И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 16
Текст из файла (страница 16)
ГЛАВА И ЛКСИОМЛтИКД ТЕОРИИ ВЕРОЯтНОСтЕР( 5 1. Аксиомы теории вероятностей и основные определения В настоящем параграфе вводится ряд основных понятий теории вероятностей и приводятся, в основном без доказательств, нх наиболее важные свойства, непосредственно вытекающие из теории меры.
Доказательства приводимых утверждений можно найти в учебниках по теории меры (см., например, А. Н. Колмогоров и С. В. Фомин (1)). События. Допустим, что при выполнении определенного комплекса условий У имеется возможность производить некоторые эксперименты. Назовем их допустимыми (относнтельно заданного комплекса условий У), Наблюдая результаты данного эксперимента, можно утверждать, что какне-то события в этом эксперименте осуществились, а иные не осуществились, В теории вероятностей каждый эксперимент полностью характеризуется этими событиями, т. е.
непустым множеством событий, о каждом из которых можно сказать, осуществилось ли оно в эксперименте или нет. Условимся называть соответствующие события наблюдаемыми (в данном эксперименте). Для большей наглядности изложении целесообразно воспользоваться теоретико-множественной интерпретацией вводимых понятий и соотношений. В этой интерпретации исходят из некоторого множества й и каждое событие, наблюдаемое в каком-либо допустимом эксперименте, отождествляется с некоторым подмножеством множества й. При этом алгебраическим соотношениям и действиям над событиями соответствуют аналогичные соотношения и действия над множествами.
Например, если нз события А следует событие В (А ~ В), то множество А содержится во множестве В. Событию «или А, или В» соответствует сумма множеств А и В (А () В), совмещению событий А и  — пересечение множеств (А Й В), событию противоположному А (А) — дополнение к А в й, т. е. множество всех точек й, не входящих в А Если два события несовместимы, то соответствующие нм множества не имеют общих точек. АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯГНОСТЕИ 89 !ИпА„= П Д А„, !1шА„= () П А„. (1) Например, событие, написанное в правой части первого равенства, происходит тогда и только тогда, когда для любого тн найдется такое п) т, что событие А осуществляется. Последнее равносильно тому, что существует бесконечная подпоследовательность осуществляющихся событий А„.
В дальнейшем часто применяются следующие формулы, выражающие соотношение двойственности операций суммирования и совмещения событий: (или () Ва= П В ), (2) 0 Ва Г1 ('1 ' Ва) П Ва= 0 (А ~Ва) (Или П Ва= 0 Ва) (3) Проверка этих формул не составляет затруднений, причем одна из них следует из другой.
В свою очередь каждое подмножество й называют событиеи ио оно не обязано быть наблюдаемым для какого-либо из рассматриваемых экспериментов. Точки из й называют элементарными событиями, само й— достоверным событием, так как оно соответствует событию, происходящему в любом эксперименте. Пустое подмножество й называют невозможным событием.
Мы будем пользоваться еще следующими обозначениями и определениями: Д А, — сумма множества событий А, перенумерованных а~1 с помощью индекса а, пробегающего множество 1. П Аа — совмещение множества событий А„, где а прнниаат мает значения из 1. А", — разность событий А и В (событие «А, но не В»). АЛ — симметрическая разность событий А и В (событие «или А, или В, но не их совмещение»).
1!гп А„ — верхний предел последовательности событий А '(и = 1, 2, ...) — событие, происходящее тогда и только тогда, когда осуществляется бесконечная последовательность событий А (1!гпА„= (б. мн. А„)). !Ип А„ — нижний предел последовательности событий А„ (п = 1, 2, ...) — событие, происходящее тогда и только тогда, когда осуществляются все события А„ начиная с некоторого номера. Нетрудно заметить, что ео Аксиомлтикх теОРии ВеРОятнОстей [Гл.
и Эксперимент. Как было сказано ранее, каждый допустимый при данном комплексе условий У эксперимент полностью описывается некоторым классом (совокупностью) событий, наблюдаемых в этом эксперименте. Условимся классы событий (классы подмножеств множества 11) обозначать готическими буквами 6, 6, 5, ... Пусть 5 — класс событий, наблюдаемых в данном эксперименте. Если А„~5 (и = 1,2, ...), то, очевидно, событие () А„ (оно осуществляется тогда и только тогда, когда осуществляется одно нз А„), событие П А„ (оно осуществляется тогда и и только тогда, когда осуществляются есе А„) и событие й„ (оно осуществляется тогда и только тогда, когда не осуществляется А„) также являются наблюдаемыми.
Определение. Класс событий (множеств) 6 называется алгеброй, если. 6 содержит А()В, А()В, А',В, каковгя бы ни оылиА иВизй. Алгебра событий (линожеств) называется о-алгеброй, если ( ) А„~ й для любой последовательности (А„, п = 1, 2, ...), и=! А„ее й. События из о-алгебры й называются й-измеримыми.
Из определения о-алгебры следует: если А„~ й, и = 1, 2, ..., й — о-алгебра, то П А„е= й. Зто вытекает из формулы (3): и ПА„=- ОА„. В соответствии с предыдущим замечанием условимся считать, что класс наблюдаемых в данном эксперименте событий является о-алгеброй. ь(ножество зксперимевтов можно упорядочить. А именно, если экспериментам Э, и Эз соответствуют о-алгебры 81 и вз наблюдаемых событий и 5~ с:Вп то будем говорить, что эксперимент Э, более информативен, чем Эь С другой стороны, если дано некоторое множество экспериментов (Э„, а~ Ц и 3 (а~ ~ 1) — соответствующие о-алгебры наблюдаемых событий, то множество (Э„,О~1) можно рассматривать как один составной эксперимент, если считать наблюдаемыми в этом эксперименте события из минимальной о-алгебры, содержащей все 8„, а ее 1.
Такую минимальную о-алгебру условимся обозначать а(6„, а ~ Ц. Ее существование вытекает из следующего предложения: Пусть 22 — произвольный класс подмножеств 11, Всегда существует минимальная о-алгебра множеств, содержащая Б. АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТИОСТВИ Фп действительно, всегда существует о-алгебра, содержащая э.'1. Таковой является, например, о-алгебра всех подмножеств А1.
рассмотрим пересечение всех о-алгебр, содержащих л1, Оно является о-алгеброй, и притом, по построению, минимальной, содержащей й, Минимальную о-алгебру, содержащую класс множеств Ю, обозначают о (л)) и называют о-алгеброй', порожденной классом йГА. В ряде случаев требуется установить, что некоторый класс событий содержит данную о-алгебру. Следующий результат при этом часто бывает полезным.
Теорем а 1. Если класс множеств И содержат некоторуАО алгебру 6 и монотонен, т. е. если вместе с произвольной монотонно возрастающей (убывающей) последовательностью мно- А„И АА П А„(ПА). АА АА А 1 ЧА- алгебру о (6). Вероятность. Пусть 6 — о-алгебра всех наблюдаемых событий в данном множестве допустимых экспериментов. Вероятность Р(А) события А, А сею, характеризует связь между комплексом условий У и событиями из 6, не зависящую от производимого эксперимента. Естественнонаучная интерпретация этой связи достаточно хорошо известаа, и мы о пей не напоминаеп.
Аксиоматически понятие вероятяости вводится следующим образом (А. Н. Колмогоров (2), (7)). Определение, Вероятностью Р( ° ) называется числовая 4ункция, определенная на ю„обладающая следующими свойствами: а) б) для произвольной последовательности попарно несовместимых событий А„, и =1, 2, ... (А„й А„= О при п чь г, А„ее 6). Таким образом, функция Р является мерой, заданной на Ао, удовлетворяющей условию нормировки Р(1г) = 1 (вероятностной мерой). Определение. Множество И с выделенной в нем о-алгебРой 8 всех наблюдаемых событий и вероятностной мерой Р, заданной на Ао, называется вероятностным пространством (11, Ж, Р).
Вероятность обладает следующими свойствами; 1. Р(А= 1 — Р(А). В частности, Р(ИА) =О. 2. Если Ас:В, то Р(В',А)=Р(В) — Р(А). В частности, если А~В, то Р(А)(Р(В). АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1гл. и 92 3. Если А„с=А„+ь п=1, 2, ..., то Р(Ц А)=М Р!А,!. (4) 4. Если А„~ Л„+!, п= 1, 2, ..., то Р(!! А,)=В Р!А!, В частности, если А„=э А„+„П Л„= Я, то А 1 Р(Л„)- О.
(6) Эти свойства вероятности хорошо известны из теории меры. В ряде случаев бывает целесообразным расширить область определения вероятности Р с помощью следующей операции, которую называют пополнением вероятностного пространства. Обозначим через Я класс всех наблюдаемых событий Л! ве- роятности О, 21 = (% Р(Ж) = О, У ~ !О), а через Й вЂ” класс всех событий А, для которых существует Феей такое, что А сЛ', Й = (А: А с: У, й! ее Ц, Пусть Я вЂ” класс событий 5 вида 5 = 5 0 А, 5 нее, А ееЯ.
Нетрудно проверить, что !о является о-алгеброй событий. Определим на Й вероятность Р, положив Р(5 0 А) = Р(5), если 5 я 6 н А ен 21. Это определение однозначно н Р— счетно аддитивная функция на !о. Таким образом, (1г, 6, Р) является вероятностным пространством. Операцию перехода от (Я, !Э, Р) к (Я, б, Р) называют по- полнением вероятностного пространства.
Если Р1 с: 91, то б = 8 и вероятностное пространство называется полным. Очевидно, что (й, Й, Р) является полным вероятностным пространством. В полном вероятностном пространстве произвольное подмноже- ство наблюдаемого события вероятности О само является наблю- даемым событием, Случайные элементы. Во многих случаях класс наблюдаемых в данном эксперименте событий задается следующим образом. Принимают, что результат эксперимента описывается точкой не- которого множества Х. Например, если эксперимент состоит в измерении в данный момент времени и в данной точке простран- ства скорости ветра, то в качестве Х можно принять трехмерное векторное пространство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
