И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Действительно, если С = (ап (х„..., х„, ...) я 0'), Р' ен 6 и, например, т > п, то Р' = Р Х Хкы Х ... Х Х„н Р!'»(хм 0')= ~ ... ~ Р,(хг, дх,) Р,(х„с(хз) ... х,х ... хх„ Р!ч-!(хл!-!~ с(х!!!)ко'(х!~, ~ х!!!)~ где уо (х„..., х,„) — индикатор 0'. Учитывая, что Хр (хо ..., х )= =у (х„..., х„) н что Рг-!(х, Хг)=1, из последнего выражения получаем Ри !(х,, Р') = Рп м(х„Р).
Адднтивность функции Р!"! на 6' очевидна. Теорема 3. На (Х,6), где 6 — о-алгебра, порождаемая цилиндрическими множествами пространства Х', существует единственное семейство мер Р!" ! такое, что Р!"! (ап ха еи Вм й = 1, ..., и) = ~ Р, (хм Ых!) ~ Р, (х„с(х,) ... в! в, Р„,(х„,, с(х„!) Р„,(х„„В„). вч-! Доказательство. Достаточно показать, что введенная на 6г мера Р!"'удовлетворяет условию непрерывности: для любой монотонно убывающей последовательности цилиндрических множеств С, для которой й С„= !о, имеем Р" (С„)- О. Допустим обратное: Рм!!(С„)ве при некотором хг, основания цилиндрических множеств С обозначим через Р, индикатор 0„— через т.(0„; х!, хм ..., х „)=т,(Р„), и пусть 0 расположено над координатамн (1, 2, ..., и1„).
Определим последовательность пепи млгковл 18$ множеств нз 6 В„'= х,: ~ у(В„;х„х„...,х „)Х о> (3, !лл) ХР( )(х <(хзХ Х~» )> где Х<' '"> обозначает произведение пространств Х,ХХ,+! Х ... ... ХХ.. Из того, что С убывают, следует, что В<'> также монотонно убывают. Лалее, если )((В<>>) — индикатор В'„'> и )((В<») = =1 — )((В<>>), то ~ Р<" >(С„) = ~ ~ ()((В<п)+ ЦВо )) Х "1 «Р ~л) Х)((Р„) Р, (х<л <(»,) Р(' ") (хп <(х, Х ... Х <>>х„„) ( ~(Р,(»„В<'>)+ — ~)((В„"')Р,(х„, <(х,)(Р,(х„Во>) + — '.
«, Поэтому Р,(х, В<<>) > е/2. Так как Рз(хз, ° ) является мерой, то отсюда следует, что Д Вл<<>ФЫ. Пусть х>енВ<>>, >>=-1,2, ... л ! Тогда )((Вл) х„х„..., хщ )Р '" (х„<(хзХ ... Х<(хщ) > «Р л) Приведенные только что рассуждения можно применить к ядру Р('"л)(х„<(хзХ ... Х<1» „) н мере Р>(х„<1»з). Тогда будет доказано существование такой точки х<ь что для любого В у.фл. х! хм хз." . »т)Х (3, лвл) ХР( )(хы <ЬзХ ХВхл)> — ° Таким образом, строим последовательность (х>, хп ..., х„„...), в которой х„ни Х„и при любом з, 1)„ )((фл' х! хз ° хл «л+! ° ° »е„)Х «(з+!' "!л) ХР( )(х„<(х,нХ ° ..
Х<(х )> —,. 1ББ случАяные последов»тельь!Ости [гл. ш Возьмем произвольное множество Сы Допустим, что его основание В! расположено над координатами (1, 2, ..., з), Последнее неравенство показывает, что (х|, х„..., х,) ы О» (в противном случае было бы 11(1)»; хп х»...., х„х,+,„..., х ) =О при всех (х,+|, ..., х,„)). Поэтому (х|, хь ..., х„...) ~ С», каково бы ни было С», и, значит, | | С»~ Я, что противоречит »"! первоначальному допущению. ® Следствие.
Пусть дана счетная последовательность вероятностных пространств (Х„,6„, о„), п = 1, 2, ... Пусть Х— пространство всех последовательностей ы =(х|, хь ..., х, ...), х, е= Х, и в — о-алгебра, порождаемая |1илиндрическими множествами Х . На (Х, $) существует единственная вероятностная мера С) такая, что 0(ы; х» я В», й = 1, 2, ..., и) = Дд»(В»), В» ен 6».
» ! Иными словами, если задана некоторая последовательность вероятностных пространств (Х„, 6„, д„), и = 1, 2, ..., то всегда существует вероятностное пространство (Й, 6, СЦ и последовательность отображений 1„пространства (г в Х„таких, что случайные элементы $„, =1 (ы) имеют заданные распределения о на 6„и (Б„, и = 1, 2, ...) независимы в совокупности. Замечание.
Доказанная теорема, в отличие от теоремы Колмогорова (гл. П, 5 2, теорема 5), не использует каких-либо топологнческнх предположений о природе пространств Х . С другой стороны, она является менее общей, чем теорема Колмогорова, так как относится к специальной конструкции мер в произведении пространств. Возвратимся к цепям Маркова. Определение. Цепью Маркова с фиговым пространством (Х,6) называется семейство мер Р! |( ), заданных на (Хл, Х, Я, зависящих от произвольной меры и! на (Х,6) как от параметра, частные распределения которых определяются формулой .Р ! > (еи х» ~ В», й = О, ..., и) = = ~ т(йх) $ Рь(х, йу,) ... ~ Р„,(у„„В„), (8) в„ в, ВО где (Р„(х, В), п = О, 1... ) — некоторая система стохастических ядер на (Х,6). Стохастические ядра Р„(х, В) называются вероятностями перехода за один шаг, а мера тп — начальным распределением щели.
Фиксируя меру |и, получим случайную последовательность ЦЕПИ МАРКОВА 187 со значениями в Х, которую будем называть марковским процессом, соответствующим начальному распределению т. Конечномевные распределения этого процесса будем обозначать через Р1, 1 ...,, а операцию вычисления математического ожидания некоторой функции от процесса по вероятностной мере Р! ! обозначим символом М . Если мера гп сосредоточена в фиксированной точке х фазового пространства, то х будем называть начальнь1м состоянием процесса, а конечномерные распределения, меру в (Х, 6) и математическое ожидание некоторой функции от процесса по соответствующей мере будем обозначать через Р)*,,1рв ..,, » ° Роо и М„соответственно. Положим (й г) Р (й, х, г, В) = ~ Р»(х, ду»+1) ~ Р»«~ (у»+и ду»+») ° ° х х ...5Р,-,(у, „"у, )Р, (у,— и В)' х С аналитической точки зрения Р(й,,г, ) — стохастическое ядро, являющееся сверткой вероятностей перехода Р» «Р»«» - ., ...
«Р„ь Оно также называется вероятностью перехода. Точнее, Р(й,х,г,В) есть вероятность перехода нз состояния х за промежуток времени (я, г) в множество В. Из ассоциативности свертки ядер вытекает равенство Р(й,х,з, В)=)Р(й,х,г,ду)Р(г,у,з, В), й<г<з, (9) к т. е. уравнение Чепмена — Колмогорова, а формула (7) дает. М. ~ (в (11) $ (!»)~ , $ (1.)) = = ~ гп (их) ~ Р (О, х 1, ду1) ~ Р (11ф У! (м с(У ) Х ° ° ° Х ~1(У1 ум ° ° ° у~) Р(1~-1 у~-ь (~ ау) (10) Обозначим $(гп) =В(т, ь») координатную функцию на Х Х Х: (/и) ьз) хм п» 0 1~ ь3 (хь х|> ) Формула (10) позволяет уточнить теоретико-вероятностный смысл вероятностей перехода.
для этого вычислим условное математическое ожидание функции 1(в(з), в(з+ 1), ..., $(в+и)) (1(уьуь, у ) — неотрицательная борелевская функция и+ 1 переменных) относительно а-алгебры 51с ц, порожденной величинами в(0), $(!),, 5(1), 1< з. Соответствующее условное математическое ожидание обозначим через Ч'. По определению Ч' есть единственная 81» П-измеримая случайная величина такая„ случ4йные последоВАтельности [гл. Н! что для любой неотрицательной функции й(х„х[, ..., х~) выполняется равенство М д(ь(0), ь(1), ..., ь(!))[ (Е(з), ь(а+ 1), ..., $(а+и)) = М.д(;(0), й(!), ..., й([)) Ч. С другой стороны, из (10) следует, что М„д(ь(0), ь(1), ..., В([))) (е(з), ь(з+ 1)... „В(з+ п)) = =М„,д($(0), $(1), ..., $(п))1, где Р =7 (:([)) = 1 Р ([, '(!), 3, йу.) 1 Р.
(У,. йу,) Х... ... Х ()1(у„у„..., у.) Р,+.—,(у., йу.). Таким образом, Ч' = [. Полученная формула приводит к следующим выводам. Т е о р е м а 4. Условное математическое ожидание произвольной неотрицательной функции [($(з), $(в+1), ..., $(з+п)) относительно 5[ь, ~[ (1 ~ з) не зависит от начального распределения т, от вероятностей перехода, предшествующих моменту времени [, и от значений $(0), $(1),..., $(! — !). Оно дается выражением М ([(е(з), $(з+1), $(з+п))!6[ь,п)= = ~ Р (1, ф ([), з, йу,) ~ Р,(у„йу[) ... )(уы у„..., у„)Р,+„[(у„„йу„). (!1) условное распределение величин $(з), $(а+ 1), ..., $(з+ и) в (Х"",6 +1) относительно 5[ь, ~[ совпадает с прямым произведением ядер Р([, а([), ), Р.(' ') Р+ — (' ').
В частности, вероятность перехода Р(й $([), з, В) совпадает с условной вероятностью попасть системе в момент времени з в множество В, если известны состояния $(0), е(1), ..., В(!), Эта вероятность зависит только от состояния $(1) в последний известный момент времени и не зависит нн от значений $(0), 4(1), ..., $(! — 1), ни от т, нн от вероятностей перехода Р[(, ), Рз(, ° ), , Р[(, ° ). Последнее свойство марковской цепи, как упоминалось ранее, называют отсутствием последействия, н оно является основной качественной характеристнкой марковской цепи. 3 а меч анне.
Пусть дано измеримое пространство (Х,Ю) и на нем система стохастических ядер Р„(х,В),п 0,1, ...Тогда ЦЕПИ МАРКОВА 189 существует марковская цепь, для которой Р„(х, В) являются вероятностями перехода за один шаг. Доказательство этого утверждения и конструкция соответствующего вероятностного пространства даются теоремой 3. Марковская цепь называется однородной, если вероятности перехода за один шаг нс зависят от времени: Р<(х, В)=Р(х, В). В этом случае вероятности перехода за промежуток времени (1, з) зависят только от длины этого промежутка: Р(г,х, з, В)= = ~ Р (х, Вд,) ~ Р (д„ад,) ... ~ Р (д, „В) Р (д,, <(д, >) = х х х =Р"-'>(х, В). Для однородной цепи уравнение Чепмена — Колмогорова принимает следующий вид: Р<" "'(х, В) = ~ Р'*>(х, г(д) Р< >(д, В). х Пусть марковская цепь однородна. Формула (10) показывает, что М„~($(з+ 1), «(а+ 2), ..., «(а+а)) = =М >(«(1), «(2), ..., «(и)), (12) где т,(В) = $ Р (О, х„з, В) т (<(х) = $ Р"> (х, В) т(<1х).
Если величина (12) не зависит от з, какова бы ни была функция <( ° ), то однородный марковский процесс, соответствующий заданному начальному распределению т, называется стационарнь<м. Для стационарности процесса необходимо и достаточно, чтобы мера т удовлетворяла условию т(В) = ~ Р<'(х, В) т(Нх). (13) Это условие эквивалентно более простому: т(В) = ~ Р(х, В) т(<(х).
Действительно, (14) является частным случаем (13). Если же ,(14) выполнено, то т(В) = ~ Р (х, В) ~ Р (д, <(х) т(<(д) = ~ 1 йл (д, В) т (<(д) = ... = ~ Р<Ч (д, В) т (<(д ). 9 б! ЦЕПИ МАРКОВА СО СЧЕТНЫМ ЧИСЛОМ СОСТОЯНИЙ !91 Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
