И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Остается показать„ что функция Р(1) обладает свойством полуаддитивности (2). Пусть 1=1[ам Ьь). 1„=1[а„, Ь„) н1С=ЦУ„. В силУ не- 1 прерывности функции Р(х) слева можно найти такое е = = (е»,...,е»),е»~О,что Оччр(1[໠— е», Ь»)) — Р(1[а„Ь»)) < + ц ь ([ (в=1 2 ) для любых Л и Л» из з[[. При этом, если т о-конечна, то д на о(Щ определяется однозначно, Теорем а 4.

Класс 1 полуинтервалов 1[а, Ь), а, Ь ен Я", образует полукольцо, а Р(1[а, Ь)) — предмера на 1. Действительно, 1 [а, Ь) П 1 [с, й) = 1[1, э), где 1 = (1[, ..., 1г), з =(з', ..., ве), (» = гпхк(", с"), з» = ппп(Ь», д») и 1[1, з) = 8, если условие 1 ( з не выполнено. Далее, 1[а, Ь)'~1[с, й) = = (х: х[еи[а[, Ьз)" [с[,йз), /= 1, ..., д), что представляет собою сумму не более чем 2" интервалов. Покажем теперь, что Р(1[а, Ь)) является аддитивной функцией на У. Если интервал 1[а, Ь) Разбить на два: У[а, с,) и 1 [со Ь), где с[ —— (с', Ьг,..., Ь"), а' ~ с' ( Ь', то ПОСТРОЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ПРОСТРАНСТВ 109 Открытые интервалы 1(ад — е1, Ьй) покрывают замкнутый интервал 1[ад, Ьд — е).

В силу теоремы Гейне — Бореля из них можно выделить конечное подпокрытие, например (1(ад — ею Ьд), й = 1...,, и). Тогда последовательность интервалов![ай — ей, Ьй), й =1, ..., и, покрывает интервал 1[ао, Ьй — е). Непересекающиеся множества (й = 1, 2, ..., л) й-1 Н .1,— 1ф; — ..Ы~Ц 1.1-„,,1[ 1 1 являются суммами непересекающихся полуиятервалов 1д; (1' = й зд = 1,..., а). Таким образом,![а„Ь — е)= [) [[1й~ и Д 1 1 1 Р(1[а„Ь — е)) = х Х Р(1д~) ~ (~„Р(1[ад — ед, Ьд)) ~( ( ~„Р(1 [ай — ей Ьд))( Х Р(1д) +т1. й-1 Д-1 Переходя к пределу при е- О, получим Р(1[ад, Ьд))( ~ Р(1д)+т1, й-1 или, в силу произвольности т1, Р(1[а, Ь~)) ( ~ Р(1д).

у Д 1 Теорема Колмогорова, Рассмотрим следующую задачу. Пусть дано некоторое множество измеримых пространств (Х„8„.), з еи 5, и совокупность вероятностных мер [т.,.е...,,; п=! 2,...; ад ~5), где т.с,д,...,, — мера на прямом пройзведении П (Х,д, Ф,д). Требуется построить вероятностное пространд ство (1й, Ю, Р) и семейство (ь„з еи 5), где ~,— случайный эле- мент в (Х„ 6,), так, чтобы произвольная последовательность д (~п ь,н..., ь, ) (и — любое) имела на П[Х,д, З,д) заданное распределение т,, Прежде всего, ясно, что совокупность мерт.п.„,„не может быть совершенно произвольной. Действительно, если задача имеет решение и ЛКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВСРОЯТНОСТЕИ !гл.

и ио то, очевидно, „,„, (р В„)-.„. „, (П В„), Я если В, =Х, при 1=и+1, ..., и+т и ! ! ,„„,. (Пв,,)=,,„,, (Пв,,), <в) где (!ь !м ..., 1„) — некоторая перестановка чисел (1, 2... и). Соотношения (4) и (5) называют условияии согласованности семейства распределений (!п.с .,в, и= 1, 2, ..., гвен В). Т е о р е м а 5 (теорема (говтмогоровва) . Пусть Х, — полные летрические сепараоельные пространства, 6в — о-алгебра боре- левских множеств Х,.

Длл произвольного согласованного семейства распределений (!пв,, ...в~; а=1,2,...; в; сна) можно построить вероятностное пространство (Я, 6, Р) и семейство случайных величин (в„з ен Я так, чтобы пг,г,, было распределением последовательности (ч,,, ..., ~, ). Прежде чем перейти к доказательству теоремы, приведем ряд нужных для дальнепшего замечаний и построений.

Пусть 11 — пространство всех функций ьв = ьв(в) аргумента з ен Я, принимающих при каждом з значения нз Х, ( 11 = П Хв). О п р е д е л е н и е. Множество С,ь ..„, (В(вь "' '")) вида С,, „, (В('Р""'в)) =(ен (и(з,),..., а(вв)) ~ В("'""'")), где В(вв"'"') ~ о(З,А, й= 1,2,..., и), называют цилиндрическим или, подробнее, цилиндрическим множеством в й с основанием В(ви" "" ) над кооРдинатами зь..., з„. При фиксированных точках з„зм ..., з„между цилиндрическими множествами С,, „„, (В( '"' )) и множествами нз а(8,, й = 1,..., п) существует изоморфизм: каждое множество В ~ а(З,А, й = 1,..., и) определяет цилиндрическое множество С,Р...,, (В), для которого оно служит основанием; разным основаниям соответствуют разные цилиндрические множества; сумме, разности или пересечению оснований соответствует сумма, разность или пересечение цилиндрических множеств.

Это непосредственно вытекает из определения цилиндрического множества. Рассматривая действия над цилиндрическими множествами в общем случае, нужно иметь в виду, что одно и то же цилин- ПОСТРОЕР!НЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ПРОСТРАНСТВ ическое множество может задаваться над разными наборами координат. Так, очевидно, что С,,...,, (В)=С, ял, у + (Вг!,Хя,'к'...,',и'Х ) Легко видеть, что любые два цилиндрических множества , (В) и С,, (В) всегда можно рассматривать как цилиндрические множества над одной и той же последователь.

пастью координат з",, з.",, ..., з,", содержащей как зь ..., з„, так и зн ..., з'. Отсюда следует, что, рассматривая алгебраические действия над конечным числом цилиндрических множеств, можно считать, что они заданы над фиксированной последовательностью координат. Таким образом, класс всех цилиндрических множеств образует алгебру множеств. К этому можно добавить, что если  — бесконечное множество, Х, имеют по крайней мере две точки, то класс цилиндрических множеств нс является о-алгеброй.

Действительно, множество ()С, ((х, )), где х, — одното! чечное множество, х, ее Хпн не является цилиндрическим. Пусть Х» — полное метрическое пространство, р, — соответствующая метрика, я=!,2, ..., и. В пространство У=ПХ» » ! введем метрику р (у!, у,) = х ~ р' (х»„х»»), где у, = (х!н ..., х",), »-! х!» Ен Х». Точки х» (й= 1,..., и) будем называть координатами точки у! ен У, Нетрудно увидеть, что последовательность точек у„ сходится к некоторому пределу тогда и только тогда, когда координаты точек у„сходятся в соответствующих пространствах к некоторому пределу.

Отсюда следует, что У вЂ” полное метрическое пространство. Оно сепарабельно, так как счетное множество точек вида (х!, х,'-', ..., х," ), х» ее Х», где ջ— счетное вс!оду плотное множество в Х», образует в т' всюду плотную сеть. При доказательстве теоремы Колмогорова мы используем следующую теорему. Те о р ем а б. Если Х вЂ” полное метрическое сепарабельное пространство, т — вероятностная мера на о-алгебре борелевских множеств пространства Х, то для любых е Р 0 и В ея 6 найдется такой колгпакт К, К е6, что т(В',К) ( е.

АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕН !Гл. и Доказательство теоремы Колмогорова. Введем ранее определенное пространство !» функций ь» = ы(з), ь»(з) ~ Х„ з ен 5, и для произвольного цилиндрического множества С=С,„„, (В(* ""л)) положим Р'(С)-»и,„„„»л(В!'Р""")). Из условий согласованности мер вытекает, что Р'(С) определено однозначно. Пусть См й = 1, ..., и, ...

— некоторая последовательность цилиндрических множеств. Не уменьшая общности, можно считать, что они заданы основаниями В~,* '"''Р! над одной и той же последовательностью координат (зь ..., з, ...). Учитывая существующий изоморфизм между цилиндрическими множествами над фиксированной последовательностью координат и их основаниями, видим, что Р'(С) является конечно аддитивиой мерой. Покажем, что она может быть продолжена до некоторой меры Р иа (»1, !6), где !6 — о-алгебра. В силу теоремы о продолжении меры для зтого достаточно проверить, что Р' полуаддитивна, т.е. если С, с= () С„, то л-! Р'(С,)( Х Р'(С„). Пусть С, = Ц С„(С» П С, = О при й Ф г).

Докажем, что л ! Р'(С,)= ~ Р'(С„). (6) Отсюда будет вытекать требуемое. Положим С'„=С, ~ Ц С». ! Множества С„' образуют монотонно неубывающую последовательность цилиндрических множеств с пустым пересечением. Так как то для доказательства (6) достаточно показать, что!!т Р'(С„') = 6. Допустим противное, т. е.

что Вт Р' (С'„) = а > 6. Обозначим через В„основание с(илиидрического множества С'„и пусть С» расположено над координатами з„зь ..., зоа Без умалении общности можно предположить, что при увеличении и набор соответствующих точек (з,, з„..., з, ) не убывает. В силу теоремы 6 найдется такое компактное множество К„, К„ ~ В„, что »и,, „, (В„",К)< — „,, и=1,2, лл поствовние веноятностнык пвостглнств !!3 Пусть О~ — цилиндрическое множество над координатами , а, с основанием К„, г"„= ! ! Я, и 0„— основание мног ! жества г'„.

Очевидно, что 0„есть компакт в Ц Х, так как 0„ А-1 является пересечением замкнутых множеств, среди которых по крайней мере одно, К„, компактно. Так как множества Р„ монотонно убывают, то из га(з)ен гм, л'>а, следует а(з)енг"„. Поэтому, если (х... х,,... х, ..., х, ) си 0„~„то (хеп х,,, ..., х, ) си 0„, Множества г"„, очевидно, непустые. Более того, так как л П С„'',Ел = () (Сл "$)с: () (Сг;Я!), то ! ! / ! Р (С~',Р„)<~~ Р(Сг',ф)=~ п4 „,, (Вг',Кг)~ (—, 1 откуда следует, что 1пп Р (Р„) = Впг Р (С ) — 11гп Р (С'„' Р„) ) ", Из каждого множества 0„выберем какую-либо точку (" х"„..., х," ).

При любом А последовательность точек х", п =1, 2...,, принадлежит компактному множеству в Х... а последовательность (х",+г,..., х,"+г), 1= О, 1, 2, ..., лежит в 0„. С помощью диагонального процесса найдем последовательность индексов л! таких, что при каждом й последовательность х„ В! сходится к некоторому пределу хз~. Из замкнутости множества 0„следует, что прн любом п (хп хм..., х'„) ен 0„.

Определим функцию м(з), положив га ® = хы а = 1, 2, ..., и доопределив ее в остальных точках произвольным образом, Тогда прн любом и имеем ге(з) сиг„с= С„'. Следовательно, ! ! С„ и ! непусто, что противоречит первоначальному допущению. Отсюда г г вытекает, что !пп Р (С,) =О и предмера Р' допускает продолжение до некоторой меры Р на и-алгебре З, содержащей все цилиндрические множества пространства. Вероятностное пространство (1),б, Р) построено.

Положим теперь ~ = д,(га) = га(з). АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕИ 114 [гл. и Тогда Р (6... " ' 1,„) ~ В(" -" л)) = = р ((а (з1),..., а (3„)) ЕБ В( Р ' юл)) = = Р (Сле. „л (ВОР "))) = шве ..., л (В( )) Ю 5 3. Условные вероятности Элементарная формула для условной вероятности события А при гипотезе В Р(А~В), Р(В) ) О, (1) показывает, как следует определять вероятность, если определенным Образом меняется класс допустимых экспериментов или комплекс условий У, при которых проводятся эксперименты. А именно, к У добавляется следующее требование: рассматриваются только те эксперименты, в которых В обязано происходить.

Характеристики

Список файлов книги