И.И. Гихман, А.В. Скороход - Введение в теорию случайных процессов (1134101), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Речь идет в первую очередь о решении уравнений (26) или (29) при соответствующих граничных условиях. Пусть 1 = [О, ('). В соответствии с требованиями регулярности скачкообразного процесса наложим на функции а(1, х) и а(1, х, В) следующие условия: а) при фиксированных (1, х) еи 1 Х Х функция а(1, х, В) является мерой на 6, а(~, х, (х)) = 0 и а(1, х) = а(1, х, Х); б) при фиксированных (х, В) функция а((, х, В), 1еи1, непрерывна по 1 равномерно по (х, В), а при фиксированных '(1, В) она 6-измерима, как функция от х.
Введем пространство вл = лг (6) всех конечных вполне аддитивных функций (конечных зарядов) ш(В), заданных на измеримом пространстве (Х, 6). В лт' определим расстояние р(шо шг) с помощью соотношения р(, шз)=[[ (В) — ь (В)[[, ю,~М', где [[ ш (В) [[ = знр ([ ш (В) [, В ~ 6). Нетрудно убедиться, что лт' является полным линейным нормированным пространством. Будем понимать уравнения (25) и (27) как уравнения в пространстве ян и соответственно интерпретировать понятие производной в левой части равенства (25). Введем еще пространство е.в'[з, Г") непрерывных функций те = Ы, = в,(В), 1 еи[з, 1"), со значениями в лт и нормой Й ьу Щ = гпах ([[ й~ [[, 1 ее [з, 1*)).
Т е о р е м а 4, Если функция а(1, х, В) удовлетворяет условиям а) и б), то система уравнений (25) и (27) имеет в Ж~ единственное решение. Это решение является мерой, если тп(В) является мерой. Доказательство. Заметим, что из условия б) вытекает, что Функция а(1, х) равномерно ограничена по (1, х), а(1, х) ~ слкчлнныв пгоцвссы в шигоком смысля (гл. с ( К ( ов. Введем фУнкцню с)с(В) в (Уэ'[з, Г*), положив Г ' д,(в>-[ р[(,со,вша~,цсщ. э Если функция асс дифференцируема в сс, то таковой же будет и с)„ и обратно, причем ив,(н) Г [Г 1л, — = ~ а (Г, х) с)с (асх) + ~ ехр ~ а (О, х) с(0 — „с (с(х).
в с)асс Подставляя в эту формулу вместо — „выражение из уравнения (25), получим нд,(в) = ~ ~ ехр ( ~ [а(9, х) — а(0, у)[с(9а(Г, у, с(х)ус(с(у)= в х = $Ь(Г у В)ус(с(у), х где Г с ~ю у,й [ Р[[! сО,в — сО,а~О~ ц,у,ш), В з Таким образом, уравнения (25), (27) эквивалентны уравнению дс (В) = лс (В) + ~ ~ Ь (О, у, В) дв (с(у) с(0, Г ~ [з, Г'[, (32) г х где Ь(Г, у, В) равномерно ограничена, Ь(Г, у, В)( Кс и, как функция от В, является мерой. Оператор Я' в (У"; определяе.
мый равенством (Я"й) (В) =т(В)+ $ $ Ь(0, у, В)шв(с(у) с(9, удовлетворяет соотношениям !) (Я'й')с — (Я" й")с 1) (2Кс (à — з) ([ й' — й" Щ, )) (()~и к) (Г) пйгг) )) ~ (2К ух (с с) ))) г где Я*" обозначает п-ю степень оператора Я'. Таким образом, некоторая степень оператора Я" является сжимающим оператором и, в силу принципа сжатых отображений, уравнение (32), имеет в У"' единственное решение.
Это решение может быть получено с помощью метода последовательных приближений, матковские птоцвссы в шитоком смысла 61 поэтому, если т(В) является мерой, то таковой будет н (1,(В). И Аналогично можно рассмотреть уравнение (29). Подстановка (,(,)-.*р( — (,(р, *)ое)з,(*) приводит уравнение (29) к эквивалентному, несколько более простому уравнению о'„'*р- — )з.(р) р (( (о. ) — (е,р))оа$ (,,ор), х е (з ( г) с граничным условием дз(х) = ) (х).
В свою очередь это уравнение эквивалентно уравнению л,(х) = ~(х)+ ( 'р$(з'()'*р()( (е *) — '(е р))оо~ (,*. ор)о,. (зз) о х р Введем пространство )те(е) (О, 4! непрерывных функций ( = =~, =),(х) аргумента з со значениями в Я(6) и с нормой !!!)т!!! = з"Р (Уз(х) ! (з х) ен (0. 1) Х А) Линейный оператор в Уе(в) (О, 1), определяемый формулой (1;)у),(х) = =р(*)-р((з.(р) р((( (о.
) — (а, „))зе),(,, о„)о,, зх ер отображает множество неотрицательных функций пространства эре(е)(0, т1 в себя, причем !! (Я'). — (1Жч). !! я= Кз (1 — з) 6 У' — у" !!!, к" (1 — в)" !!(я"у').— (я"у")з!!< ' „, !!!у' — йи!!!. где Кэ = Кек'. Таким образом, некоторая степень оператора Я является сжима)ошим оператором и уравнение (33), а вместе с ним и уравнение (29) при граничном условии (30) имеют в Ж" (е) (О, 1! единственное решение. Т е о р е м а 5. Если функция а(1, х, В) удовлетворяет усло- виям а) и б), то уравнение (29) — (30) имеют единственное ре- (иение.
В частности, в рассматриваемом случае вероятности пе- рехода соответствующего процесса определяются функцией «(Г, х, В) однозначно. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОПЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ ~гл, е 3 а м е ч а н и е. Решение уравнения (ЗЗ) может быть полу. чено методом последовательных приближений. В соответствии с этим решение уравнений (29) — (30) можно представить в виде ), (х) = Х 1сяс (х), я е где с сгс*с--р( — (.се..еее~сся, ( ь сг с,с — 1(сс сер„р( — (,се, рее),с..., хесе .
р х е В частности, для вероятностей перехода Р(з, х, (, В) получаем следующие выражения: Р (з, х, 1, В) = ~„Рая(г, х, (, В), (34) я О где ривар,, с, вс=„р( — 1 се, сее)хсе,*е, (35) Ре Ьп(З, Х, с, В)= с ( ь — 11ее'с,, „, х, ее„р( — 1,се, *еее),с,, *, ерее,, сеес ел р Функции Рео(з, х, 1, В) имеют простую теоретико-вероятност.
иую интерпретацию. Она будет приведена в 5 2 гл. УП, где будет также показано, как по заданной функции а(з, х, В) можно построить марковский процесс прн условиях более ши- роких, чем рассматриваемые здесь. Полученные результаты могут быть применены к процессам со счетным числом состояний. В этом случае пространство Х состоит нз счетного числа точек и достаточно рассматривать вероятности перехода в одноточечные множества. Пусть рц(з,() = Р(з, с, 1, Я), с, 1' ~ Х. Вместо функции а(з, х, В) рассмотрим функцию а(з, с', 1): РП(Я, С) а(з, с', 1)=11ш — ', с~1, с — е совпадающую с ранее введенной функцией аи(з).
Условия а)' и б) для нее принимают следующий вид: а) а ((, с) = ~ а(г, с', с), /~х где а (з, с)=11ш(1 — ра (з, ())(( — а) '; б) а(1, с', 1) непре. с+е мхгковскив пгоцвссы в шнгоком смысле бз рывны по 1 на (О, 1*) равномерно относительно (~', )). Если эти условия выполнены, то первое и второе уравнения Колмогорова для марковских процессов со счетным числом состояний ирмеют единственные решения, которые могут быть получены по ранее указанным формулам. Например, , ~(з г) = Х р'," (з 1) п О где и=О, 1, 2„ Процессы с независимыми приращениями.
Эти процессы являются частным случаем марковских процессов. Пусть Х— векторное метрическое пространство, 8 — а-алгебра борелевских множеств Х. Через В + х (В ~ Х, х ен Х) обозначим параллельный сдвиг множества В на вектор х: В + х (у: у=г+ х, г ен В). Рассмотрим семейство вероятностных мер Р,~( ) на 8 (з ) О, г з), удовлетворяющих следующим условиям: а) Р„( — х) является 8-измеримой функцией от х при любом В ~ 8; б) еслиз(и(1,то Р„(В) = 1 Р.,(В-у) Р,.((у). (37) х Нетрудно проверить, что для произвольной ограниченной 8-измеримой функции ~(х) имеет место равенство 1 1(х+ у) Р (г(у) =()1(у) Р, (г(у — х) х х (для индикаторов 8-нзмеримых множеств оно тривиально). Повтому из (37) следует Рм( — х) = ~ Рщ( — у) Р,„(6у — х).
х Следовательно, если положить Р(з, х, г, В) = Р„( — х), то Функция Р(з, х, 1, В) будет вероятностью перехода. Она обладает пространственной однородностью. Это означает, что Р(з, х+ у, г, В+ у) = Р (з, х, 1, В) СЛУЧАПИЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ 1гл. ) для всех уев Х.
Обратно, если вероятности перехода обладая)т этим свойством, то Р(з, х, (, В) = Р,»( — х). Зададим на (Х, 6) произвольную вероятностную меру и рассмотрим семейство распределений (лР..„»„, ()~(» < ... < 1„ л=1, 2, .), где Р», ..., » (В»"') есть распределение на (Х",6"), определяемое формулой (В(") ~ 6") Р» „.„» (Вее) = $ ~ $ Р (О, х„1„»(х)) Р ((„х», 1»ь»(х,) ... Х АЕГЯ Р((а-)~ хР-1 (~ »(ха) 1(»(хе) Нетрудно проверить, что введенное семейство распределений определяет процесс с независимыми приращениями. В 5 3 была полностью выяснена структура семейства мер Р»ь удовлетворяющих равенству (37), в случае, когда пространство Х конечиомерно (Х = Яе), а процесс с независимыми приращениями стохастически непрерывен и однороден во времени (т е.
Рм(В) = Р»-,(В)). При этих предположениях характеристическую функцию ф(», и) распределения Р,(В) можно представить в виде .), ) = 1 " " Р )») - -Р( ( ), ) - У )~ . ) )- 1 ие ) ( ( ' "» — ) — 1)"'*),) ),)),') П)» ))). )»8) яе где а ен Яе, Ь вЂ” некоторое линейное неотрицательное 'определенное симметрическое отображение Я" в Яе, П вЂ” конечная мерана6иП(0) =О. Положим (,(х) = ~ ((у) Р(з, х, 1, »(у) = ~ 1(х+ у) Рм(»(у), е < й ие »Р» Очевидно, что если Дх) — дважды непрерывно дифференцируемая функция, ограниченная вместе со своими частными производными первого и второго порядка, то этими же свойствами обладает функция ~,(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
