И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Естественно сопоставить с таким вероятностным пространством случайную функцию у(0, ы) = ы(0). В некоторых задачах удобно отождествлять случайную функцию д(0, ы) = в(0) с вероятностным пространством (й, Я, Р) описанного типа. Легко заметить, что общее определение случайной функции можно свести к только что описанному частному случаю. Действительно„если случайная функция $(0) задана как функция .двух переменных, $(0) = д(0, ы), то, положив и = д(0, в), где опгеделение случлинои Функции Я1б ы фиксировано, ы ~ 11, и обозначив через (У множество всех функций и = д(0, ы), получаемых, когда ы пробегает 11, получим некоторое отображение Т множества 11 на К При этом и-алгебра 6 множеств 11 отображается в некоторую о-алгебру гч множеств (Г, а вероятностная мера Р на Я отображается в вероятностную меру Р' на 5 (см.
5 6 гл. П). Для любого фиксированного 0 множество (и: и = д(0, ы) < х) принадлежит 5, так как Т '(и: и=я(0, ы) < х) =(ее й(0, ы) < х) а=б. Таким образом, получено вероятностное пространство((г, 5, Р'), где 0 — некоторое множество функций и = и(0), причем для любых п, Он Оъ ..., 0 (Ок еи Ри я = 1, ..., и) распределение последовательности случайных величин на (й,18, Р) й (0~ ы) й (Оз ы) й (ОР~ ы) совпадает с распределением последовательности и(0,), и(0,), ..., и(8„) случайных величин, заданных на вероятностном пространстве (КЬ, Р') Сформулируем теперь принципиально важную для дальнейшего точку зрения об эквивалентности случайных функций.
При решении многих задач нет оснований различать случайные функции, получаемые друг из друга преобразованиями вероятностного пространства. В этом направлении можно пойти еще дальше. С практической точки зрения эксперимент позволяет различать только гипотезы, относящиеся к конечномерным распределениям случайной функции. Поэтому принято считать, что опытные данные не позволяют различать две случайные функции ~(0) и $'(0), у которых совпадают все конечномерные распределения, т. е. совместные распределения последовательностей ~(О,), ~(О,), ..., ц(0„) (1) и ~'(0,), ~'(0,), ..., ~'(0„) (2) для любых целых и ) 1 и Он ~ О, й = 1, ..., и.
В соответствии с этим примем следующее определение. О п р е дел е н и е. Две случайные функции $(0) и е'(0) с одной и той ске областью определения В называются стохасгически эквивалентными в широком смысле, если для любого целого и ) 1 и любых Оь я О, й = 1, 2, ..., и, совместные распределения последовательностей случайных величин (1) и (2) совпадают.
В дальнейшем часто применяется понятие стохастической эквивалентности случайных функций в более узком смысле. случхиные Функции 1гл. >у Определение. Две случайные функции д>(О, ы), дз(0, в>) (О еи 8, в> я 11), заданные на одном и том жевероятностном пространстве (0,10, Р), называются стохастически эквивалентными, если для любого О еи 6 Р(д,(0, .)~у,(0, .0=0. Очевидно, что если д>(О,ы) и дг(О,Е>) стохастически эквивалентны, то опи стохастически эквивалентны в широком смысле. Рассмотри>л несколько примеров случайных функций. а) Случайное колебание ~(1) ( — со (1( со), рассмотренное в 5 5 гл. 1, ~(1) = ~ Уье А-~ УА =ая+ ФА, сс„, рА (й = 1, 2, ..., и) — случайные величины, можно представить в виде ь(1) = д(1, ы), где ы = (аь ссм..., а, 1)ь Ом ...
р„,) — точка в 2п-мерном вещественном пространстве Я'" и д(1, ь>) при фиксированном г является линейной функцией от а>, а при фиксированном ы — суммой тригонометрических функции от й Вероятность Р в Яз" задается совместным распределением случайных величин аь аь ., сс„(>ь рм . р . С другой стороны, процесс ~(1) можно рассматривать как вероятностное пространство (У, 6, Р'), где У вЂ” пространство всех кома плекснозначных функций вида и= ~ уье'"А' с заданным базн- А-! сом показателей (иь им ..., и„). Мера Р' в У индуцируется мерой Р посредством отобра>кеиия ы- и = д(1, а>). б) Рассмотрим процесс $(1), выборочные функции которого постоянны на промежутках времени (я — 1, я1 и принимают на иих значения 0 и 1 с одинаковыми вероятностями, не зависящими от значений $(1) на предшествующих отрезках времени. Между выборочными функциями процесса $(1) и бесконечными двоичными дробями можно установить взаимно однозначное соответствие.
Его можно реализовать схемой $ (Г) + в> 0 х~хз хч (3) где х„— значение 5(с) на отрезке времени (п — 1, п1. Каждой бесконечной двоичной дроби ы соответствует некоторая точка отрезка (О, Ц. Взаимная однозначность этого соответствия нарушается только для дробей, у которых все двоичные знаки, начиная с некоторого места, совпадают.
Двум таким различным дробям соответствует одна и та же точка отрезка 10, Ц (исклю:чение составляют только точки 0 и 1, имеющие единственную ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ Е1Т запись в виде бесконечной двоичной дроби: 0 = 0,00 ... 0 ..., 1 = 0,11 ... 1 ...). Выборочные функции, соответствующие подобным бесконечным двоичным дробям, становятся постоянными, начиная с некоторого момента времени. Обозначим это множество функций 6, а через 6„обозначим событие, состоящее в том, что случайная функция $(1) окажется постоянной, начиная с момента времени и.
Тогда 6 = [[ 6„. Пусть еще 6„ в ! означает, что функция $(1) постоянна на отрезке времени [и, а+ т). События 6„(т = 1, 2, ...) образуют монотонно убывающую последовательность, 6„= П 6„и т ! Р(6„)= Вн Р(6„). Так как Р(6„„) = — „,, то Р(6„) = 0 и Р(6) =О. Следовательно, ! если пренебречь случайными функциями а(1) из множества 6, имеющего вероитность О, то между точками отрезка [О, Ц и случайными функциями е(1) существует взаимно однозначное соответствие. Пусть Ь вЂ” отрезок с двоично-рациональными концами длиною 1!2", т. е.
отрезок, записываемый в двоичной системе счисления в виде [О, 1! ... 1,; О, 1! ... /, + 1), где !А принимают значения 0 и 1, я = 1, 2,..., п. Множество А случаиных функций е (1), соответствующих точкам в ~ Л, состоит из функций, удовлетворяющих условиям $(0) =[!, Е(1) =1м ..., Е(и — 1) =1„. Вероятность того, что $(1) яА, равна 1/2", что совпадает с длиною отрезка Л.
Отсюда следует, что если  — любое борелевское множество точек на отрезке [О, Ц, а В' — множество функций $(1), соответствующее в силу (3) числовому множеству В, то Р(В') совпадает с лебеговой мерой В. Таким образом, выбор случайной функции $(1) эквивалентен случайному выбору точки а! на отрезке [О, Ц с заданной на нем лебеговой мерой.. Подробнее это означает, что случайный процесс полностью описывается следующим образом.
Производится случайный выбор точки из отрезка [О, Ц. При этом вероятность того, что точка га ~ В, где  — борелевское множество отрезка [О, Ц, равна лебеговой мере В. Координата точки ы записывается в двоичной системе счисления: ы = О, х!хз... х„ ... Тогда значение- функции $(1) на отрезке [(л — 1), а) равно х„. В соответствии: с этим случайную функцию $(1) можно записать в виде $(1)=[(1. ы), яв случлпиые Функции где Д~, в) — вполне определенная неслучайная функция двух переменных 1 и в (О ( ( ( оо, О ( о ( !). в) Рассмотрим произвольную случайную функцию в широком смысле со значениями в метрическом полном и сепарабельным пространстве Х и с областью определения 8. Как показано в 5 2 гл.
11, всегда можно построить вероятностное пространство (Й, 6, Р), где (1 — множество всех отображений ы = ы(0) множества 8 в Х такое, что распределение последовательности (аз(0~), ..., а(0„)) в Х" при любых и, 0» ~ 8, й = 1, ..., а, совпадает с соответствующим распределением заданной случайной функции в широком смысле. Иными словами, для произвольной случайной функции в широком смысле можно построить стохастически эквивалентную в широком смысле случайную функцию (представление в терминологии 0 2 гл.
11). К сожалению, представление случайной функции, даваемое теоремой Колмогорова, не может нас вполне устроить. Элементарными событиями построенного вероятностного пространства являются произвольные функции в = а(0) переменной О, и мы лишены возможности говорить о таких свойствах функций ы(0), как их непрерывность, интегрируемость, дифференцируемость и т. п.
(при этом мы, конечно, считаем, что 8 и Х таковы, что соответствующие понятия имеют смысл). Далее, в построенном вероятностном пространстве нет возможности рассматривать важные при решении многих конкретных вопросов события вида (ы(0) еп А для всех 0 ~ Я), (4) где Я вЂ” несчетное подмножество из 8 и А с: Х. Действительно, событию (ап в=в(0) еп А для всех Оеф= П (ек а(О) я А) О~о в Й соответствует множество, являющееся пересечением несчетного числа множеств из 6, и, следовательно, оно не обязано принадлежать а-алгебре Й. Эти соображения подсказывают, что при построении представления семейства распределений (1) желательно, чтобы пространство (1 было как можно более узким, т.
е. чтобы функции из 11 обладали возможно лучшими аналитическими свойствами. Например, для возможности решения только что упомянутой задачи о вычислении вероятности события (4) желательно, чтобы случайная функция а'(О, а), являющаяся представлением семейства распределений (1), обладала следующим свойством: с) Для достаточно широких классов множеств 6 из Х и 0 нз 8 существует счетное множество 5 точек О;(~ 8) такое, что ОпРеделение случлпной Функции 21в эп для любого А еп 6 и Я ~ «> множество точек (ы: й'(8, гэ)ЕЕА для всех ОенЯ), Аенб, Оен~, (81 отличается от множества (ен Ы(ОП ы) я А для всех Оз епЯ()ф (8) только на подмножество некоторого фиксированного множества )у р-меры О, не зависящего от А и Я. Так как множество (б) является пересечением не более чем, счетной последовательности измеримых множеств, то оно само. измеримо и вместе с ним измеримо множество (5) (в силу полноты меры Р).
При этом вероятности событий (5) и (8) равны между собой, Случайная функция, удовлетворяющая условию с), называется сепарабельной (относительно класса множеств 6). Заметим, что если Π— сепарабельное метрическое пространство, 0 — класс открытых множеств, 6 — класс замкнутых множеств пространства Х, а функция д(0, г«) почти для всех ы является непрерывной функцией аргумента О при фиксированном гэ, то случайная функция д(0, в) сепарабельна относительно класса замкнутых множеств 6.
В задачах, связанных с интегрированием случайных величин относительно некоторой меры (т, й) на 6, желательно, чтобы функция д(0, о) была «г-измеримой как функция от О при фиксированном ы Р-почти для всех гэ. В других случаях необходимо найти представление заданной в широком смысле функции, при котором почти все выборочные функции непрерывны, или имеют только разрывьг первого рода, или й раз дифференцируемы и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
