И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Система может менять свои состояния в момент времени ! = 1, 2, ... Вероятностью перехода Р! )(х, В) называют условную вероятность системе, находящейся в момент времени т в состоянии х еи Х, оказаться в момент времени и ) !и в одном из состояний множества В, В си 6. Предполагается, что Р! ">(х, В) при фиксированном х является мерой на 6, Р( "!(х, Х) = 1, а при фиксированном  — 6-измеримой функцией от х. Основное предположение о характере теоретико-вероятностной эволюции рассматриваемой системы — это отсутствие последействия.
Формально это выражается в требовании, чтобы вероятность перехода удовлетворяла уравнению Колмогорова — Чепмена; Р!' "! (х, В) = ~ Р!'" "! (у, В) Р!' ""(х, ду), 1 ( т < и, х длявсехО<1<т < а,хяХ,Вен6. В случае дискретного времени уравнение Колмогорова— Чепмена показывает, что вероятности перехода Р<"! ю(х, В) ЦЕПИ МАРКОВА индуктивно определяются через вероятности перехода за один гпаг Р„(х, В) = Ры "">>(х, В).
При этом Ое> Р' "+ц(х, В)= ~ Р„(у, В) Р< ю(х, ау). х Покажем, что для любого измеримого пространства (Х, 8), нормированной меры т на 8 и последовательности стохастических ядер Р (х, В), и = (>, 1, ..., можно построить цепь Маркова, для которой вероятности перехода за один епаг равны Р„(х, В), ,а начальное распределение состояния цепи задается мерой и>. Для этого рассмотрим задачу о построении с помо>цью данных стохастических ядер меры в произведении пространств. Пусть К вЂ” некоторый класс действительных функций.
Напомним, что К называется конусом, если одновременно с парой функций )' и д из К ему принадлежат и все функции вида .а)+ Ьд, где а и Ь вЂ” неотрицательные числа. Класс К называют монотонным, если нз того, что („~ К, )„~ >„+>, и = 1, 2, ..., вытекает 1(п> 1„ен К, Л е м м а 1. Пусть И вЂ” полукольцо множеств из Х, 6— о-алгебра, порожденная И, К вЂ” некоторый класс функций, определенных на Х, обладающий следующими свойствами; а) он является конусом и монотонным классом; б) из О = >"> ( 12 вытекает 1'г — >'> ен К; в) 1 е= К; г) он содержит индикаторы множеств из %. Тогда К содержит все неотрицательные 6-измеримые функ,ции, Доказательство. Пусть 2' обозначает класс всех подмножеств Х, индикаторы которых входят в К Тогда: а) Х вне; б) если А я У, В я 2' и А с: В, то В',А ен 2' и Х',А ен 2'; в) если А ен2.
и ВенЫ, то А ПВ ~ 2" и А()Вен 2'. Таким образом, 2' является алгеброй множеств. Из монотонности класса К вытекает, что 2Р— о-алгебра. Итак, К содержит индикаторы всех 6-измеримых множеств. Поэтому К содержит все простые 6-измеримые функции и пределы монотонно неубываютцих последовательностей простых функций, т. е.
все неотрицательные 6-измеримые функции, 9 Л е и и а 2. Пусть 1(х, у) — неотрицательная о(6 г(8)-измеримая функция и Р(, ° ) — стохастическое ядро на (Х, 8). Тогда функция й(х) = ~ >'(х, у) Р (х, йу) х 6-измерима, Доказательство. При фиксированном х функция 1(х, ° ) 8-измерима, так что интеграл в правой части равенства имеет СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ игл. Йп 180 смысл. Класс К неотрицательных функций 1(х, ), для которых лемма верна, является конусом и, в силу теоремы Лебега, монотонным, Кроме того, К содержит разность двух своих элементов и 1(х, у) — = 1 ен К.
Так как он содержит индикаторы множества вида А Х В, где А я й, Б ец 6, то он содержит все неотрицательные о(6 Х 6)-измеримые функции. Я Следующие предположения можно рассматривать как обобщение известной теоремы Фубнни. Теорем а 1, Пусть (Х, 6), (У, 6), (2, 6) — измеримые пространства, Ц1(х, В), С)е(у, С) — стохастические ядра на (Х, 6), (У,Ц соответственно. Существует, и притом единственное, стохастическое ядро Ць(х, В) на (Х, о(6 Х 6)) такое, что аз (х, В Х С) = ~ 0~ (х, йу) Ое (у, С).
в Ври этом для произвольной неотрицательной о(8 Х й)-изме- римой функции 1(у, г) имеем 1 ~ь, Аоь, иха>-)ЯН„, Аоь, ь~)О ь, м. р~ тхе уАЕ Для доказательства первой части теоремы достаточно показать, что формула (1) определяет на полукольце прямоугольников в У Х 2 полуаддитивную предмеру. Пусть В1 = В, Х Сн Рч = Вз Х Сз и Ве с Вь Тогда ААЕ с: Вн СА с С~ и В| = ВА0 () В'() В", где В'=ВЕХ(С1'хСе), В" =(д~' Ве) Х Сь Множества Вм Р', В" попарно без общих точек.
Если п)>именить формулу (1) последовательно к множествам Вм В и В", то получим Оз(х, Ве)+ Оз(х, В')+ Оз(х. Р") = =~а,(х, у)а,(у, С,)+~а,(х, йу)а,(у„С,,С,)+ з~ в, + ~ О, (х, ду) О, (у, С) = ~ О, (х, ду) О, (у, С) = О, (у, В,). в, з,'хв, Таким образом, функция С)ь(х, В) аддитивна на рассматриваемых специальных разбиениях множества В. В частности, если Вь — — В1 0Вм где В; — прямоугольники и В1ПРЕ = И, то СЬ(х, Р1)+ С) (х, Вз) = СЬ(х, Р ) и С)з (х, У ХЛ)= 1. Аддитивность функции Оз(х, )на полукольце всех прямоуголь- ников в общем случае нетрудно получить по индукции.
БЕЛИ МАРКОВА 181 Пусть Р = () .О», где Р« — прямоугольники попарно без обй 1 л-1 щих точек. Тогда Р '~ Р„=Р'() Р" = ] ) Р», где Р' и Р" опрей 1 деляются только что использованными формулами. Как у>не доказано, О3(Х, .О) =О»(Х, Рл)+ О3(Х, .О)+ О3(Х, Р ). Используя предположение индукции, получаем "л-1 ! ! л-! о 1*, а ! =о (*, о а(1> а.))- е о 1*, а аа ! «-1 «-! и аналогичное выражение для С)3(х, Р"). Таким образом, л-1 О3 (Ху Р) О3 (Х~ Рл) + > ' [О3 (Хв Р П О») + О3 (Х> Р П Р«)] й-1 Так как Р' и Р" — прямоугольники без общих точек, в сумме покрывающие Ры то Р'П Р«и Р" П Р« — также прямоуголь- ники и (Р'П Рй)() (Рл() Р«) = Ры Поэтому О»(х, Р' Й Р«)+ '+ С)3(х, Р" Д Р„) = С)3(х,.0«) и, следовательно, О,(х, Р) = Е О,(х, Р,).
«-1 Таким образом, адаптивность С)3(х, .) доказана. Докажем те- перь свойство полуаддитивности для Я»(х, ). Пусть Ра а='Ц Р», л Р» — — В«)а,С«, я=О, 1, ... Тогда Хо,(У, х)~(~~ Хл«(У, х). Так «1 как Хл«(У, х) =Хэ (У)Хс«(г), то Хаа(У) Хса(х) ~ Х Хв»(У)Хс»(х). Интегрируя обе части этого неравенства по мере С)3(у, ) по пространству Л, получим Х„(р) О»(р, С.) ( й Х.„(у) О,(д, С,). Еще раз интегрируя полученное соотношение по мере Я!(х, ), придем к неравенству Ю О,(х, Р,)«=Х О,(х, Р.), »-1 СЛУЧАИНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [82 [ГЛ. П! доказывающему, что С)з(х, ПА) счетно полуаддитивна. Отсюда вытекает, что Цз(х, В Х С) допускает единственное продолжение иа о(6 Х <ь).
Чтобы доказать формулу (2), заметим прежде всего, что в силу леммы 2 внутренний интеграл в правой части равенства (2) является 6-измеримой функцией, так что двукратный интеграл в правой части формулы (2) имеет смысл. Далее, класс функций ) () = <)), для которых формула (2) верна, удовлетворяет условиям а) — в) леммы 1. Кроме того, в силу формулы (1) он содержит индикаторы прямоугольников. Поэтому он содержит все о(6Х<т)-измеримые неотрицательные функпии. Я Точно так же доказывается следующая Теорема 2. Пусть (Х, й), (Уь 6)), ..., (У„6„) — измеримые пространства и С)) (х, В< )) „О)(у),В<!)),..., Ц,(у, ),В<в)— стохастические ядра, уь я УА, В<А) я 6А (й = 1, ..., 8).
Существует единственное стохастическое ядро С)Р ')(х,0) на (Х,й)), где й) = о(6< Х 6з Х ... Х 6,), такое, что О ' (х, В ' Х ... Х В ) - ~ О, (х, йу,) ~ О,(ун йу,) ... за) в<2) О,(у, ), В<'))О,-<(уь-м йу!-!) (3) в<'-н При этом для произвольной неотрицательной л)-измеримой фУнкЦии 1(У! Уь ° ° °, У ) ((у„..., у.)ОН )(., йу<Х ... Х«у.)= т,х... хт, = ~ О,(х, йу!) ... ~)(у„..., у,)О,(у, „йу,). (4) У) 3 а меч ание. Формулы (2) и (4) доказаны для неотрицательных функций.
Но они, разумеется, верны для произвольных 1, если только одна из функций 1+ или 1- интегрируема. Аналогичное обстоятельство будет иметь место и в других теоремах, в которых ради краткости упоминаются только неотрицательные <~)ункции. Ядро Ц< ') называют прямым произведением ядер Ц<, Цм... ..., С), и пишут О<! и=0)ХС)ЕХ ХОв. Если в (3) положить В<') = Уь ..., В<'-') = У, ), то полу-чаем новое вероятностное ядро в (Х, 6,): О" ' (х, В")) = Оп' " (х, У, Х 1', Х ... Х У, , Х В<')) (5) ЦЕПИ МАРКОВА 1аз Его называют саарткой ядер Яь Ям ..., О, и пишут Оеь ' = 01 * Оз ... * О, Применим формулу (4) к функции 1(уьум ., У.) =1(у.) = = тапа(у~о) н сопоставим ее с (5). Получим ~(у.)Оо "(х, ау Хг(у Х ".
Хпу.)= У, х У, х ... х У, = ~ 1 (у,) Ом' н (х, с(у,). (6). У, Так как класс неотрицательных функций, для которых фор- мула (6) имеет место, удовлетворяет условиям леммы 1, то (6) имеет место для произвольной неотрицательной 8,-измеримой функции. Отсюда в свою очередь вытекает, что для произволь- ной неотрицательной о(Зт, Х 3, Х Х З„, Х 3,)-измери- мой функции у+1 переменных 1'(у,, у,, ..., у, у)(у ~Ут, 0<т1 <те« ... т,<з) имеем 1(у „у „" . у,, у,) Х у,хг,х ... ху,,ху, Х Оп н (х, Ф~ Х с(уз Х ° ° Х с(у,) = Оеь а(" Ф,) ~ О' '+' '(д, ау )... у., у.) ... Ут, ~ 1(ут, ~ Утг УР) О (Утг Фз) (7) У, Частным случаем формулы (7) является соотношение О~п' м=(:1 (ь '1 О ( '+ь т'1* ° 0*(~'+ь Р) означающее, что операция свертки ядер является ассоциативной.
Рассмотрим бесконечные произведения стохастическнх ядер. Пусть (Х„,х)„), и =0,1,2, ..., — бесконечная последовательность измеримых пространств и Р„(, ), и = 0,1, ..., — последовательность стохастических ядер, определенных на (Х„В„„Д. В соответствии с теоремой 2 построим прямые произведения ядер Р"' "' = Ро Х Р~ Х Х Р, Рм М=РИ ю(х„0), х,еиХМ Вен%„+о где 6 — минимальная о-алгебра, содержащая прямоугольники ~~ХВ~Х .. ХВ (В~~8~), 6 -~(6 Х6~Х ... Х6 ). сль киные послвдозхтвльностн 184 1гл. гн Введем пространство Х =ПХ„, элементами которого слук ! жат бесконечные последовательности в =(хохм ..., х, ...), х„~ Х Через 6ч обозначим алгебру цилиндрических множеств Х', Определим на 6е семейство функций множеств Р!"», зави- сящих от параметра х, (хе ниХг) следующим образом: если С— цилиндрическое множество, С = (ьп (х„..., х„, ...) ен 0), Р ~ 6„, то полагаем Р'">(С)=Р!' ">(хг 0). Это определение однозначно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
