И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 41
Текст из файла (страница 41)
ЧЕРЕЗ А(е,с) обозначим событие: выборочная функция случайного процесса в(1) на [с, с[) П2 имеет по крайней мере одно е-колебание. Л ем ма 5. С вероятностью 1 Р(А(е, 1) ~5,) ~<2а(4, [( — с). (13) Доказательство. Заметим прежде всего, что в силу свойств условных математических ожиданий при з (1( и Р(р(й(1), $(и)) ~>а [6,) = =М(Р(р($(1), $(и)) не[51) !5»)~(а(е, и — з). (14) Введем теперь события В» —— (Р(ь(с), ь(11)) ( 2, 1=1,2, ..., й — 1 Р(ь(с)* в[1»)) ) 2 1' С» = ( р (в(1»)' ь ([»)) ~) 4 ~, »»» = В» П С» lг = 1„2,..., и, С,=) р($(с), $(с[))=в е ~.
л События В» несовместимы, и если положить В = [ [ В», то » 1 А(е, 1) с= Сь[) В. Действительно, если А(е,!) имеет место, то при некотором й впервые выполняется неравенство Р($(с), $(т»))~ )2, т. е. осуществляется одно из событий В» (я=1,..., и). Если при этом А» не имеет места, т. е. если Р($(1»), $(»»)) ( 4, то РЙ(с) ь([())~~РВ(с) ь(1»)) — Р(ь(1»), $(д)) > — ', т. е. имеет место $н КРИТЕРИИ ОТСУТСТВИЯ РАЗРЫВОВ ВТОРОГО РОДА 435 событие Сз.
Таким образом, А(е, 1) ~ Со() В. Имеем теперь с вероятностью ) Р (В.~~,) = йй(~.,~а,)= м (м („„,,„~~,,)~6,) (хз Р(сь! б4А) ~ б~)<»о(4, й — с) М(тз где тл, как обычно, обозначает индикатор события А. Отсюда следует Р(а~В)-~Р(а ю< (л.4 —.)и Кх,~з,~< А-1 А, »и~4, й — с) (гпОЙР). В силу (14) Р(СР~54)»»а( —, й — с).
Таким образом, Р(А(е, 1) ~5 )(Р(Р)5)+ Р(СР! Я»»2а(4, й — с) (гной Р), что и доказывает лемму. Л ем м а 6. Пусть А" (е,!) обозначает событие: $(1) имеет на 1 ио крайней мере й е-колебании. Тогда Р(А (е, 1) ~5,) ([2а(4, й — с)1 (Гпоб Р). (15) Доказательство. Пусть В,(е,1) обозначает событие: на множестве (1И ..., 1,) выборочная функция процесса $(1) имеет не менее й — 1 е-колебаний, но на (1ь ..., 1 ~) число е-колебаний менее lг — 1. События В„(В,1) Г = 1, ..., И) несовместимы, и () В,(е, 1)=А» '(е, 1):зА (е, 1). С другой стороны, из г-! А" (е, 1) Й В„(е, 1) следует, что на множестве (1„1„+ь ..., 1 ) имеется по крайней мере одно е-колебание. Следовательно, л А (е, 1) ~ () (В, (е, 1) () С,(е, 1)), где С,(е, 1) означает, что $(1) на (1„1„+ь ..., 1„) имеет по край- ней мере одно е-колебание. Поэтому л Р (А" (е, 1)~ 54)( ~ Р(В,(е, 1) Д С,(е, 1)!54) (гной Р).
(16) т ~ггс пл случлнныв Функции Используя свойства условных математических ожиданий, получим Р(В.('1)ПС.('1)!~)=М(М(Хв (.ОХс мд~6,,))6.)< ~~ М (Хв (е, пР (С, (е, 1) ! 5ю,) ~ 5,) < <~ 2а (4, й — с) Р (В, (е, 1) ! 5,) (гпоб Р). Из почученного неравенства и (1б) следует, что и Р(А (е,1)!6,)~~2а(4, с( — с) ~~) Р(В,(е, 1)!5,) = = 2а ( 4, а — с) Р (А~-' (е, 1) ! 5,) Опосля Р), откуда и вытекает доказываемое. ® Теорема 2. Если а(1) — сепарабельный процесс и при любом е)0 1ип а (е, 6) =- О, (17) ь-~о то процесс $(() не имеет разрывов второго рода. Достаточно доказать, что с вероятностью 1 каждая выборочная функция $(1) имеет только конечное число е-колебаннй.
Пусть 1 — множество сепарабельности процесса С(1). Представим его в виде! = Ц 1„, где 1„— монотонно возрастающая пол ! следовательность множеств, состоящих нз конечного числа элементов. Пусть дано а ) О. Разобьем (О, Т) на пт отрезков Л„, ге тх г = 1, ..., и, одинаковой длины так, чтобы 2о ~ 4, — ) = р < 1. Тогда Р (А" (е. 1 () Л,) ! 6,) К Р (А' (е, 1 П Л,) ! б,) = = 1пп Р(А'(е, 1„ПЛ,)!5Д(бе, откуда Р(А" (е,1ПЛ,)!5,) =О (гпобР) и Р(А (е, 1ДЬ,)) =О. Следовательно, Р(А (е, 1))=0. И Приведем некоторые важные следствия нз доказанной теоремы. Т е о р е м а 3. Сепарабельный стохастически непрерььвный процесс $((), 1~ (О, Т), с независимыми приращениями и со % 41 кгитввнн отсутствия гхзгывов втогого еодл 237 значениями в линейном нормированном пространстве Х не имеет разрывов второго рода.
Действительно, из определения процессов с независимыми приращениями имеем Р([ь(з) — ь(т)1~)е13) = Р(! з(з) — з(7) [) е) (гпоа Р). С другой стороны, из свойства равномерной стохастической непрерывности (см. теорему 2 $ 1 гл. 1) вытекает, что а (е, 6) = зцр ( Р [1 $ (з) — з (г) [ ) е]1 0 ~ (з ( 1 ( з + Ь ~ (Т ) стремится к нулю при б-ьО и любом е ) О. Таким образом, условия теоремы 2 выполняются, ® Теорема 2 дает сильные результаты и для марковских процессов.
Теорема 4. Если $(1), гав [О, Т),— сепарабельный марковский процесс со значениями в метрическом пространстве Х и с вероятностью перехода Р(7, х, з, А), удовлетворяющей условию а (е, 6) = зпр [Р (з, х, 1, 3, (х)); х щ Х, О < з <1(<з + б <~ Т) -+ 0 при б-ьО, где 5,(х) — сфера радиуса е с центром в точке х, 5,(х) — ее дополнение, то процесс $(Ф) не имеет разрывов второго рода. Последнее утверждение непосредственно вытекает из теоремы 2 и определения марковского процесса. Регуляризация выборочных функций процесса без разрывов второго рода.
Ранее уже отмечалось, что, рассматривая функции беэ разрывов второго рода, отождествляют функции, имеющие в каждой точке одинаковые пределы справа и слева. Напомним, что если процесс сепарабелен, то значения выборочных функций $(1) с вероятностью 1 являются предельными значениями последовательностей С(1;) при 1;-ь 1 и 1, из множества сепарабельности. Если при этом процесс не имеет разрывов второго рода, то с вероятностью 1 К(1) при каждом Ф равно $(1 — 0) или $(7+0).
Теорем а 5. Если в(8) — стохастически непрерывный справа процесс без разрывов второго рода со значениялол в л~етрическом пространстве Х, то существует эквивалентный елгу процесс $ (1), выборочные функции которого непрерывны справа (шой Р). Доказательство.
Событие А: предел 1пп я (1+ — л1 суще1х л-+ и ствует для каждого 1ен[0, Т] — имеет вероятность !. Положим ь (1)=1пп $(1+ — ) в случае А и $'(1)=$(1) в случае Х. к -> и случьиныя Функции язв !Гл 1ч Имеем й (1)ФВ(г))= Ц (р(з(г) В Ю> Ц()А, ив Р[в'(!) Ф $(1)) =!!гп Р ((р(З(1), $'(1)) > — ) () А ~. С другой стороны, Тайим образом, Р[з'(1) Ф;-(Г)) = О. Остается заметить, что на множестве А функция я'(1) непрерывна справа.
й 5. Непрерывные процессы Условия непрерывности процесса без разрывов второго рода. Как и в предыдущем параграфе, предположим, что Х вЂ” полное метрическое пространство, з(г), 1 еи [О, Т), — случайный процесс со значениями в Х. О яре делен и е. Процесс $(1), 1ен [О, Т), называется непрерывным, если почти все выборочные функции процесса непрерывньс на [О, Т[. Для процессов, не имеющих разрывов второго рода, можно указать простое достаточное условие непрерывности. Теорема 1. Пусть [1„„1=0,1,..., т„), п=!,2...,,— некоторая последовательность разбиений отрезка [О, Т[, О = 1„, < < 1„1 « ... 1„„=Т и 1„= гпах (1„ь — г„ь 1)-~0 при п- оо. 1:с 4 ~т Если процесс $(1) сепарабелен, не имеет разрывов второго рода и х Р(р[я(~ ~), в(г„ь ~)) >е)- 0 при ~„- О, (1) ь-1 го процесс $(г) непрерьгвен. НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОПЕССЫ Доказательство.
Обозначим через Р, (О ( Р, - оо) число тех значений 1, для которых р(е(!+0), е(! — 0)] ) 2е, а через Р„1л1 — ЧИСЛО таКИХ ИНДЕКСОВ /г, ЧтО р(З(1„Ь), 3(глд 1)) ( Е. ОЧЕ- видно, что т !нп т1 1. С другои стороны, МР1"'= ЕР(р В(! Е) Е(1,ь-1)1 > е). В силУ леммы ФатУ Мтл<М 1пп Рл1л1(~ !!ш М~~"1. Итак, Мт, = О, л-~ 1+ т.
е. Р. = 0 с вероятностью 1 при любом е ) О. Следовательно, с вероятностью 1 $(! — 0) = $(! + 0) при любом Е В силу сепарабельности процесса а(!) = $(! — 0) = $(г+ 0), т. е, процесс непрерывен. ° Применим теорему 1 к процессам, удовлетворяющим условиям теоремы 2 5 4. Пусть а(е, б) определяется соотношением (12) ф 4. Т е о р е м а 2. Если процесс $(!) сепарабелен и Мв(ы б) 0 (2) 6-РО при любом е ) О, то процесс $(!) непрерывен. Так как при выполнении условия (2) процесс а(!) не имеет разрывов второго рода, то достаточно проверить соотношение (1). Учитывая, что Р(р($(г,ь), е(! ь 1)) ) е) ( Ма(е, б! ь), где Ь1„ь = ! ь — ! ь — 1, получим ~л ~Х ' Р (р [~ (1„ь), Р ((„ь-1)) ) е) ((б — а) гпах М" (л, а!"'! -Р 0 1~ел,Л Ь-1 при Х,-+ О. ° Применяя теорему 2 к марковским процессам, получаем следующее условие непрерывности марковского процесса.
Т е о р е м а 3. Если З(!) — сепарабельный марковский процесс и — Р (з, у, 1, 5, (у)) -+ 0 при б- 0 и любом фиксированном е ) 0 равномерно по у, з, 1, 0 е ! — з ( б, то процесс,~(!) непрерывен. Здесь Я,(х) — дополнение к сфере 5,(х) с центром в точкех и радиуса е. Процессы с независимыми приращениями. Теорема 1 дает только достаточные условия непрерывности случайного процесса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
