И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Поставим вопрос шире. Допустим, что производится некоторый эксперимент Э. Как следует определить вероятности событий, наблюдаемых в других экспериментах, если предположить результат эксперимента Э фиксированным? Прежде чем дать формальное определение, обсудим и рассмотрим поставленный вопрос в частных случаях. Поскольку эксперимент Э полностью описывается о-алгеброй 5 наблюдаемых в Э событий, обозначим вероятность, которую желательно определить, через Р(А ~Я и назовем ее условной вероятностью события Л относительно О-алгебры 5.
Если А ~ 5, то естественно положить Р(А ~Я = 1 или О в зависимости от того, произошло ли событие А или нет. Пусть теперь 5 является простой О-алгеброй, ń— ее атомы и Р(Е„) > О. Если А — произвольное событие на ю, то положим Р (А ~ 5) =- Х Р (А ~ Е„) Х (Е„), (2) где Р(А ~Е„) определяется по формуле (1). Отметим существенную особенность данного определения: условная вероятность является случайной величиной, зависящей от результата соответствующего эксперимента. Последнее формально означает, что условная вероятность является 5-измеримой случайной величиной. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ Введем понятие условного математического ожидания М(й)5) случайной величины $. Естественно положить М (а16) = ~ ВР (йм1О) нли Т Х (Ел1 ~ ь йР (3) При этом предполагается, что М5 конечно. Если в последней формуле положить а = Х(А), то получим условную вероятность события А: м(х(А)1о')=~~ х(е ) р' и") Р(А)5) л так что условная вероятность является частным случаем условного математического ожидания.
Пусть и — произвольная ограниченная 5-измеримая случайная величина. Тогда 11 = 2, а„Х(Е„). Умножая равенство (3) на т1, получим М (т1М Й ~ б)) = ~' а„~ $ дР = ~ ' ~ и~ с1Р л е л Ел или М (и М Я ~ Я) = М т1~. (4) Последнее соотношение полностью определяет условное математическое ожидание случайной величины ль, действительно, пусть й — 5-измеримая случайная величина такая, что для любой ограниченной 5-измеримой случайной величины т1 имеем М(чй) = М(11ц). Так как $ — постоянная на Е„, то $= с„при а ~ Е„.
Пусть т1 = Х(Е,). Тогда М(т)Е) = слМХ (Ел) = с„Р (Е„) = ~ $ йР, ал т. е. $ совпадает с правой частью формулы (3). Воспользуемся равенством (4) для Определения условного математического ожидания в общем случае. Если в (4) положить т1 = Х(Р), то оно примет внд ~М(иайР= ~~дР. О п р е д е л е н и е. Условньчм математическим ожиданием МД® случайной величины $ (Мв существует) относительно ЛКСИОМЛТИКЛ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [гл. и о-алгебры $ назывиется 5-измеримая случайная величина, удовлетворяющая равенству (5) для каждого с" е= 6. Теор е м а 1, Условное 'математическое ожидание произвольной случайной величины (Мв определено) существует и (гпоб Р) единственно. Доказательство. Правая часть формулы (5) является о-конечным зарядом ~р(с) на 5, абсолютно непрерывным относительно меры Р.
В силу теоремы Радона — Никодима существует 5-измеримая функция д(и) такая, что а (с ) = ~ д (и) Р (с(и). е ~ Р (А ~ ~) йР = Р (А П р). (6) Из теоремы 1 следует, что Р(А16) существует и при каждом А (А ~ Я) определяется (вод Р) единственным образом. Очевидно, что для любой 5-измеримой случайной величины выполняется равенство (4), если только величина П$ ннтегрируема. Соотношению (4) можно придать следующую важную интерпретацию. Предположим, что МС' ( оо. Будем рассматривать случайные величины как векторы в гильбертовом пространстве Ыг(11, !о, Р). Положим для краткости с = М(ДЯ, и пусть Н обозначает подпространство 2'г(й, 5, Р) всех 8-измеримых случайных величин с конечным моментом второго порядка.
Н является линейным замкнутым подпространством Уз((), 6, Р), $ ен Н, и для любого ц ~ Н Мт!($ — Ц = О. Это равенство означает, что вектор 5 — ь ортогонален подпространству Н, т.е. что $ является проекцией вектора В на Н. Итак, Остается положить М(в ~ 5) = у (и). Покажем единственность (пюд Р) условного математического ожидания. Если существуют две случайные величины $, и ьм удовлетворяющие определению условного математического ожидания, то для любого с ен5 ~(е! — е,)йР=О, что в силу 5-измеримости величины е! — "ьг возможно тогда, когда "! — — ~т (пюй Р).
р О и р е д е л е н и е. Условной вероятностью события А относительно о-алгебры 5 называют случайную величину Р (А ~ 5) = М (х(А) !Я. Прямое определение Р(А!8) можно сформулировать так: Условная вероятность Р(А!й) есть 8-измеримая случайная величина, удовлетворяющая для каждого г" ен 5 равенству УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ слн Мйз ( Оо, то условное математическое ожидание М(5~Я является проекцией 5 на подпространство всех 5-измеримых случайных величин с конечным моментом второго порядка.
Приведем ряд свойств условных математических ожиданий. условимся, что все рассматриваемые ниже случайные величины имеют конечное илн бесконечное математическое ожидание, а все написанные равенства понимаются как равенства с вероятностью 1. а) Если случайная величина 5 5-измерима, то МД~Я=$. Действительно, условие (5) выполняется тривиально, если положить М($ ~ Я = $. В частности, если А ен 6, то Р(АФ=х(А). (7) б) Если е1, 22 лринимоют значения одного знака или имеют конечное математическое ожидание, то М (2!+ 221О) М (ь! 1Я+ М (221Я' Положим $1 = М (51 ~ Я.
Для любого Р ~ 5 (Ф,-12>ю — 1ью'-)ьлг— ~ 21 с~Р + ~ $2 1" Р ~ (ь! + 22) йР Учитывая единственность (той Р) условного математического ожидания, получим требуемое. Следствие. ЕслиА П В =1о,то Р(А() В!Я = Р(А!Я+ Р(В ~Я(гной Р). в) Если $(21, то М й ~б) (М(т) ~Я, когда хотя бь1 одна из сторон неравенства имеет смысл. Если т))0, то ~ М(т1 ~5)йР)0 для любого Р~ 6. Следовательно, М(21~5)~ О. В обшем случае, положив 21 = ~+ +(21 — $) и воспользовавшись б), получим М (т1 ! Я = М (й ! Я + М (т1 — $ ! Я ) М (~ ~ Я.
г) Если $„, л = 1, 2, ..., — монотонно неубывающая лоследовательность неотрицательных случайных величин, то 11пт М Ц„~6) = М (ит1„а. хксиомлтикх таоеии ввеоятностви !гл. и !!з Действительно, в силу теоремы об интегрировании монотонных последовательностей ) !!го М (вь ! Я ар = 1!т ~ М Й, ! Я а'Р ( Вгп ~ й„йр = ~ 11щ х„яр Р е Р е Следствие. Если А„, и = 1, 2, ..., попарно несовместимы, го е ( 0 А.
~ з! - Х е ! А. ~ а. (8) Р (А П Е Ю = Х (Е) Р (А ! Я. (10) Повторное применение операции вычисления условного математического ожидания обладает важным и часто применяемым свойством «поглощения». Теорем а 2. Еслибы! с= Вы то М (М й ! 6»Н 6!) = М й ! 6!). Дока з а тел ь ство. Из Еен 5! следует Ран Вм и поэтому ) М(М(э!62)!о!) 1 МИЛ)др ) ьиР 1 М(а!6!)йр' .е г е Р Важное замечание.
Условные вероятностир(А !Я = Ра(А, в) являются функциями двух аргументов — А и ы (А ен !В, ы ~ !1). Равенство (8) имеет место только с вероятностью 1, причем исключительное множество й! тех ы, для которых (8) не выполнено, зависит от последовательности А„. Поэтому, вообще говоря, нельзя утверждать, что Рэ(А, а) для каких-либо а является мерой. д) Если математические ожидания а и а$ имеют смысл, сс— 3-измеримая случайная величина, то М (а$ 1Я = аМ ($ !Я. (9) В силу б) при доказательстве можно ограничиться предположением, что $ ) О и а ) О. Для дискретных и и $ равенство (9) было установлено ранее, хотя и записывалось в другой, но эквивалентной форме (4). В общем случае построим монотонно возрастающую цоследовательность неотрицательных дискретных случайных величин $„, сходящуюся к $ при каждом м, и монотонно возрастающую последовательность 5-измеримых неотрицательных дискретных случайных величин а„, сходящуюся к а, подставим в (9) и=а„, $ = й и -перейдем к пределу, положив сначала т- со, а затем и- со.
Используя г), получим требуемое. В С л е д с т в и е. Если Е ев !у, го УСЛОВНЪ|Е ВЕРОЯТНОСТИ Сопоставляя крайние части полученных равенств, получим требуемое. Заметим, что равенство М(М($(6>) ~6г) = Ы(5(6|) (6с-6г) тривиально. Действительно, величина Мфб<) 6|-, а тем более и 6г-измерима. Написанное равенство тогда вытекает из а). И Пусть рассматривается некоторый эксперимент, описываемый случайным элементом ь, ь = д(а), со значениями в (Х,6).
условное математическое ожидание МД(Ц случайной величины г относительно случайного элемента ь — это то среднее значение й, которое оно имеет при фиксированном значении ь. В соответствии с предыду|цими рассуждениями примем следующее О п р е дел ение. <МД'11)= МИ~61), где 6< — а-алгебра, порожденная случайным элементом Ь. Если исходить из первоначального определения условного математического ожидания, то это определение эквивалентно следующему: М(з<ь) является 6т-измеримой случайной величиной, удовлетворяющей при любом В е= 6 соотно|иению МЬ>ь)йР= ~ $йР.
е-' <в> е-' <в> Те о р е м а 3. Условное математическое ожидание М(К)Д является 6-измеримой функцией от ь, т. е. найдется такая 6-измеримая действительная функция й(х), хеиХ, что МД(Д= = й (ь) и <<'В е= 6 ~ й(х)Рд >(Ых) = ~ ~йР. в е-' <в> Первая часть утверждения вытекает из теоремы 5 $ 1, а вторая — из правила замены переменных (теорема 12 5 1). Я Отметим следующие свойства условных математических ожиданий относительно случайных величин, непосредственно вытекающие из предыдущего; е) Если ~ = й(~), где й(х) — 6-измеримая функция, то М($!Ц = ~, ж) Если ь< — случайные элементы з (Х<, 6<), < = 1, 2„ (ь<, ьг) — их прямое произведение, то М(МЦ> (ь<, ьг))>ь<) = = МД(Д. Утверждение е) следует из д), ж) — из теоремы 2.
Регулярные условные вероятности. Положим Р ( А ~ 3) = 3 = Р (А, а). При каждом А ~ 6 условная вероятность Рз(Л, а)- Определена однозначно, но только с вероятностью 1. Определение. Если существует функция р(Л, а), Л еи еи Ю. а еи й, такая, что АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВГРОЯТНОСТГН 1гл. н 120 а) почти для всех ы р(А, гь), как функция от множества А, является вероятностной мерой, б) при Фиксированном Л р(А, ы) (у-игл~грима и р (А, ьт) = Р' (Л, ьт) (гной Р), то р(А, гь) назглвают регулярной условной вероятностью, Можно привести примеры, когда регулярные условные вероятности пе существуют.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
