И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 26
Текст из файла (страница 26)
1~~ Рассмотрим субмартингал е. е. - .*$, (5. 5., — 6,) (20) Обозначим 5 = П 5 „. Результаты, получаемые в этом слул ! чае, несколько сильнее предыдущих. Т е ар ем а 1О. Если !п1М$„.> — ьо и последовательность (20) является субмартингалом, то она равномерно интегрируема, предел 1пп$ „= и существует с вероятностью 1 и в .м.! и М(е „!5 „)~$ „. (21) Доказательство, Докажем сначала, что последовательность $ „, и = 1, 2, ..., равномерно иитегрируема.
Так как последо- при С->со равномерно по и. Далее, 1~„!д = ~ ~„дР— 1,'Ел, > с) 1!„> с) (гл с -с) т!дР— ~ т!дРЛ' ~ 1т!!дР— 0 при С- оь (ьл > с) (ьл > -с) 1!Ел! > с) рав!юмерно по и, так как Р(~~„~) С)->О при С->со равно- мерно по и. Таким образом, последовательность $„, и = 1, 2, ..., равномерно интегрируема. Из равенств М(,„„1Р.) = М(М(п Д„„)1-;„) =М(п1Д„) =й„ следует, что $„— 5„-мартингал. Остается показать, что з! в клас- се 5 -измеримых случайных величин определяется единствен- ным образом. Так как М(А1!5,) = М(с (5,) для любого и, то мАРтингхлы т.
е. величина Р()$ „) ) С)-~0 при С-ь со равномерно по а. Поэтому найдется такое С = С(е), не зависящее от и, что МХ(! ~,( > С) (к „) < е. Таким образом, Мх((В .~ > С) ~В .! <2е Уп) по Равномерная интегрируемость последовательности $ „, и = 1, 2, ..., доказана, В частности, М]е „~ < )]. Существование с вероятностью 1 предела $ последователь ]ости е вытекает из неравенства Дуба и доказывается точно так же, как доказательство существования предела в теореме 7. Из равномерной интегрируемости последовательности я „ тогда вытекает сходимость в 2'ь Кроме того, в неравенстве ~ ~ „г1Р< ~ 5 ИР, п> е, Вен5 можно перейти к пределу при п -Р оо.
Получим ~~ „1 <~~, 1Р, е в откуда вытекает неравенство (21). ф вательность М$ „монотонно не возрастает, то существует 1пп Ме „=1> — со. Для любого е > 0 найдется такое пм что О <М~ — Ме~ „< е, п)п„. Заметим, что мх(!В „1>с)!ь „1= = — Мр „+ Мх(~ „=: — с)й „+ Мх(р .> С)~ „, где х(А) — индикатор события А. Из определения субмартин- гала следует, что при и ) и, мх(я > — с)", .= мх(~ > — с)1 мх (ь „> с) ~ „< мх (й „> с) ~ Таким образом, Мх((Ь „(>С))в „)< <е — МЬ „, + МХ(В „> — С) В + МХ(а „> С) е < <е+МХ(~В „]>С)1~ „~. С другой стороны, (5 „! = 2~+ — ~, М ! ц ) <2М~+ 1 — 1 так что в силу неравенства Чебышева Р(~и „]>с) < М]1 „~ !гл.
Нп случАйные последоВАтельностн !46 С л е д с т в и е. Если (..., й „, й „еь ..., й 1) — мартингал, то г- = !Нп е „существует с вероятностью 1 и в Я1, последовательность е „равномерно интегрируема и е = М(е-л(6- ). Действительно, если е „вЂ” мартингал, то и $ „и — $ „являются субмартингалами. Кроме того, М~ „= сопз(. Применяя теорему !О к последовательностям $ „и — ~ „, получим требуемое. 5 2. Ряды независимых случайных величин В настоящем параграфе рассматриваются условия сходимости с вероятностью 1 рядов с независимыми случайными членами. Пусть дан ряд ь1+ ь2+ ' ' +ел+ (1) Т е о р е и а 1.
Если существует последовательность чисел е >О, п=!,2, ..., такая, что Х гл < ьь, 2, Р (! Е„1) ел) < ьо, (2) то ряд (1) с вероятностью 1 сходится абсолютно. Доказательство. Пусть А„= ((2„~ > е„). Из сходимости второго ряда в (2) и теоремы 8 $ 1 гл. П следует, что Р(!ПпА„)= =О, т.
е. с вероятностью 1 наступает только конечное число событий А„. Таким' образом, существует такое 1У = Л1(ь2), что при п > Л1(ы) !$ ~ ( е„и ряд (1) сходится. ° Более сильные результаты имеют место для полумартингалов. Положим ~„=~1+~2+ ... +~„, ~„=0, ~„= о(~1 ..., ~„). Т е о р е м а 2.
Пусть $„интегрируемы, и = О, 1, ... Тогда; а) если М(е„!3„,)>О и епрМ~„+ < ьь, то ряд (1) сходится с вероятностью 1; б) если М (й„!5л-1) = 0 и при некотором р > 1 зпр М ! ~„!» < Сь, л тэ ряд (1) сходится с вероятностью 1 и в 2' . Условие а) равносильно предположению, что (~, 6„) — субмартингал. Соответствующее утверждение является поэтому следствием теоремы о сходимости субмартингала.
Условие б) означает, что (С„,5„) — мартингал. Поэтому (~„(» — субмартингал и М зпр! ~„!» ~~у~ зцр М ! ~„!'. Таким образом, величина л л (~„(» равномерно интегрируема и ~„сходятся к некоторому пределу с вероятностью 1 и в Ы'р (теорема 16 й 1 гл. П, теорема 9 $ 1). ° »яды нвз»висимых сл»»иных величин 147 ч 21 Следствие 1. Если МД„~6 2)=О и ~, МЦ< со, то л ряд (1) сходится с вероятностью 1 и в Ыг, Доказательство вытекает из того, что при й Ф и МЫ„=М(» М Ц„Л„,))=О, » хг» л» » М~-„' = М ~ ~, $» ) = ~„МЦ + 2 ~, ~ М~Д, = ~„М$-', и из утверждения б) теоремы. ~ Для рядов с независимыми членами последний результат известен как теорема Колмогорова.
С л ед с та не 2 (теорема Колмогорова). Если (~„, и = = 1, 2, ...) — независимые случайные величины, М$» = О и ряд ~ 0~» < со, го ряд (1) сходится с вероятностью 1. Ь-2 Это утверждение вытекает из следствия 1, если под 5„ понимать о-алгебру, порожденную случайными величинами чь $2, ..., $, н принять во внимание, что в силу независимости случайных величин й„ М (2„! 3„- Д = М й„= О. Р ( шах ~ ~» 1<1)< »1'+ 1 ~<»<» к а» », (3) еде о'- = Маг». Обозначим через Е„события ( шах ~~»!»(1), п=1, 2, ... оа»<» Они образуют монотонно убываюшую последовательность. Имеем » МХ (Е„) ~г = Е М (Х(Е,) ~', — Х (Е,,) ~',,) = Л » = 2 МХ(Е»,) (Я вЂ” ~',) — Х Мх(Е»,' Е )~2».
(4) Остановимся подробнее на сходимости рядов с независимыми слагаемыми. Как следует из закона 40 или 1», такие ряды сходятся или с вероятностью О, нли с вероятностью 1. В дальнейшем понадобится одна оценка для распределения максимума сумм независимых слагаемых.
Т е о р е м а 3, Если ($», й = 1, 2, ..., и) независимы, МЬ, = О 'и 1с»1< с с вероятностью 1, еде с — некоторая постоянная, то глзчлпныв послвдовлтвльности !гл, гм 148 Далее, МУ (Еь, '; Еь) Д = М т. (Еь, ', Е „') Д, + Еь)г (» »»(1+ с)' МХ(Еь-у" Еь), Ф л МХ(Е,", Е„) Ц ((1+ с)г ~~'„МХ(Е,,~, Е,) = = (1+ с)' (! — Р (Е„)!.
(5) л 1'Р (Е,) )~ Мт (Е„) ~'„) ~, о!Му (Е„,) — (1 + с)' (1 — Р (Е )) ~) ьрщ(Х ч~-ь+ «) — ь~-.«, или ь+.«) р ~яг( ь ",~ г~-ы). се-~ (7) откуда следует (3). И В общем случае рядов с независимыми слагаемыми вопрос о сходимости ряда (1) полностью решается следующей теоремой. Т е о р е м а 4 (теорема Колмогорова о трех рядах). Для того чтобы ряд (1) независимых случайных величин сходился с вероятностью 1, необходимо, чтобы для каждого с О, и достаточно, чтобы для некоторого с ) 0 сходились ряды 2,' Р (1~„~ ) с), 2 МЬ'„. Х (у~„'.
(10) (9) где $'„=~„при (В„(< с и $'„=0 при ~~„~) с. Доказательство. Достаточность. В силу следствия 2 теоремы 2 с вероятностью 1 сходится ряд ~, (~„' — Мв„'), откуда, прии 1 Кроме того, 1~4х(Еь- ) (6ь «ь-~) = Мт(Еь- ) (2'ь-Ль+ Ц) = = 2МХ(Е,,) «,,Мь, + МХ(Еч,) МЦ = о-„'МХ(Е,,) (6) Соотношения (5) и (6) дают гиды назлвиснмых слэчлиных ввличин 149 нимая во внимание сходимость ряда (9), вытекает, что сходится ряд ~ $„'. Из условия (8) и теоремы Бореля — Кантелли елея ! дует, что только конечное число членов ряда ~ ($„ — В'„) отл ! лично от нуля.
Поэтому ряд (1) сходится с вероятностью 1. Необходимость. Пусть ряд (1) сходится с вероятностью 1, Тогда его общий член с вероятностью 1 стремится к нулю, так что лишь конечное число членов ряда превосходит по абсолютной величине с (с ) 0). Поэтому с вероятностью 1 сходится ряд С'„, 5'„. Обозначим через (>1„), п = 1,2, ..., последователь- и ! ность независимых случайных величин, не зависящих от последовательности (в'), а = 1,2, ..., и имеющих такие >ке распре!! деления, как и $„'. Положим $„=5„' — т1„, Тогда ряд ~, $„схол ! дится с вероятностью 1,Мэ„=О, ~~„~(~2с, 0э„=20$„'. Из сходимости ряда ~ $„следует, что л Поэтому при некотором г Из неравенства (3) следует при любом и 2 ~~ 0$'=~03„а что доказывает сходимость ряда (10).
Из следствия 2 теоремы 2 вытекает тогда,что с вероятностью 1 сходится ряд х ($'„ — Мэ,',). !! 1 Отсюда в свою очередь следует сходимость ряда (9). Сходимость ряда (8) вытекает из теоремы Бореля — Кантеллн, так как если ряд (1) сходится, то с вероятностью 1 найдется только конечное число членов ряда (1) таких, что 1$,1 ) с. И С л е д с т в и е. Для сходимости ряда (1) независимых неотрицательных случайных величин необходимо, чтобы для любого СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ .[Ео [Гл. [и .с ) О, и достаточно, чтобы для некоторого с ) О сходились ряды ~ Р (~„> с~, 2: М~'„. Действительно, для неотрицательных величин $„имеем М~'„'(СМ$'„так, что из сходимости ряда (9) вытекает сходимость ряда (1О).
Из теоремы О сходимости рядов с вероятностью 1 при помощи простого преобразования можно получить теоремы типа усиленного закона больших чисел, т. е. теоремы о сходимости с вероятностью ! некоторых средних от случайных величин. Приведем пример такого рода. Лемма 1. Если ряд ~Ел сходится и а„— монотонно возл ! Растаюи[аЯ последовательность, а„) О, ал -э.
Оо„го [ ~' — лт а»г»-»О. ьл й-! Доказательство. Пусть 5»=О, 8„= ~, г, и 15„[л с, и= » ! =1, 2,..., где с — некоторая постоянная. Положим ай — а» =Ь„, й=1, 2,..., аь — — О, Тогда Х айгй = Х (б! + бй+ . + б») гй = Х б» (5„— 5» !).. й ! й-! й ! Поэтому л лл — у~. <) — г,л[л.— л+ р ~л„— л,-,!< [ ! ал лл л,~йал »-! й-! (2С вЂ” '" + впр [3„— Я» ! ) ( е л,<» ~л для любого е ) О, если и и пь выбраны достаточно большими.
® Из доказанной леммы и теоремы Колмогорова (следствие 2 .теоремы 2) вытекают следующие утверждения. Теорема 5. Если ($, и =1, 2, ...) независимы и зРГОдические теоеемы 1ВР то с вероятностью 1 Иш „~~', (з — Мз ) = 0, 1 ь-~ Для одинаково распределенных случайных величин й„более сильные результаты будут получены в дальнейшем как следствия общих зргодических теорем.
й 3. Эргодические теоремы Рассмотрим стационарную случайную последовательность. Ц(1), те= Т), Т =(й 1=0, ~1...,, -~п, ...), со значениями в некотором измеримом пространстве (Х, 6). Стационарность. последовательности означает (см. гл. 1, $ 5), что совместное распределение последовательности Ц(1~+1), $((а+1), ... , $(1„+ 1)) не зависит от 1, каковы бы ни были п, (, 6ь ... ..., 1„((ен Т, и ) 0). Это определение равнозначно тому, что для любой ограниченной 6"-измеримой функции 1(хь ..., х ), хд~Х, величина М1(~(11+1), ..., С(1„-(-1)) не зависит от 1' для любых и, (ь ..., 1„. Пусть Хт обозначает пространство всех последовательностей и =( .* х-, х- +ь ..., хо, хь ..., х„,,), 6 — минимальная о-алгебра, содержащая все цилиндрические множества Хт, Рь— мера, индуцируемая на 6 последовательностью ~~(г), с ~ Т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
