И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 15
Текст из файла (страница 15)
й, — матричная функция со следующими свойствами: а) длЯ любых и, и им и1(иг, матРИЦа Ог(и) =Р(из) — Р(и,) неотрицательно определена; б) Бр(р(+ со) — р( — ОО))( ОО. По поводу условия б) заметим, что в силу а) диагональные злементы матрицы г" (и) являются монотонно неубывгнощими ан ПРОЦЕССЫ, СТАЦИОНАРР!ЫЕ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ В! функциями и. Таким образом, условие б) эквивалентно требованию ограниченности вариации на прямой ( — оо, Оо) каждого диагонального элемента Рн(и) матрицы Р(и). Далее, из положительной определенности матрицы ЛР(и) следует, что ] ЛР(А (и) ]з < ЛР (и) ДРАА (и), откуда 1з Г ' 1 2 ~„] М!А(ир) ]< ~~ ЛРИ(и )~ ~ Е АР»А(ир)~ р ! ьр ! р ! где ОР(ир) = Р(ир) — Р(и„!), р = 1, 2, ..., з, ир < и! < ... <и,.
Отсюда вытекает, что недиагональные элементы Рга(и) матрицы Р(и) также будут функциями ограниченной вариации. Без ограничения общности можно считать, что Р( — сс) = О. Теорема 3 вытекает из матричного варианта теоремы Бохнера — Хинчипа.
Его можно получить в качестве следствия из теоремы Бохнера — Хинчина. Приведем соответствующее доказательство для того, чтобы проиллюстрировать, как из «одномерных» теорем можно получить их многомерные аналоги. Доказательство теоремы 3. Пусть и'(1) — непрерывная корреляционная матричная функция стационарного в широком смысле а!-Мерного векторного процесса !"„(г) с комплексными компонентами. Для любого с!-Мерного комплексного вектора с введем случайную величину ~,(1)=Я(1), с).
Тогда ~,(1) — стационарный в широком смысле случайный процесс с непрерывной корреляционной функцией: и, = М~, (1) = (М!. (1), с) = сопз1, Рср(г) о ! М((ср(г+ з) л!р] Вр(з) с!р]) = с Я(1)с, 1 ~ О. В силу теоремы 2 корреляционная функция 1«,(~) может быть представлена в виде 1т, (1) ~ еи" !(Р,(и), где Р,(и) — монотонно неубывающая функция от и и Р,(и) - ОО.
Пусть е(А! — а!-мерный вектор, у которого Ья компонента равна единице, а остальнь!е нулю: ( О, е<А! = ~ слкчлппыг. пяоцвссь< в шигоком смыслв !гл < тогда й <д/(1)=-йдд(1) является корреляционной функцией /г-й компоненты векторного процесса Ц(1). Положим е<д 1< = е<д! + е«1, е<д и = <е<д< + е</!. Имеем й <д и (/) = йдд (1) + йд/ (1) + й/д (1) + й/1 (1) й ~ 1 йд<д, 1> (1) = йдд (1) + <йы (1) /й/д (1) + йп (1) откуда /<,<д, /< ('1 1/<д<д, /<(11 й<«(/)— Если положить ! — 1 (й,<д< — й,<н) Р „П(и) — /па<д П(и) Рд/ (и)— Р (и) = Р,<м (и), (Р,<д/(и) — Р,<п (и)), ЬМ3, то получим йд«Я = ~ еи" <(Рд/(и), А, 1=1, ..., с(.
При этом д.<й = Е <дд„.,- 1""д( г ьд„и<.,). д,/ < д, /-< Из единственности спектральной функции Р,(и) следует Р,(и) = Х сдРд/(и)с/. д./, Отсюда вытекает, что ЛР, (и) = ~ сд <дРд/(и) с/ ~ ~О, так что д, с-< матрица с<Р(и) неотрицательно определенная и Рдд(+со)( со. Теперь остается показать, что для любой матричной функции Р(и), обладающей свойствами а) и б) теоремы 3, можно построить векторный стационарный в широком смысле процесс с корреляционной функцией (10). С этой целью сначала введем 2<<-мернь<й действительный гауссов процесс (ь(/), т<(1)), где 5(/) и «(1) — с(-мерные действительные гауссовы процессы, определив его следующим образом.
Пусть ад=(ад<, ..., адд), Ь =(Ь', ..., Ьдд), й = 1, ..., и, — две последовательности векторов в Яз. Определим характеристиче- ПРОЦЕССЫ, СТАЦИОНАРНЬШ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ скую функцию совместного распределения векторов ($(1!), ... , й(1„), »1 (1!),..., »1(1„) ) с помощью формулы ф, ..., «л(ао ° .э ал, Ь«~ ° ° г Ьл) = и 1 =ехр( — — К(а„..., ал, Ь«, ..., Ьлт, где л К(а„..., ал, Ь„..., Ьл)= ~ а"1»'(1» — 1)а + л л + ~ ~а~Ил(1» — 1«) Ь«+ Ь~йл(1„— 1~)а«1+ 2" Ь~К'(1» — 11) Ь«, 2 $ сов(1а) «(г (и)' «с (1) 2 $ знт(1а) «1Р(а)' К' (1) — 1«сл (1) = — 1« (1) = — $ еа" а«Р (и). Для того, чтобы это определение имело смысл, т.
е. чтобы функция «р«,„,«л(а! ... а,, Ь! ... Ьл) действительно была характеристической функцией совместного распределения 2«1а случайных величин, необходимо и достаточно, чтобы функция К(а, ... а„, б! ... Б„) была неотрицательно определенной квадратической формой своих аргументов. Как нетрудно увидеть, К(а!, ..., ал, Ь|, ..., Ьл) = — йе ~~ ЕЯ(1» — 1«)г«, где я» — — ໠— «Ьы й=1, ..., п.
С другой стороны, и и и и Хч»6,—,) — 1(Х' '"',) «.!(Е и".,))О. -о»=! » ! Таким образом, ф«, ..«л действительно является характеристяческой функцией. Легко убедиться, что семейство распределений (г«Р ..., «), соответствующих характеристическим функциям ф«,, «л, удовлетворяет условиям согласованности (5 1), так что оно определяет гауссов случайный процесс в широком смысле.
При этом Ма(1)=Ми(1)=О, МВ(1Д(з)=МП(1)П(з)=К (1,.), МВ(1) т)(З) =1тл(1 — а). СЛУЧАИНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ !ГЛ 3 Положим Ь(1) = В(С)+ ст1(1). Процесс Ь(1) является векторным гауссовым процессом с комплексными компонентами. Имеем Мь(1) =О, Мь(1) ь" (з) = М [~(1) в" (з)+ч(1) и" ( )[— — !М [~ (1) л1" (з) + л1 (1) $" (з)) = 2)1 (1 — з) — 2!Я" (1 — з) = Я (1 — з). Итак, $(1) — гауссов стационарный в широком смысле процесс с корреляционной матричной функцией !т'(1 — з).
Щ1 Понятие стационарности в широком смысле может быть обобщена на случайные функции нескольких аргументов. Пусть ь(х) =(ь!(х), ..., ь" (х)) — векторная случайная функция в широком смысле, возможно с комплексными координата.лн, апре. деленная для всех х ~ Я . Будем называть се случайнь!м полем. Случайное поле ь(х) назовем однородным, если МЬ(х) = т = сопз(, М(Ь(х) — т) (Ь(у) — т)" = 1ч(х — у), где 1с(х) — непрерывная матричная функция. Ее называют корреляционной функцией однородного поля. й(атричная функция )т(х) неотрицательно определена. Это означает, что для любых й-мерных комплексных векторов гы точек хл ен Я, я=1,..., п, и любого целого п г'„)т (х — х,.)г ) О, Теорема Бохнера — Хинчина легко обобщается на неотрицательно определенные функции аргумента х ен Я™.
Так же как н теорему 3, можно доказать следующую теорему. Т е о р е м а 4. Для того чтобь! матричная функция !Г(х), х е= Я", была корреляционной функцией однородного поля, необходимо и достаточно, чтобы она допускала представление р(х) = ~ е!(л ч)р(ди) (11) где р = р(х, у) — расстояние между точками х и у. где г" (А) — матричнозначная комплексная счетно аддитивная функция множеств, определенная на борелевских множествах Я"', такая, что г'р(А)г ) О для любого колтлексного вектора г и любого л!ножества А ~ 6'", При зтол! Бр р(Я"') ( ОО. Случайное поле Ь(х) называют однородным и изотропным, если его корреляционная функция )т'(х) зависит только от длины вектора х, Таким образом, для однородного и изотропного случайного поля М (ь (х) — т) (ь (у) — т)* = )с (р), НРОцессы, стхционАРные В шиРОкОм смъ|сле 85 Найдем представление корреляционной функции однородного и изотропного поля.
С этой целью рассмотрим выражение для корреляционной функции однородного поля ) (р)= ~ е!Очи)р((и) Далее, Е!г ! и ! Рм Ф, Е!Пш-2<р ! ! 9 а-о и и= ( — 1 з!п !р! !р!= (2й)! Г (2А+ и! ) 2 н проинтегрируем его по поверхности сферы 5Р радиуса р. Ме- няя порядок интегрирования, получим г( —,) иь! — „' ((( '- ~г(н!. (12) 2азр~ ' Я (зи Пусть )(х) — произвольная интегрируемая функция в Яи', 'Ур — сфера радиуса р с центром в фиксированной точке.
Тогда — ~ ) (х) г(х! ... ах = ~ ! (х) гЬ, УР ЗР где интеграл справа взят по поверхности Яр сферы Рр. Приме- ним эту формулу к вычислению внутреннего интеграла в пра- вой части формулы (12). Переходя к сферическим координатам в и-мерном пространстве (см. Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчислений, т, 3, «Наука», М., стр. 484), приняв за !р! угол между векторами х и и, получим Ри и2и е'!' и!дх! ... !(х"' = ~ ~ ... ~ ~ е!" "'"Фт"'-' з!и"-з!р! Х !'Р ои ао Х з!и" ' р, ...
з!п!р, Й г6р! ... Йр,и, = га-! и 2я ~ ~ е~~!и! ...„,- ! з!п.-.<„„~„, '( — '". ')" СЛУЧАЯНЫВ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ 1гл. 1 86 и р и У е1» !и!»О» Ртт-18!Пи»-2 ч'! т! р 0 г( + )г(:~) (2А)1(2Ь+ и!) Г' 2Л+ и! ) и 0 гГ 2 Воспользуемся формулой удвоения в теории гамма-функции; Получим 1— ~( 1) ыг (А+ — +1) 2», 2 )»,)и1) ~ (р) ))' где у„(х) — функция Бесселя первого рода и-го порядка. Следо. вательно Е1!», и)1(Х! ДХ" (.~ )" У!»(Р) и!) '- '")+=, 1'р Отсюда вытекает, что п~ Е'!" »11Ь= ~ — ) ' 1и1У» (р) и!), З В частности, рассматриваемый нами интеграл зависит от 1и). Введем положительный параметр Х и положим а(Х) =Р(Ъ,), Х) О.
Тогда последняя формула и формула (12) дают ! и~-и (АР) »1р1-и г( — ",)~ '„, и»(1!, (!3) о (АР) где й(Х) — монотонно возрастаюшая функция, д( — 0) = 0 и й' (+ оо) = г (Я ) = Я (0) ( оо, Мы получили, таким образом, следуюшую теорему. пРОцессы, стАционАРные В шиРОкОм смысле 87 )ч (р) = ~ 1ь(Лр) йа (Л), о (14) и при тп=З Теорем а 5. Для того чтобы )ч(р) (О =' р ( со) была корреляционной функцией однородного и изотропного случайного поля, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить с помощью формулы (13), где д(Л) — ограниченная монотонно неубывающая функция. При тп = 2 формула (13) принимает следу~ощий простой вил.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
