И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Эта формула называется спектральным представлением корреляционной функции. Она определяет спектр случайного процесса, т.е. совокупность частот (иА), й = 1, 2, ..., п, гармонических колебаний, составляющих процесс ь(|), и математические ожидании с' средних мощностей, переносимых соответствующими составляющими процесса. Величину с' можно называть средним значениел! мощности гармонической составляющей процесса с частотой ии.
Она получается путем усреднения мощности по времени и затем усреднения в теоретико-вероятностном смысле. В связи с этими энергетическими представлениями введем следующую важную характеристику стационарного процесса, называемую спектральной функцией процесса. Спектральная Функция г(и) процесса (2) определяется со- отношением СЛУЧАИНЫЕ ПРО!АЕССЫ В ШИРОКОМ СМЪ|СЛЕ [Гл. | заданном интервале. Действительно, С"- =р(ии+ О) — р(гги), ~~' С-' =Г (иг) — Г" (и!). и, <из<и, С помощью спектральной функции корреляционная функция процесса ь(г) может быть записана в виде )с(г) = ~ еы'ЙГ(и).
(6) Ьиг Оа„ь = 1)иииь = 2 < Вяа„ч = Мйиь = О, ~и([) = ~. "у„„Е'ииь' $ ([)+ гП„([), уиь=а„,+ гй„е. ь-! Допустилг, что при п- оо вьтолнены следуюгцие ус!овал: а) спектральные функции г'„(и) процессов Ь„([) при и оо сходятся на некотором впаду плотном лгножестве значений на С математической точки зрения спектральная функция является неотрицательной неубывающей непрерывной слева функцией, постоянной всюду, кроме конечного числа точек, в которых она имеет скачки величиною с-'.
Оказывается, что понятие спектральной функции может быть введено для произвольных стационарных в широком смысле процессов. Этот вопрос, так же как и вопрос об обобщении представления (6) на произвольные стационарные процессы, рассматривается ниже. Особый интерес представляют случайные процессы, которые могут быть получены нз процессов вида (2) с помощью предельного перехода. Сущность зтого предельного перехода состоит в том, что число слагаемых в сумме (2) неограниченно возрастает прн убывании комплексных амплитуд уы а спектр процесса, т.е.
совокупность всех частот и„, все плотнее заполняет прямую ( — оо, оо), В пределе получается некоторый случайяый процесс, о котором следует говорпть, что он имеет непрерывный спектр. Более точный смысл последнего термина и вопрос об аналоге представления (2) для получаемых таким образом случайных процессов рассматриваются ниже н в гл. У. Здесь же ограничимся рассмотрением предельных распределений. Теорема 1.
Пусть а„м 6„А (н=1,...,п; п=1,2...,)— две последовательности серий взаимно независимых (в каждой серии) случайных величин, нгоцвссы, стлцнонлгные в шигоком смысле прямой ( — оо, со) к функции Р(и), причем ч Р ( — оо) = О, Р (+ со) = о-' = Пн! ~, Ь„', < оо; б) случайные величины (и,ю р„ь,) удовлетворяют условшо 'Линдеберга (теорема 5 2 2). Тогда при п- со случайный процесс Ь (1) слабо сходится и стационарному процессу Ь(!), ~(1) = й(1)+ !ц(1).
Характеристическая функция совместного распределения вели ган 1 (1!) $ (!.), ц (1!), " т! (1!) (Т) дается выражением !р (и„..., и„о „..., о,) = ехр ( — — В' ), где ! т-! В' = — тт Р(1! — 1ь) г!гы г! — — и,. — !о!, ',,ь! Д(1) = ~ сии йР(и). 1=1,..., г, (8) Заметим, что в условиях сформулированной теоремы можно получить в качестве функции Р(и) произвольную ограниченную монотонно неубывающую функцию. Сформулированная теорема является частным случаем теоремы 5 2 2. При атом следует считать, что !д есть множество пар 0 =(Е,д), — со ч ! со, ц =1, 2, а г(0) =а„!,((,су), где ачь(1, 2)=1ту„,е~" ь~.
а„ь(Ю, 1) = Кем„ьеы ь', Й!! (!!, !г) = !тг! (!! 1!) = я ~ соа ((1! — 1!) !4 ЙР (и), Д!2 (1!! 12) = ~ ~ 3!и((1я — 1!) и) аРч(и). 00 Легко проверить, что если а„м р„ь удовлетворяют условию Линдеберга, то ему удовлетворяют и величины ачг(0) прн л!Обем 0.Пусть !с!"~(Оц ог) = тт~,") (1„1,), 0, = (1и ц,), 111'! (1„1,) = = МЪ„Ь) В„Ь), Р;, '(г„!е)'='"' МЧ„'(Г,) ! ЛГ,), ' Р;.,' Ь', 1,') = = М$„(1!)т!„(1,). В силу формул (3) СЛУЧАИНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ ' [ГЛ. [ тв Принимая во внимание теорему Хелли, из условии а) прн и — со получим существование пределов Вн(1) = 1[[и Яф(т, т+[), 1, 1=1, 2, н.+ о О 11П (1) = Лез ([) = — ~ соз ([и) с[Р (и), 1 )1м([) = — ~ з!п([и) ЙР(и). ! Таким образом, условия теоремы 5 $ 2 выполнены, Из этой тео.
ремы следует, что характеристическая функция совместного распределения величин (7) равна —,в~ [р(ип ..., и„о„..., о,) =е где Ве= ~ Яп (1[ — [А) иеи[+ 2[сы(1[ — [А) пыл[+ А, [-[ 1 х-~ + Ам([ ") А [ 2 Л.ю '!,А, е[ — — и[ — [оу, 1=1... 3 И Доказанная теорема прнводнт к примеру стационарного про. цесса, корреляционная функция которого дается формулой (8), где т'(и) — произвольная неотрицательная ограниченная моно.
тонно неубывающая функция, непрерывная слева. Оказывается, что соотношение (8) является общим для всех стационарных в широком смысле процессов. Именно, имеет место следующая теорема. Теор ем а 2 (теорема Хинчина). Для того чтобь[ непрерывная функция Й([) ( — ОО (1( ОО) была корреляционной функцией стационарного в широком смысле процесса, необходимо и достаточно, чтобы она допускала представление (8). Доказательство. Необходимость. Корреляционная функция стационарного в широком смысле процесса голожительно оп. ределена, т.
е. Х К ([А — [[) йА Ъ 0 А,/ ! при любом выборе чисел п, [ь ..., [„, Хь ..., А„(п — целое, 1А — действительные, а 1А — комплексные числа). Из теоремы пгопгссы, стлнионлгныс в щиеоком смысле Вохнера — Хинчина следует, что 1((1) допускает представле- ние (8). Достаточность условия теоремы вытекает из предыду- щей теоремы.
д Впрочем, можно значителыю проще построить стационарный в щироком смысле процесс, корреляционная функция которого выражается формулой (8) с наперед заданной спектральной функцией Р(и), Пусть Р(+ оо) = ао и $ — случайная величина с функцией 1 распределения —, Р (х). Положим ~(1) = ае«пей, где ~у и $ независимы и ~у равномерно распределена на интервале (О, 2п). Тогда Мь (1) = а ~ ~ е' и" +оФ вЂ”, йр (и) г = 0 ао Ри о Я(1+Ь, Ь)=М(~((+Ь)~(Ь))= = ао $ $ еи" —,йр(и) — "= $ еи" йр(и). о Определение.
Функцию Р(и), фигурирующую в представлении (8) корреляционной функции стационарного (в широком смысле) процесса, называют спектральной функцией, Если Р(и) абсолютно непрерывна, р(и) = ~ 1(и) йи, то Г(и) называют спектральной плотностью процесса, Напомним физический смысл спектральной функции. Если под случайной функцией 5(1) понимать электрический ток, то функцию Р(и) можно интерпретировать следующим образом: процесс 5(1) представим в виде «континуальной суммы» простых гармонических колебаний со случайными амплитудами, и приращение Р(ио) — р(и~) (и, ( ио) равно средней мощности, рассеиваемой гармоническими составляющими процесса, частоты которых лежат в полуинтервале [иь ио).
Отметим, что функцщо Я( '(0)й(1), где 0(0)= Р(+ оо), можно рассматривать как характеристическую функцию функции распределения (Р(+ со)) 'Г(х). Отсюда следует, что спектральная функция однозначно восстанавливается по корреляционной. Если а и Ь вЂ” точки непрерывности функции распределения т(и), то, как известно из теории характеристичееких СЛУЧАИНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ [ГЛ. ! ао функций, Г е-иа е-и6 р(Ь) — р(а) = 2„) „КЯйг (9) где интеграл справа понимается в смысле главного значения.
В точках разрыва функции Р(и) формула (9) останется справедливой, если в ее левой части вместо Г'(и) подставить т" (и + Щ + Л (а1 2 Если корреляционная функция 11(Г) абсолютно интегрируема на интервале ( — ОО, со), т. е. ~ 11С(1) ~Ж< со, то правая часть равенства (9) дифференцируема по параметру Ь. Таким образом, из абсолютной интегрнруемости функции 1г(1) вытекает существование спектральной плотности и равенство ) (и) = — ~ е-'а~й (1) йг 1 2л т, е. )(и) есть обратное преобразование Фурье корреляционной функции к(Г).
Теорема 2 допускает обобщения а разных направлениях. Бо-первых, можно рассматривать векторные стационарные про. цессы (в широком смысле), а во-вторых, стационарные функции (скалярные илн векторные) нескольких аргументов. Остановимся сначала на векторных стационарных в широком смысле процессах с комплексными компонентами. Пусть (;(Г) = =(й(1) ьг(Г)). Т е о р е м а 3. Для того чтобы непрерьбвная матричная функция 1т(1) = (Р66(Г)), 1, й = 1, ..., й, была корреляционной матричной функцией некоторого стационарного в широком смысле процесса Ь(1), необходимо и достаточно, чтобы ее Аюжно было представить в виде я (1) = ~ еы'йр(и), (10) где Р(и) = (Р,д (и) ), 1, й = 1...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
