И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Если (с, и = = 1,2, ...) — множество возможных значений случайной величины $, АА — событие Я = с„), то $ = ~ с„Х(А„). Теорема 4. Для произвольной случайной величины ~ существует последовательность дискретных случайных величин $„, АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТИОСТЕН 97 принимающих только конечное число различных значений и сходящихся к 9 при каждом ы. Если 9 неотрицательна, то существует монотонно неубывающая последовательность дискретных л 1 с учайных величин ь„таких, что 0($ — 9„( — „пРи любом ы. л — ! л » — 1 '! действительно, если положить е„= ~ ~ (! + — ),'л, / -л»~! ,гХ(А,»), где А!» —— (ы: 1+ — „(~~ < )+ — ~, то при !9! < и будем иметь 0(9 — $„( —. Положив 9„= лг е„-у(А„»), где ! »-ь » »+11 1 А„'» = 1 ее — л ( 9 < — „1, получим 0 (9 — $„' < — л для всех ы, пРи котоРых 9>0, пРичем последовательность $л мОнотонно не убывает.
° Пусть значение случайной величины $ можно определить по некоторому эксперименту, результаты которого описываю гся случайным элементом 9 со значениями в измеримом пространстве (Х,6). Естественно ожидать, что $ является 6-измеримой функцией от случайного элемента 7. Точная формулировка этого соображения содержится в следующем предложении. Теорем а 5. Если 9( — случайная величина, измеримая относительно о-алгебрь! 5ь порожденной случайным элементом 9 =1(ы) на измеримом пространстве (Х,6), то найдется такая 6-измеримая функция д(х), х ~ Х, что 9 = у(Ь). Доказательство. Допустим сначала, что 9 принимает конечное или счетное множество значений а„, и = 1, 2, ...
Положим Ал=(ЕН 9=ал). Тах КаК 9 5С-ИЗМЕРИМО, тО А„ЕН51 И, СЛЕдО- вательно, найдется такое В„~ 6, что Г (Вл) =А,. Пусть Сл= л'-! = В„'~ О В». Тогда С„~ 6, Сл П С = Я при п ~ т, ) ! (Сл) = » ! л-! л-! =Г (В„)' ЦГ (В»)=Ал' 0А» — — Ал ит ~ОС„)=()А„=а, ! т. е. !»(й) с=!()С„. Положим й(х)=~ а„х(С„, х).
Тогда 5=у(ь)= ! =к(!'(ы)). Перейдем к общему случаю. Существует последова- тЕЛЬНОСтЬ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧайНЫХ ВЕЛИЧИН Ел, 51-ИЗМЕРИМЫХ И сходЯщихсЯ к е пРи каждом ы. По пРедыдУщемУ Ел=к„(ь), где дл(х) — 6-измеримая функция. Множество точек 5, в котоРых дл(х) сходится к некоторому пределу, З-измеримо, содержит ) (»г) и при каждом х=1(ы) =ь существует !!гид„(х) =$. Положим я (х) = ! Ип у„(х) при х ен Я и д (х) = 0 при х Й В. Тогда Ф(х) — 6-измеримая функция и д(ь) =$. р АКСИОМАТг!КА ТБОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ вз сгл.
и Определение. о-алггбра 5 называется простой, если она состоит из кт и всех множеств вида Р=~ Е„, гдг (Е„, п = г 1,2, ,) — счетная (или конечная) последовательность попарно несовмгстимьгх событий и ( 1Е„= !1. Множества Е„будем называть атомами в-алггбрь! 3. Теорема 6. Если случайная величина т! измерима относительно простой а-алгебры 8, то она постоянна на атал!ах 6: т! = Х аа (Е„). л Действительно, случайную величину т! можно аппроксимировать сходящейся при каждом ьт последовательностью случайных величин т1„, постоянных на атомах Е„(теорема 4). Отсюда следует постоянство т! на множествах Е„.
ф Говорят, что некоторое утверждение или свойство, относящееся к вероятностному пространству ((г,ю, Р), имеет место с вероятностью 1 или почти наварное, если событие, состояшее в том, что оно выполняется, гб-измеримо и имеет вероятность, равную 1. Если $ = т! с вероятностью 1, то случайные величины с и т! называются эквивалентными, Пишут также, что = т!(гпоб Р).
Т е о р е м а 7. Если с = тг„(гпоб Р), и = 1, 2, ..., и и (!г, ... ..., 1„) — борглгвская функция в йть, то следующие равенства выполняются с вероятностью 1: йй!,, й.)=ЬИг, ", Ч.), знр5.=зн Ч., гп! $„= ш1 т1„, !Нп С„= 1!гп тг„, 1пп В„= !!гп т1„. Это предложение показывает, что обычно аналитические операции преобразуют системы эквивалентных случайных величин в эквивалентные, так что можно говорить об операциях над классами эквивалентных величин, Сходимость с вероятностью 1. Пусть 5„, п=1, 2, ...,— последовательность случайных величин. Событие Е = (!Нп $„существует) гб-измеримо.
О Действительно, 3=п () ! ! (Ет: !$т,— ь,!( — ~. Е-! ч-! т„т >и Определение. Последовательность $„, и =1,2, ..., сходится с вероятностью 1 или почти наварное„если Р (!!гп $„сугцествует) = !. Для доказательства сходимости с вероятностью 1 в конкретных задачах бывает полезным следующий критерий. АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЛ Теорема 8. Если найдется такая последовательность чисел е„, что е„>О, ~' < л ! л-1 то с вероятностью 1 существует 1пп 5„. Если для любого е ) О ~, Р(1$ — Ил() е) < со, л ! то $„ почти наверное сходится к ь. Локазательство. Пусть А„= (ек ~сл+! — С„1) е,).
Тогда о»р А ! Р(»! !! А )=о Р(ПА )к»ы ~ =о. Поэтому с вероятностью 1 существует такое по = по(ы), что ($„+! — Е„(< е„для всех и ) по. Отсюда следует, что ряд $1 + ~ ($л+1 — $„) сходится с вероятностью 1, что и доказывает л 1 1 первое утверждение. Пусть теперь Ан„= ~ен Имеем Р»о !! — ь!~>о»=о( Д !! !! а„.)( ».Н 1л» 1 л л» ~<!1пт 1пп с, Р(АА, ) =О. ° Н-о л»-о л л» Сходимость по вероятности. О и р е д е л е н и е. Последовательность случайных величин $„, и = 1, 2,, называется сходящейся по вероятности к случайной величине $ (Р-11!и $„= с), если для любого е ) О Р(1ьл $1) е)-о О при п-ьоо. Она называется фундаментальной по вероятности, если для любого е ) О можно указать такое по = по(е), что для всех п„пе) и, Р(1оь — Е 1) е) < е. Понятие сходимости по вероятности соответствует понятию сходимостк по мере в общей теории меры.
Из результатов последней вытекает Теорема 9. а) Если»1» — — Р-11»п3„, 1=1, 2, то »11= т(г(п»об Р). АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТГЕЛ 100 >ГЛ. И М~=Ес.РВ=с.), л если сумма ряда, стоящего в правой части равенства, имеет смысл. Это выражение представляет собою интеграл в абстрактном пространстве с мерой (Я, >б, Р) от простой функции 1(ы) = 2. с.й(А.): ()>)й = ~ ~ (ы) Р (йа)). (9) Последнюю формулу будем считать определением математического ожидания в общем случае при условии, что интеграл в правой части равенства (9) определен.
Последнее означает, что по крайней мере один из интегралов ~ 1+(ы)Р(йы), ~) (ы)Р(йы) конечен (здесь 1' = п>ах (), О), )'- = >пах ( — ), О)), Если один из них бесконечен, то в>1$ = + ОО или — ОО соответственно. Если б) Для того чтобы последовательность случайных величин ~„сходилась по вероятности к некоторому пределу, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной по вероятности. в) Если последовательность Е„сходится с вероятностью 1, то она сходится по вероятности Обратное, вообще говоря, неверно, Но из последовательности случайных величин, сходящейся по вероятности, мохсно выделить подпоследовательность, сходящуюся с вероятностью 1.
г) Пусть 2><2> = Р-!1п>$~~) (й = 1, ..., й), ~„= й($~0, ..., $м>)> где д(1)..... 1е) — действительная функция, непрерывная в Ял, исключая, б>ить может, множество 0 такое, что Р((»>)>, ... ..., 2100) ~ О) = О.
Тогда Р-!пп~„=д(2>О>, ..., 2>>'>). В частности, одновременно с последовательностями ф„'2)) сходятся по вероятности последовательности Ц'+ ь)2), $>" $>2> и В>п/Щ>, последняя — при условии, что Р(2>>2> =О) =О и Р-1!>п(й>п+ $Ф) =т>о) + 21п), Р-!1>п($0) ° й>2)) =)10) ° т>>2> ллп> Ч>0 Р-!пп —" й>2) >2) л Математическое ожидание. Математическое ожидание дискретной случайной величины $=~„с„Х(А„) определяется форл мулой 1о1 АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТИОСТЕИ математическое ожидание величины 5 конечно, то будем говорить, что ветичина $ интегриррема.
Оудем пользоваться также обозначением Мй=~~ ЛР. Положим ~ Р "Р = ~ ~ (") Р (й ) = М (АД л А Из общих свойств интеграла вытекают следующие свойства математического ожидания. Т е о р е м а 10. а) Неравенство тогда и только тогда выполняется для всех А ~ 6, когда ~-»-т1(той Р); б) ~~й =~ЧйР Я А для всех А, тогда и только тогда, когда $ = 11(шод Р); в) если М$ и М11 конечны, то М (аз+ ЬЧ) = аМЕ+ ЬМч для всех постоянных а и Ь. Отметим ряд часто используемых неравенств, Неравенство Чебышева.
Если 1(х) )О (х)0) и монотонно не рбывает (х ) О), то Уа ) 0 Р()ф|>а)< ( ) Неравенство Ненсена. Если д(х) — непрерывная выпуклая 4ункиия на (а, Ь), — ОО ( а ( Ь ~ + ОО, и а ( с < Ь(той Р), то й(Ма) ~~ Мй В). (10) Напомним, что функция д(х) называется выпуклой на (а, Ь), если для любых двух точек х1 и хо из (а, Ь) и любого Л ~(0, 1) я(Лх, + (1 — Л) х,) ~Лд(х,) + (1 — Л) д(х,), т. е.
если любая точка дуги графика кривой у=я(х) х ен(х„хз) лежит не выше отрезка, соединяющего концы этой дуги. Из определения вытекает, что для каждой точки 1г =(хо, 4'(хо)) графика выпуклой кривой существует опорная прямая, т. е. ХКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ !Гл. и 102 прямая, проходящая через точку 1г и такая, что все точки графика кривой лежат не ниже опорной прямой. Это означает, что для любого хе ен(а, Ь) найдется такое а, что й(х) — д(х,) ) а (х — х,) для всех х ~(а, Ь).
Полагая здесь хь = М$, х = в и беря математическое ожидание от обеих частей неравенства, получим неравенство (10). Следствие. ) М~ ) Р ( М) 5 ~ Р при р г» 1 и 1 1 (М!5!е) ! <(М~5!Р) Р при 0 <у < р. (11) Неравенство Гельдера. 1 1 М1$т1!<(М~$~Р)Р (М!т1!~)'~, где — + — =1, р >1. (12) Частным случаем неравенства Гельдера является неравенство Коши — Буняковского (мзц)Я<Му М„. С помощью неравенства Гельдера легко получить неравенство Минковского ! 1 ! (ма+01') <(М~Ы') +(М~п~'! .
р~1. (1З) В разных вопросах часто используется возможность предельного перехода под знаком математического ожидания, Т е о р е м а 11. а) (Теорема о монотонной сходимости.) Если 0 < 3„= $„+! (и = 1,2, ...), то 1ип М$„= М(11ш~„). б) (Лемма Фату.) Если $ ) 0(гпой Р), то М 1ип 5„< 1ип М$„.
в) (Теорема Лебега о мажорируемой сходимости.) Если ~~„~ е . 11(пюд Р), 1ип $ = $(то!1 Р) и Мт1 < ОО, то 1ип М~„= М~. Положим 1Р (А) = ) $ й Р = М~х (А), А ен 1Б. л (14) О п р е д е л е н и е. Действительная функция множества !р(А), определенная на некоторой о-алгебре 1о, называется зарядом, если она может принимать бесконечные значения только одного знака и если для произвольной последовательности не- АксиОмы теОР!ии ВеРОятнОстел щз пересекающихся множеств А„(А„ен Ж, А„ПА„= ссс при и Ф г, и = 1, 2, ...) с ( о А„) = ь' с !с„!. Если случайная величина 5 имеет математическое ожидание (конечное или бесконечное), то функция множеств ср, определяемая формулой (14), является зарядом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
