И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Имеем ' "' „)*(' = 1 У,(х+ ) — 1.())~Р...(д.)= ее» (Аа %7» (х)) — — (ВАЧ Уу (х)) + ~ ~~ (х + е) — ) (х)— (ж 7)(Ф(х) 1 (е, (»(»(х)р 1 1+(ей» ) 1+(е(» + Е 1+(е() ) (ер ~(А(»(х~ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ где мера Па(дг) определяется нз (10) $3 и (а, Р) 1,(х) = д[» (х) 'а" дх 1 Л 1 (», Р)(»(х) П (( ) В ( (», Р(»(х))2 П (( ) ял ял Из результатов $3 (см. доказательство теоремы 3) следует, что существует производная —, удовлетворяющая уравд(» (х) нению =(а, Ч)(',(х) — х (РЖ, Ч)(,(х)+ ~ ~[ (х ] г) [ (х) (» Р)(»(х)1 (+)»)» П(() (30) дл где л (ЬР, 7)~,(х)= ~ Ь, """'.
Последнее уравнение может быть преобразовано к виду (см. формулу (17) $3) -~~~'(') =(, Р)],( )+ — ',, (Ьт7, Р) 1,( ) + + ~ [1,(х+ г) — 1,(х)] П(дг)+ 'Ех + ~ [1»(х+ г) — ),(х) — (г, 7) [,(х)] Й (Иг), (40) 5» где 5,— сфера в Ял с центром в начале координат радиуса с, мера П теперь не обязательно конечна, но по-прежнему П (О)= =0 и ~ [ г [» П (с(г) ( оо, П (Ял ~, Я,) < оо. 8 Слабо дифференцируемые марковские процессы в широком смысле. Прн изучении марковских процессов в конечномерном пространстве Я" представляется естественным рассмотреть класс процессов, имеющих такую же локальную структуру, что и процессы с независимыми приращениями.
Можно дать следующее определение процессов подобного рода. слкчхиныв ппоцяссы в шигоком смысле )гл, ~ Введем характеристическую функцию распределения Р(з,х, С,В): ~р (з, х, 1, и) = $ е' ы юР (а, х, 1, г(у), з < 1, ~р (з, х, з, и) = 1. яа Назовем марковский процесс в широком смысле слабо ди4- ференчируемым, если функция <р(з, х, 1, и) дифференцируема по з в точке з = 1 равномерно в конечной области изменения и, т.
е. если предел й (1, х, и) =!пп У(к х, и и) — 1 8чг существует равномерно по и при [и[ Ж, где йг произвольно, для всех х ен Я", 1 ен (О, 1"). Из результатов теоремы 1 $3 следует, что сечи марковский процесс слабо дифференцируем, то существует вектор а(з, х), а(з, х) ~ Я~, неотрицательно определенное симметрическое ото- бражение Ь(з, х)ен Я" в Я" и мера а(з, х, В) на 6 такие, что для произвольной дважды непрерывно дифференцируемой функции 1(х), х ен Я", ограниченной вместе со своими част- ными производными первого и второго порядка, имеет место равенство А,) (х) =Игп зад ь = (а (з, х), Ч) [ (х) + — (б (з, х) 1), т) [ (х) + + ~ [7 (х + г) — 7 (х)[ б (з, х, г(г) + яа,з + ~ [)(х+г) — ) (х) — (г, 7)) (х)) у(з, х, дг), (41) причем д(з, х, (0)) = О, д (з, х, Яз; В) < оо и ~ ) г )з д (з, х, дг) < со, В частности, если д(з, х) = 7(з, х, Я') < со, то предыдущую формулу можно записать в виде А„-) (х) = (б (з, х), 7) 1 (х) + —,, (Ь (з, х) Ч, т~) ) (х)— матковские пгоцвссы в шиеоком смысле Если а(з, х) = О, Ь(з, х) зы О, то соответствующий марковский процесс является, как следует из предыдущего, скачкообразным процессом.
В общем случае соотношение (4!) можно интерпретировать следующим образом. Обозначим через В(1) состояние системы, характеризуемой рассматриваемым марковским процессом. Допустим, что 3(з) = х. Тогда Л$(з) = ~(з+ Лз) — х с точностью до бесконечно малых высшего порядка можно представить в виде Лэ(з) = ЛЬ + Лаз + Л|з, где Л'~ соответствует неслучайной составляющей смещения Ль(з) и может быть представлено в виде Л$~ = а(з, х)Лз, Л$з соответствует смещению винсровского процесса с дисперсионной матрвцей Ь(з, х)Лз, а Л$з равно О с вероятностью 1 — д(з„ х)Лз, а с вероятностью о(з, х) совпадает со случайным вектором, имеющим распределение —. При этом Л~з и Лаз независимы. д(з, х, В) д1з, х) Если в формуле (41) д(з, х, В) — О, то соответствующий марковский процесс называется диффузионным.
В этом случае главная часть смещения Л$(з) состоит из неслучайного слагаемого а(з, $,)Лз (вектора переноса) и из флуктуацнонпого члена, имеющего й-мерное гауссово распределение со средним значением О и корреляционной матрицей Ь(з, $,)Лз. Диффузионные процессы играют важную роль в теории н в применениях марковских процессов и подробнее рассматриваются в гл.
ЧП1. Здесь же ограничимся тем, что приведем несколько иное определение диффузионного процесса и уточним для него вывод дифференциальных уравнений Колмогорова, Определение. Марковский процесс в широком смысле называется диффузионным, если выполняются слеоующие условия: 1) для произвольного х ен Я", е О равномерно по 1 ( з (43) Р(з, х, 1, З,(х)) =о(1 — з), где Я,(х) — дополнение к сфере 5,(х) радиуса е с центром в точке х; 2) существует такая функция а(з, х) со значениями в Яв и линейный симметрический неотрицательно определенный оператор Ь(з, х), отображающий я" в яг ((з, х)ен (О, г') >( Я"), что для произвольного х енХ и е ) О равномерно по з,з ( 1, (44) (у — х) Р (з, х, 1, йу) = а (з, х) (г — з) + о (1 — з), в, ов (х, у — х)'Р (з, х, 1, йу) =(Ь (з, х) з, з) (1 — з) + о(1-з). (45) ве < "> слю!Айныв ПРоцвссы в шР!Роком смысля (ГЛ ! Вектор а(я, х) называется вектором переноса, а оператор Ь (я, х) — оператором диффузии марковского процесса.
Выберем в Яг некоторый базис н обозначим через а!(я, х), ! = 1, ..., !и, компоненты вектора а(я, х), а через Ь!;(я, х), ), ) = 1, ..., и1, элементы матрицы оператора Ь(я, х) в этом базисе. Теорема 6. Если функции а(я, х), Ь(я, х) непрерывны, а 1(х) непрерывна, ограничена и такова, что функция и (я, х) = $ 7 (у) Р (я, х, 1, ду) аг ди (г, х) Юи (г, х), имеет непрерывнь!е частные производнь!е дх ' дх дх дя то и(я, х) имеет производную —., удовлетворяет уравнению — =(а(я, х), х)и(я, х)+ —,(Ь(я, х)Ч, Ч)и(я, х) (46) и граничному условию 1!гп и (я, х) = 1(х).
(47) хх! Доказательство. Пусть я! ( я ( яг ( Е Так как функции и(з, х) ограничена, то и(я„х) — и(я.„х) = $ [и(я„у) — и(я„х)] Р(яо х, з„ау) = я!" [и (яг, у) — и (яг, х)] Р (я!, х, яг, с(у) + ох (яг — я!)у я !х) ое (3! х!) где ' ' ' -+О при любом фиксированном е > О. Иэ форяг — я! мулы Тейлора вытекает„что и(яг у) — и(яи х) = 1 = у — х, !7) и(зг, х) + 2 (у — х, 1))- и(з„х) + т(х, у, яя), причем при у ен Я, (х) ~ т (х, у, я,) ] ( ~ у — х (' !ь„где д"и (я., х+ О(у — х)) д'и (я., х) ! 1,/,ятуыз (х) .! дх,.
дх дх дх. при е -+ О. Отсюда следует равенство и(яп х) — и(зг, х) = ='](а(я„х),7) и(я„х)+ ~(Ь(я„х)Ч,Ч)и(ямх)+ й'](яг — я!), (48) Э 41 млрковскив процвссы в широком смысля б9 где (пп !пп )с'=О. Разделив полученное соотношение на я,— я„ е.+о м-х хО перейдя к пределу при яз 4 я, я1 [ я и учитывая непрерывность первых трех слагаемых в правой части формулы (48) по яь по- лучим уравнение (46). Граничное условие (47) вытекает из равенства и(я, х) — 7(х)= ~ [~(у) — 1'(х)[Р(я, х, 1, 1(у)+о,(1 — я), Я 1х1 в котором з ) 0 — произвольно малое число, и из непрерыв- ности !'(х). Я Допустим теперь, что существует плотность вероятностей перехода, т.е. такая функция р(я, х, 1, у), что для любого бо.
релевского множества В Р (я, х, 1, В) = ~ р (я, х, 1, у) 1(у, з где интегрирование производится по лебеговой мере в Ял. Уравнение Колмогорова — Чепмена в этом случае можно запи- сать в виде р(я, х, 1, у) = ~ р(я, х, и, г) р(и, г, 1, у) Нг, я < и < Е (49) ял Если р(я, х, 1, у), как функция от (1, у), достаточно гладкая, то она удовлетворяет второму уравнению Колмогорова, нося- щему еще название уравнения Фоккера — Планка, Т е о р е м а 7. Если соотношения (43), (44), (45) выпол- няются равномерно по х и суи)ествуют непрерывные производдр(Я, х, бу) д(а (ив)р(х,х,и у)) д (Ьи(и у)р($, х,1, у)) ные д1 дх дх,.
дх то 4ункиия р(я, х, Г, у) при (Г, у)~(я, 1*)К яд удовлетворяет уравнению др(м х, 1, у) д1 1 = — (Ч, а(1, у) р(я, х, Г, у))+ — (Ч, ЧЬ(Г, у) р(я, х, 1, у)). (50) Доказательство, Пусть д(х) — произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция, обращающаяся в 0 вне некоторого компакта. Так же как и при доказательстве предыдущей теоремы, можно убедиться, что равномерно по х 1 !пп — ! ) у(у) р(1ь х, Г„у)ау — у(х)~ = ,[ = (а (1, х), Ч) к (х) + — (Ь ((, «) Ч, Ч) д(х). СЛУЧЛИНЫЕ ПРОПВССЫ В ШР!РОКОМ СМЪ|СЛВ 1Гл. 1 70 Используя условия теоремы и последнее равенство, получим — ~ р (з, х, 1, у) д (у) Ыу = 1 ) пп — ~Ь (з, х, 1,, у) — р (з, х, 1ь у)] д (у) ))у = 1 11|и ~р(г, х, 1„У)1 — )р(1„У,1мг)у(х)1(г — у(у) 1)у = Г„„1 яз = $ Р(з х 1 у))(а(1 у) Р) у(у)+ у (о(1 у) |Р ч) у(у)~г(у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
