И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Следующая формула соответствует правилу замены переменных в теории интегрирования. Теорем а 12. Пусть 5 = д(Ь), где ~ = )(ьс) — случайный элелсент в (Х, 6), д — действительная 6-измеримая функция на Х, т = Р1-! — распределение случайного элемента ~. Тогда М~ = ~ д(х)т(йх), (15) х если одна из сторон этого равенства определена. Допустим, что на (Х, 6) задана конечная или о-конечная мера д. Напомним, что мера о называется о-конечной, если существует последовательность множеств В„, В„~ 6, таких, что ЦВ„=Х и д(В„) < ОО. л О п р е д е л е н и е. Мера т на (Х, 6) называется абсолютно непрерьсвной относительно меры д (т « д), если существует 6-измеримая функция р(х) такая, что т(В)= ~р(х)о(йх) для всех Вееб. (16) в Т е о р е м а 13 (теорема Радона — Никодима). Для того чтобы мера т бьсла абсолютно непрерывна относительно меры 4с, необходилсо и достатоссно, чтобьс из д(В) = О следовало т(В) = О.
Пусть т — распределение случалного элемента ь = 1(ы) (т = Р1" ') на (Х, 6) и и « д. О п р е д е л е н и е. Функция р, определяемая соотношением (16), называется плотностью распределения случайного элемента Ь относительно меры д. Плотность распределения обладает следующими свойствами: р(х))~О (пюд Р), ~ р(х)о(йх)=1.
х Если распределение обладает плотностью, то математическое ожидание величины с = ~(ь) можно вычислить по формуле М~ = ~ Т (х) р (х) о (йх). (17) х АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1гл. и 104 Пространство Жр. Класс случайных величин $, для которых М~~~~< ое (р >0), обозначим через Ы'р У»(14 ео Р) Этот класс линеен: если $,ЕЕ,У (1=1,2), то с$,Е=Ы и $,+$геи2'».
Первое из этих утверждений очевидно, а второе при р) 1 вытекает нз неравенства Минковского (13), при р ен (О, 1) — из неравенства ~~,+й,~'«1~,~ +~ 1,(» (О<р<1), (10) следующего нз того, что (1 + х) Р < 1 + х» (х ) О, 0 «р < 1). Если в Ыр (р ) 1) ввести норму 1 ц~~,=(М~Ы')', то оно будет полным линейным нормированным пространством. Сходимость в Ы последовательности $„к пределу $ означает, что М1й — й !» — ~0 при и ОО. Из полноты пространства Ыр следует, что для сходимости последовательности $„необходимо и достаточно выполнение условия Коши: М ~й„— ~„! 0 при н„л,— Последовательность случайных величин, удовлетворяющая этому условию, называется фундаментальной в ЫР. Из фундаментальности (а следовательно, и сходимости) в Ыр следует фундаментальность (сходимость) по вероятности. Это вытекает нз неравенства Чебышева Р()$„— $ ~ ) е~ <» М ($„— $„~». равномерная интегрируемость. Семейство случайных величин Д((), 1~ Т) (Т вЂ” некоторое множество) называют равномерно интегрируемым, если для любого е ) 0 можно указать такое У = Ф(е), не зависящее от г, что Мх(((В(т))>лЧИЬ(1)~<.
т т. В следующем утверждении указываются свойства, эквивалентные равномерной интегрируемости. Т е о р е м а 14. Семейство (Е(1), 1 ~ Т) равномерно интегрируемо тогда и только тогда, когда а) М!~(1)~<С 'у1~Т; б) для любого е ) 0 найдется б ) О, не эависяи(ее ог 1, такое, что для всякогр измеримого А, для которого Р(А) < б, имеем М11(А) 1$(1) )~ е. Заметим, что одна или конечное число интегрируемых случайных величин образуют равномерно интегрируемое семейство ПОСТРОЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ПРОСТРАНСТВ н если объединить два или конечное число равномерно интегрируемых семейств, то снова получится равномерно интегрируемое семейство.
Следующие признаки равномерной интегрируемости бывают полезными в конкретных случаях, Теорема 15. а) Если семейство Д(!), 1ЕНТ) мажорируется интегрируемой случайной величиной т! (!$(г)~ < ц(гпоб Р), Мт! < оо), то оно равномерно интегрируемо. б) Пусть й(х), х ен( — оо, оо), — неотрицательная борелевская функция такая, что д(х)!х — оо при !х~- оо, и Мд(~(1)), с Ч1~Т, где с не зависит от й Тогда семейство Д(Г), ! ~ Т) равномерно интегрируемо. С помощью понятия равномерной интегрируемости легко сформулировать критерий сходимости в Ыь Т с о р е м а 16.
Для того чтобы последовательность (е„, и = 1, 2, ...) сходилась в 2'ь необходимо и достаточно, чтобы она сходилась по вероятности к некоторому пределу и была равномерно интегриругмой, Аналогично формулируется критерий сходимости в Ы'р (р > 1). Вместо равномерной интегрируемости самой последовательности 3 в этом случае следует потребовать равномерную интегрируемость (~$„!Р, и = 1, 2, ...). По поводу доказательств сформулированных утверждений см.
А. Н. Колмогоров и С. В. Фомин (1), Ж. Неве (!), П. Л. Хеннекен и А. Тортра (Ц 5 2. Построение вероятностных пространств Вероятностное пространство является довольно сложным математическим объектом, и Во многих задачах его нельзя считать первоначально заданным. Поэтому важно уметь конструировать вероятностные пространства. В наиболее простых случаях нужно построить конечномерное вероятностное пространство по заданной функции распределения. Рассмотрим сначала некоторые свойства функций распределения. Функции распределения. Пусть $ — случайный вектор со значениями в усе, "„=(з', Ех, ..., $"), где $ч его компоненты. Положим Е(х) Р(х', хт,..., хг)=Р($' <х', 5'<ха, ..., йг< хе). Определение. Функция г(х) называется функцией распределения случайного вектора й (или совместной функцией распределения случайных величин ~', Вз, ..., Е").
'АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТИОСТЕЙ )гл. и 166 Пусть а, Ь ен Я", а =(а'„..., а"), Ь =(Ь), ..., Ь"). Условимся писать а ( Ь (а ( Ь), если аь ( Ь" (аь ( Ь") для асек й = 1, ..., д. Назовем множество 1(а, Ь) = (х: а ( х ( Ь) й-мерным интервалол! (интервалом в Яа). Аналогично определяются замкнутые интервалы 1(а, Ь) =(х: а ( х Ь) и открытые интервалы ! (а, Ь) = (х: а ( х ( Ь). Нетрудно выразить вероятность попадания случайного вектора 5 в й-мерный интервал через функцию распределения. С этой целью положим (1( з) Л~~,,)) (х', х', ..., хл) =1(х', х'-',..., хь-', з, х""',..., хл)— — 1(х',..., х'-', 1, х' ' ',..., хл).
Очевидно, Л)), !)Р(х) = Р ( П Дг < х)) П(1(~~ < з) / ! А)ЛА и нетрудно убедиться, что г" ()' (а, Ь)) = Л(),! ь!)Л(„з ьз) ... Лл(лв л)г (х) = Р (ь ее 1(а, Ь)). (1) Т е о р е м а 1. Функция распределения г (х) обладает следуюи(илии свойствами: а) О ( г" (х) ( 1; б) если х ( у, то г"(х) ( р(у); в) Л(л! ь )Л(лз ьз) ... Л(лл ьл) р(х))~ О для любых а(Ь; . г) функция г'(х) непрерывна слева, т.
е. г (х — 0) =г'(х); д) г" (х) — > О, если пппхь — л — ОО, и г" (х)-л 1, если п)!пхь — Р + со. Доказательство. а) — очевидно. Если х(у, то г (у) — г" (х) = =Р((6<у)" (В <х)), откуда следует б). в) вытекает из (1). Пусть хл(х„+, -.х и 1ипхл=х. События А„=(~(х)~,Д < хл) образуют монотонно убывающую последовательность, и П А„=Я. л-! Поэтому (см. (6) $1) г" (х) — Р(хл) = Р(Ал) — лО при и- ОО, что доказывает г). Далее, если пипхь — + — ОО, то су!цествует такое 1, л что х) - — ОО. Положим з„=зпр(х1А, й=и, и+ 1, ...), тогда е„— л — ОО, ел монотонно не возРастает и П ф < хл) = Я.
Пол 1 этому г(х )(Р(й) < е„)-РО. Аналогично доказывается вторая часть утверждения д) (следует ааметить, что 1 — г" (х) = ПОСТРОЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ПРОСТРАЫСТВ 1ОТ Произвольную функцию в Я', удовлетворяющую а) — д), будем называть функцией распределения (в Ял); если же она удовлетворяет только условиям б), в), — л!онотонно возрастаюи1ей фУнкЦией в Я", Монотонно возРастающУю фУнкцию в Я" следует отличать от функции й переменных, монотонной по каждому аргументу, — удовлетворяющей только условию б). Сделаем следующее замечание о возможных разрь!вах функции распределения Р(х).
Как функция от одной фиксированной координаты х", она монотонная, и поэтому пределы Р(х'+ О, «з -1- О,..., х" + О) в каждой точке х существуют. Рассмотрим гиперплоскость Н," = (х: хл = с). При с, Ф сэ Н„и Н„не пересекаются. Поэтому существует не более чем А А счетное множество значений сл, г = 1, 2, ..., таких, что Р(+ оо,..., +, с+О, +,..., + )— — Р( —,..., —, с, — оо,..., — )= — 0 для всех с чь с,". Назовем Н,л гиперплоскостями разрыва функции Р(х). Таким образом, если «ИН', где Но= Ц ЦН,А, то Р(х) непре- 1 Р 1 рывна в точке х, а еслн аЙН и Ь" ИН', то Р(1(а„, Ь„))-л -РР(1[а, Ь)), если а„- а и ܄— а.
Конечномерное вероятностное пространство. Пусть (Яг, З, Р)— вероятностное пространство, 8:э 8з, где 8" — о-алгебра борелевских множеств в Я". Если положить Р(х) =- Р(1( — оо, х)), то Р(х) будет функцией распределения. Теор ем а 2, Пусть в Яе задана произвольная функция распределения Р(х). Тогда можно определить вероятностное пространство (Яе, 8, Р) так, чтобы 8:э 8е и Р(( — оо, х)) = = Р(х), При этом вероятность Р на о- лгебре 8" определяется однозначно.
Доказательство этого предложения основано на Общих тео- ремах о продолжении мер. Приведем соответствующие форму- лировки. О п р е д е л е н и я. 1, Нетривиальный класс л!ножеств И на- зывается полукольцом, если для любых Л! Ен х!1, ! = 1, 2, т Л!() Ь!, я й, Л! ', Лз = Ц Л~, где Л~ я й. А-! 2.
Неотрицательную аддитивную функцию множеств т, оп- Ределенную на полукольце И, называют предмерой (й, т1л 'АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [гл. !г [ов 3. Функцию множеств т', определеннунэ на классе множеств %', назь[вают продолжением функции А[ножеств т, определенной на [в(, если [в(':з ег[ и т'(Л) = т(Л) при Л е= й. 4, Предмера называется о-конечной на Х, если найдется такая последовательность Лм что Х = Ц Л», Л» ен Я. »-[ Т е о р е м а 3 (теорема о продолжении меры).
Предмера т тогда и только тогда имеет некоторое продолжение (ю, д), где Я вЂ” о-алгебра, д — мера на 8, когда она полуаддитивна, т. е. если из Ц Л»~Л следует »=1 т(Л)(2 т(Л») (2) Р(1[а, Ь))=Л(,[,[)Л(,э») ... Л(,е ~)Р(х)+ + Л(ь[ ь[)Л(»2 ьэ)... Л(»е ье)Р (х) = Р [ [а, с[)) + Р [ 1 [с[> Ь)) Такое же равенство имеет место, если 1[а, Ь) разбить на два интервала с помоп[ью деления любой нз сторон [а», Ь») на две части. По индукции аддитивность функции Р(1) доказывается для произвольного разложения 1 на сумму интервалов. 9 Перейдем к доказательству теоремы 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
