И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 40
Текст из файла (страница 40)
В настоящем параграфе постоянно предполагается, что процесс а(1) сепарабелен. Множество сепарабельностн процесса обозначим через Е Определение. Функция х=[(1), хенХ, имеет на отрезке [а, Ь] не менее гп е-колебаний (е > 0), если существуют точки 1„...,1, а«(ь«1~« ... «1 «Ь, такие, что Р([(ть-~) [(Гь) ) > е, й = 1, 2, ..., гп. Лем ма 1. Для того чтобы функция у =[(1) не имела на отрезке [а, Ь] разрывов второго рода, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 у нее было только конечное число е-колебаний на [а, Ь]. Доказательство.
Достаточность. Докажем сушествование предела [(1 — 0) для любого 1еп(а, Ь]. Пусть (1„) — произвольная последовательность г„1 Е Может найтись только конечное множество чисел 1„(п, < пьь,) таких, что р([(г„ь), [(1„„, )) > е. Следовательно, начиная с некоторого гп, р([(1„), [(Г„~„)) «2а для всех п>т, й > О, т. е. последовательность [(г„) сходится. Отсюда вытекает существование 1(1 — 0) =!1ш [(з). Аналогично ль1 доказывается существование [(г'+ 0) на [а, Ь).
Необходимость. Пусть в некоторой точке (ь не сушествует одностороннего предела (например, предела слева). Тогда найдется последовательность г„т (ь такая, что для любого и ацр р([(г ), [(г„)) > а, т. е. число е-колебаний неогранит)ь ченно. ф Заметим, что определение числа е-колебаний тривиально переносится на случайные функции, рассматриваемые на произвольном множестве действительных значений й В дальнейшем, рассматривая функции без разрывов второго рода, мы не будем различать две функции, имеющие в каждой точке г еп [а, Ь] одинаковые пределы слева и справа. Поэтому естественно принять какое-либо стандартное соглашение о значениях этих функций в точке разрыва. Обозначим через Я[а, Ь] Я[а, Ь; Х] пространство функций, заданных на [а, Ь], со значениями в Х, не имеющих разрывов второго рода и в каж- КРИТЕРИИ ОТСУТСТВИЯ РАЗРЫВОВ ВТОРОГО РОДА' 229 дой точке (еи [а, Ь) односторонне непрерывных.
Положим А,([) =зпр(ш!п [р([«'), [(г)), р([(!"), ) Р))[; г' — с < г' < г < ('(~ (+ с, !', г', Г' ев [а, Ь[ ) + + зпр (р (! «), ! (а)); а < ! < а+ с) + +зпр(р(((т), !".(Ь)); Ь вЂ” с <г<Ь). (1) Л ем м а 2. Для того чтобы Функция х = )(() не имела разрывов второго рода, необходимо и достаточно, чтобы ! Ип А, ()) = О. (2) -оо Доказательство. Необходимость. То, что два последних слагаемых в правой части (1) стремятся к нулю при с-РО для каждой функпии [ев Я[а, Ь], вытекает из определения. Пусть условие (2) не выполнено. Тогда найдутся такие по- Р // / ч // следов ательности (о, йи 1„, что т, < Г, < г„г„— г'„-Р 0 и р(1(Г.) )«.)) >а, р(1(! ) 1(г.)) >е для некоторого е > О. Можно считать, что 1„сходится к некоторому (о (если это не так, то можно заменить последовательность г„некоторой сходящейся подпоследовательностью).
Из трех последовательностей (Г„), (г„), [Г,) по крайней мере две имеют бесконечно много точек, лежащих по одну сторону от го. Если, например, [г ) и (! ) лежат слева от Го, то !(( )-~.[(г — 0), ~((„) — Р[« — 0), что противоречит условию рО(г'„), [«,)) > е. Аналогичен случай, когда ч сы [! ) и (Г„) имеют бесконечно много значений, лежащих правее !о.
Остальные случаи сводятся к этим двум. Достаточность, Из условия (2) следует, что Ц!) непрерывна справа в точке а и слева в точке Ь. Если бы при некотором оо ~(а, Ь) не существовало [(Го+ 0), то нашлась бы последовательность Г„( ! и е > О, для которых р([(1„), [((к ы)) > е, что противоречит (2). Таким образом, существует [(!о+0) при любом Го ~ [а, Ь). Аналогично существует 1((о — 0).
Из соотношения (2) следует также, что либо [(Го) = [(Юо — 0), либо [(то) = 7((о+0). Лемма доказана. В Некоторые неравенства. Л ем ма 3, Пусть $(!), Ген [О, Т),— сепарабельный стохастический непрерывный процесс со значениями в Х и существует такая неотрицательная монотонно возрастающая Функция й(6) и Функция а(С, Ь) > О, Ь > О, что ~([р(9«),9« — Ь)) > Сй(Ь)[П Д[рД«+Ь), В«))>сд(Ь)[)<д(С,Ь) (З) С 6= ~ д(Т2 ") < оо, Я(С) = 2„2"д(С, Т2 ") < Оо. (4) слтчхиныв етнкции ~гл.
пг 230 Тогда для всех У > 0 Р( анр р($(1), $(1"))>У)~~Р(рф(0),$(Т)) > — ~+Я( '~). Доказательство. Положим А»ь=(р ($( 2» Т), $(2» Т))(~Сд(Т2 ") ~, 1=0,1,..., 2" — 1, а=0,1,2,..., гь'-~ Ф.ь=Аиь-1()Аыы Рь= П П Впй (а~>1)~ е-ь ь Рз = А0ь П Ро В силу стохастической непрерывности можно считать (см. теорему 3 $2), что множеством сепарабельности 1 процесса $(1) является множество чисел вида Ф/2", й = О, 1, ..., и = = О, 1,2, ... Имеем » 2 -1 Р(Р„)к-. 2. ~ Р(В„,)( ~„,2 с((С,Т2 )=Яп, С), (5) где Яп, С)= ~ 2"д(С,Т2 ). Из Р, вытекает, что р($(Т), В(0))(Сд(Т), и выполнено одно из событий: или р(К(Т/2),$(0))~ Сй(Т2 '), или же р($(Т)Д(Т2 ')) ~» (Сй(Т2 ).
В обоих случаях рф(0), $(Т/2))» Са(Т)+ Сд(Т2 '), р($(Т/2), ~(Т))(~Сд(Т)+ Са(Т2 '). Воспользуемся теперь методом индукции. Допустим, что неравенство р(5( — Т), ~(~~ Т)) ( Сй(Т)+2С~~ й(Т2 ') (6) в ! доказано для т = а и для й, 1' = О, 1, ..., 2" при предположении, что Рь имеет место. Докажем, что аналогичное неравенство имеет место н для т = а+1. Пусть я и 1 — нечетные числа: й = 2й1 + 1, 1 = 211+ 1. Так как из Р„+1 следует, что по крайней мере одно из неравенств р($( ' „Т), $( '„+, Т))» Сд(Т2 ~"~п) ггл гк слхчхиныв еункции 232 причем, как функция от т (и и й фиксированы), величгша 1„2-г"+'"~ монотонно не убывает.
При т=О в качестве г„а следует выбрать нуль, если р(ЦйТ2 ), 5((/г+ 1) Т2-") ) ( ( Сд(Т2 "), и единицу, если р(5((й — 1)Т2 "), К(йТ2 ")):-.: ( Са(Т2-"). При предположении В„одно из этих двух неравенств обязательно имеет место. Пусть )„уже выбрано.
В качестве 1„ ы следует взять 2[„ , если р(1(~ я + ~+ги+~ ~Т), $~~ я + л+я ~Т))( ( Сд (Т2-гл+т+'~) и 21„+ 1, если (~Сй(Т2 ~"+~+и). Такой выбор возможен, так как одно из этих неравенств, если происходит 6„, обязательно имеет место; если же выполнены оба неравенства, то выбор между указанными значениями )ит + 1 произволен. Переходя в соотношениях (8) и (9) к пределу прн лг-~ со, получим, что для каждой выборочной функции, для которой 6 имеет место, найдется такое т = т(га), 0 ( г ( Т2-г"-и, что ацр р (К [ — „Т)), $ ~ — „Т + 1)) ( С6(а) зцр р($( — „Т+(), $[ — „Т)) ((С6(п). г<г<тг-(л-и Пусть вен[2-("+пТ, 2- Т] и 0(г" — 1'<е. Найдется такое lг, что (й — 1) 2-"Т ~ 1' ( г" ( (/г+ 1) 2-"Т.
Если г ен [1', г"), то Либо ((', 1) с: [(й — 1) 2-"Т, (lг — 1) 2-"Т+ т[, либо (г, г") с: с:[(й — Ц2-"Т+ т, (й+ 1)2 "Т). Если при этом 1', г и 1" взяты из (, то выполняется по крайней мере одно из неравенств р(з(1'), 5(г))(266(п), р(з(г), $(1"))(266(а). Из сепарабельности процесса вытекает, что одно из этих неравенств будет иметь место с вероятностью 1 для всякой выборочной функции процесса. Поэтому из О„вытекает, что с вероятностью 1 Ь, ($) е 2С6 (и).
ч 4! КРИТЕРИИ ОТСУТСТВИЯ РАЗРЫВОВ ВТОРОГО РОДА ззз В силу неравенства (5) Р(Ь,Ф) > 2СО(п)) (Р(В„) ~~Я(п, С), или, учитывая, что е > 2 !"+!)Т, и монотонность функций у(Ь) и у(й), окончательно получаем Р ( Ь, (е) > СО ( [!дз — ~ ) ~ (~ 1„! ( [! де — ~, С) . И Условия отсутствия разрывов второго рода, использующие частные распределения процесса. Из последней леммы сразу вытекает следующая Теорема 1, Если к(1), 1ен[0, Т],— сепарабельный стохагтически непрерывный процесс со значениями в Х, удовлетворяющий условиям Р [ [р(В(!), В(1 — й)) >Су(й)[ [) [р(З(1+ й), к(1)) =и = Су(й)[) =д(с,й), (!0) где Е у(Т2-") <, Х 2" '(С,Т2-") <, (и) то С(1) с вероятностью 1 не имеет разрывов второго рода, Доказательство. Положив в неравенстве (7) С = 1, увидим, что в условиях теоремы Л,(В) -»О по вероятности при е -»О.
Но Ь,Я), как функция от е, монотонно убывает при е10. Поэтому 1пп Л, ($) при е -ь 0 существует с вероятностью 1 и равен нулю. И Следствие. Пусть на [О, Т) задан стохастически непрерывньлй случайный процесс в широком смьчсле со значениями в полном сепарабельном локально компактном пространстве Х, <трехмерные» частные распределения которого удовлетворяют условиям (10), (11). Тогда существует некоторое представление этого процесса, не имеющее разрывов второго рода.
Условия отсутствия разрывов второго рода, использующие условные вероятности. В предыдущей теореме условие отсутствия разрывов второго рода выражалось через свойства частных («трехмерных») распределений случайного процесса. Приведем результаты несколько иного характера. Они используют предположения, относящиеся к условным вероятностям, и применимы тогда, когда имеется важная информация о свойствах условных распределений процесса. Пусть ()ть(~ [О, Т)) — некоторый поток о-алгебр.
Предположим, что процесс Цг) подчинен потоку о-алгебр (Вьг~[0, Т)), т е. при каждом ! Ен[0, Т) случайный элемент $(1) Виизмерим. [гл. !у случхйнын Функции 234 Введем величину а (е, 6) = [п1 вцр [Р (р (в (з), в (1)) ~ е [5,); л,1 0<з(1(а+6«=.Т, аеиЩ (12) где [п1 берется по всем подмножествам й' (11'ни Ж), имеющим вероятность 1. Нетрудно заметить, что существует такое 11», Р((1') = 1, й~еи[В„на котором рассматриваемая точная нижняя граница достигается так, что а(е,б) =апр(Р(р($(з), С([)))е [5»); 0(~я~ 1(з+ 6«=.Т, геен()ь).
Покажем, что для сепарабельных процессов условие а(е, 6) -~0 при 6-~0 и любом е 0 обеспечивает отсутствие разрывов второго рода. Пусть [с,»[1 — фиксированный отрезок, [с,с[)с: [О, Т[ и 1 — произвольная конечная последовательность моментов вре- МЕНИ го [г ° °, [л, У<С<11<1»« ... Г„<Г[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
