытекает из того факта, что всякое локально компактное сепарабельное пространство Х можно рассматривать как подмножество некоторого компакта Х.
Например, если [ГЛ. [У СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ 224 д(О,а) — случайная функция со значениями в конечномериом пространстве Х, то, дополняя Х одной «бесконечно удаленной» точкой со, легко получить компактное пространство Х = Х [[ [) (оь) с новой метрикой, такой что каждое замкнутое Р с: Х (в топологии пространства Х) является также замкнутым в Х (по отношению к новой метрике).
При построении сепарабельной реализации случайной функции ей, возможно, придется приписывать дополнительное значение «со»; но, очевидно, прн фиксированном О вероятность этого равна О. Щ Ио многих вопросах бывает важным знать, какое множество У может играть роль множества сепарабельностн. Теорем а 3. Лусть Π— сепарабельное пространство и д(О, а) — сеиарабельная стохастически непрерывная случайная функция. Тогда любое счетное всюду плотное л[ножество точек из В мажет служить множествол[ сепарабельности случайной фрикции у(9, а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
